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期末考试临近,老师们都忙于复习,忙于在网上查找各类题目,可谓“搜肠刮肚”,使出浑身解数,大有穷尽所有题目之势,不厌其烦地遴选——印发——讲解,学生遨游题海,陷于令学生生厌的灰色情调中. 师生都高负荷运转,老师忙得昏天黑地,学生累得怨声载道.每每至此,笔者都动一番脑筋,试图跳出这个“年年岁岁花相似”的怪圈,退居后台细细斟酌,该如何帮助孩子松绑卸重,走出题山书海,又能提高学生的兴趣与质量.基于这样的思考,心怀“PISA测试”的启示,以《有理数》章节复习为切入点,特做了如下复习课的尝试：
1 读数导引,概念再现
(设计意图：把概念蕴藏于每一个数中,在学生读数的同时,笔者意图通过适时的插言唤起学生处于休眠状态的记忆,在互动中复现概念,从多个角度认识概念,把冰冷的“数符”赋予火热的思考,枯燥乏味变十足情趣.)
师(不声不响,板书课题)：玩转几个“数”!
生：(弄不清老师葫芦里卖的什么药,惊讶的神态中透着好奇.)
师：(继续板书)：-3、+4
师：这两个数怎么读？
生(脱口而出)：负三、正四
师：由此我们想到哪几个相关概念？
生(七嘴八舌)：什么是负数、正数、有理数
师：说得好,这三个概念是本章的奠基概念,谁能谈谈对它们的认识？
生1：负数就是比0小的数,正数就是比0大的数
生2：正号可以省略,而负号不行；正数前面加负号就是负数；
生3：有理数可分成正有理数、负有理数和0
生4：也可分成负数和非负数；正数和非正数
生5：也可分成整数和分数
生6：有理数就是有限小数或无限循环小数
……
师：同学们认识比较到位、全面,很好!
师(板书)：-(-5)怎么读？
生：负的负5、负5的相反数
师：一个是按外形读的,一个是按意义读的,由此,我们读出了哪一概念？
生：相反数
师：对,相反数,这可是一个非常重要的概念,谁来说说对它的认识？
生6：只有符号不同的两个数,是相反数；
生7：和为0的两个数,是相反数；
生8：商为-1的两个数,是相反数；
生9(抢着补充)：0除外
生10：表示一个数的相反数就是在它的前面放一个负号；
生11：一对相反数若标在数轴上,它们离原点的距离相等；
生12：应该是它们所处的位置离原点的距离相等；
生13：相反数等于自身的数只有一个0.
师：同学们从多个角度谈了对相反数的认识,非常深刻,其中谈到一个概念是数轴,谁谈一下对数轴的见解？
生14：数轴就是一条带有原点、正方向、单位长度的直线.
生15：利用数轴能把数标在上面,并能看出数的大小.
生16：任何一个有理数都能表示在数轴上.
师：数轴是实现“数”与“形”结合的重要工具,我们可要重视哦!
师(板书[JB(｜]-[SX(]2[]5[SX)][JB)｜])：读作什么？
生：-[SX(]2[]5[SX)]的绝对值
师：由此我们想到了概念——
生：绝对值
师：哪谁能谈谈对绝对值的认识？
生17：它就是一个数表示的点离开原点的距离.
生18：一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0；
生19：相反数的绝对值相等.
生20：绝对值等于自身的数是非负数.
生21：一个数的绝对值是一个非负数.
生22：相反数的绝对值相等,绝对值相等的两个数可能相等,也可能相反.
……
师：从概念到性质,梳理的井井有条,说明同学们对绝对值有了一定的认识.
师：[SX(]1[]-3[SX)]该怎么读？
生：负三分之一、负3的倒数.
师：由此出现了哪一概念——
生：倒数.
师：倒数的知识你知道多少？
生23:1除以一个数的商就是这个数的倒数.
生24：零除外.
生25：两数的乘积为1,这两个数互为倒数.
生26：倒数等于自身的数为±1.
生27：倒数使除法运算变成了乘法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.
师：同学们集思广益,赐予了我们这些共同财富,希望能变成自己的东西．
师(板书2.5×104)：怎么读？能让我们想到什么？
生28：读作2点5乘以10的四次幂,能想到科学记数法.
生29：也可以理解成2.5万.
生30：对,它就是25000.
生31(优秀生)：若它是一个近似数的话,它的有效数字就是2和5两个,它精确到千位,
生32：不对,他精确到十分位.
生有争议,意欲征求老师的意见.
师：这个问题先请两个代表说明一下自己为什么这样认识,好吗？
生33：小数点后的第一位就是十分位,它的后两位是百分位,依次推下去,千分位,万分位……因此,我认为是十分位
生34：你说的是2.5这个数,而现在的数是2.5×104,它相当于2.5万,也就是两万五千,其中的2指的是2万,而此处的5并不是0.5,而是表示5千,明白吧？
生35(挠挠头,嘟囔)：也是,我怎么没注意.
师：同学们,谁的说法对应该见分晓了,能理解吗？
生：有部分同学有兴奋的声音,能．
师：还能想到什么？
生：乘方运算
师：对,乘方运算,这可是一个高级别的运算,谁能谈谈对它的认识？
生36：乘方就是求相同因数的积的运算.
生37(强接)：因此说,乘方就是一个特殊的乘法,它就特殊在因数是相同的,其中相同的因数称之为底数,相同因数的个数就是指数．
生38：二次方也叫平方,三次方也叫立方.
生39：正数的任何次方是正的,负数的偶次方是正的、奇次方是负的,0的任何正整数次方为0.
生40：平方等于自身的数有0和1,立方等于自身的数有0和±1.
生41：相反数的平方相等、立方仍然为相反数；平方相等的两个数可能相等、也可能互为相反数.
生42：任何数的平方都是非负数.
师：同学们好厉害,一股脑地谈了这么多认识,可谓丰富.这样一来,我们这一章的基本概念就基本梳理清楚了,谁还有疑问？
生43：我对数-a表示任意数不明白.
生44：这里的“-”表示的是一个数的相反数,并不一定是负数,当a表示正数时,-a就是一个负数,当a表示负数时,-a就是一个正数,当a表示0时,-a就是0,可见,-a和a一样可表示任意数.
师：这位同学通过分类表述的方式解释得非常好,我们应该表示一下.
掌声
生45：-22与(-2)2有什么不同？
生46：读法就不同,第1个读2的平方的相反数,第2个读-2的平方.
生47：底数不同,第1个的底数为2,第2个的底数为-2.
生48：运算结果不同,第1个为-4,第2个为4.
生45：哦,明白了,弄清底数是关键啊!
师(等待)：(看学生没有提出疑问的了,进入下一环节)
(教学说明：如此教学,还是第一次,效果非常好,学生的参与热情之高让人惊叹,学生感到好玩.本环节最后的疑问互答,有效调动了全体同学的参与热情,相互碰撞、相互启迪,最后达成视界的融合、观点的默契,在释疑解难中消除了遗留的盲点,在你一言我一语的完善中深化了学生的认识.)
2 自主编拟,展示互答
(设计说明：编题本身就是把自主权还给学生的表现,学生自然会生发自己是课堂主人的自豪感和责任意识,因此,引导学生自主编拟,提供了学生“可做事、做成事”的机会,以充分暴露学生的思维过程,展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性,使学生真正成为学习的主体,从中体验成功的喜悦,孕育情感,发展情意,把有理数的加、减、乘、除、乘方运算推向前台,供集体研究学习,进一步熟悉各类运算法则、运算律这一核心,使得知识、技能、情感态度融汇一体,便于落实三维目标.同时有助于学生开放思维、发散思维的发展.)
师：上面我们交流了一些数,请同学们至少选用其中的3个数任意使用运算符号编出一道计算题
一言既出,学生们群情激昂,表现的胃口被吊了起来
要求全体学生独立完成,除几个同学有阻力外,其他完成顺利,笔者特安排完成迅速的同学帮扶几个“学困”生,合作较好．
师：这四道题挺有创意,都进行了知识的融合,其中第一题把一个数的绝对值、平方两个非负数及其非负性揭示出来,链接了方程、有理数的乘方运算；第二题以同类项为载体,借助方程反映了有理数的减法运算；第三题反向探测近似数与有效数字,具有一定的挑战性；第四题以数轴这条直线为介把线段的大小与数轴上点所表示的数结合,抓住了问题的交汇点,很有境界的一道好题.同学们成功的解答再一次见证了我们的优秀．
(教学说明：常态的课堂是老师提供题目学生作答,也就是师问生答,以上教学环节,反其道而行之,笔者退居幕后,让学生做了一回“小先生”,大大激发了学生的参与热情,个个摩拳擦掌,跃跃欲试,学生不一会就写满了黑板,以上是选为作答的几个代表性问题,把基本运算以及与前后相关知识的联系来了一次历练,把学习引向了深入,把课堂推向了高潮.)
3 练中巩固,用中体悟
(设计说明：设计这一环节的目的是让学生从单一的复习概念与计算的程式中解脱出来.从不同角度让学生继续复习本块内容,同时又能和其他章节的知识相衔接,在应用中展现、体会、感悟知识的价值,力图使本章知识的简单应用得到正强化.)
(2)有两种可能：
①输入了b＝0,因为0没有倒数,所以电脑无法操作；
②输入的a、b两数相等,因为a＝b,则a－b＝0,0不能作除数,所以电脑也无法操作．
点评：本题设定符号,现场给出新定义,反扣有理数的四则运算,并巧妙地将“0不能作分母”嵌入,是对学生阅读理解、自主学习能力以及计算能力和思维缜密性的检阅．
(教学说明：作为一节复习课,我们在开放的同时,还要关注目标的达成,学生的智慧火花在迸发,把几个数玩得不亦乐乎,但不能任由学生“大闹天宫”. 因此,笔者准备了几道综合性较强的题目,把本章的核心知识、技能、思想方法镶于应用性背景中,实践证明,如此的收口,形散神凝,聚焦了本章的核心目标,激发了学生的斗志,提升了学生认知的层次.不过,由于题目难度较大,部分学生阻力较大,庆幸的是,通过“兵教兵”突破了这道防线.)
反思与评价：
数学如同一道丰盛的大餐,它营养丰富,但未必人人爱吃,这就需要适当地添加调味品,使之成为人见人爱的美食. 要把貌似枯燥乏味的数学概念、基本运算变成生动活泼的赏心乐事,是需要花一番功夫的,本节课的教学可以说达到了这一愿景．
本节复习课改变传统复习课的模式,让学生在“玩转几个‘数’”的过程中主动去回忆所学知识,变被动乏味的复习为主动愉快的学习,始终关注学生学习的兴趣和经验,实施开放式教学,让学生主动参与学习活动,把课堂上得有效、高效.在教学中,以学生活动为主,让愉快的学习贯穿教学的始终,充分体现了“自主合作,探究交流”的教学理念,把数学素养的提高前置,时刻关注学习方式和学习的动机.复习了知识、技能,丰富了思想方法,发展了思维能力.努力让“PISA测试”的启示成为数学教学旗帜的引领．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1 读数导引,概念再现
(设计意图：把概念蕴藏于每一个数中,在学生读数的同时,笔者意图通过适时的插言唤起学生处于休眠状态的记忆,在互动中复现概念,从多个角度认识概念,把冰冷的“数符”赋予火热的思考,枯燥乏味变十足情趣.)
师(不声不响,板书课题)：玩转几个“数”!
生：(弄不清老师葫芦里卖的什么药,惊讶的神态中透着好奇.)
师：(继续板书)：-3、+4
师：这两个数怎么读？
生(脱口而出)：负三、正四
师：由此我们想到哪几个相关概念？
生(七嘴八舌)：什么是负数、正数、有理数
师：说得好,这三个概念是本章的奠基概念,谁能谈谈对它们的认识？
生1：负数就是比0小的数,正数就是比0大的数
生2：正号可以省略,而负号不行；正数前面加负号就是负数；
生3：有理数可分成正有理数、负有理数和0
生4：也可分成负数和非负数；正数和非正数
生5：也可分成整数和分数
生6：有理数就是有限小数或无限循环小数
……
师：同学们认识比较到位、全面,很好!
师(板书)：-(-5)怎么读？
生：负的负5、负5的相反数
师：一个是按外形读的,一个是按意义读的,由此,我们读出了哪一概念？
生：相反数
师：对,相反数,这可是一个非常重要的概念,谁来说说对它的认识？
生6：只有符号不同的两个数,是相反数；
生7：和为0的两个数,是相反数；
生8：商为-1的两个数,是相反数；
生9(抢着补充)：0除外
生10：表示一个数的相反数就是在它的前面放一个负号；
生11：一对相反数若标在数轴上,它们离原点的距离相等；
生12：应该是它们所处的位置离原点的距离相等；
生13：相反数等于自身的数只有一个0.
师：同学们从多个角度谈了对相反数的认识,非常深刻,其中谈到一个概念是数轴,谁谈一下对数轴的见解？
生14：数轴就是一条带有原点、正方向、单位长度的直线.
生15：利用数轴能把数标在上面,并能看出数的大小.
生16：任何一个有理数都能表示在数轴上.
师：数轴是实现“数”与“形”结合的重要工具,我们可要重视哦!
师(板书[JB(｜]-[SX(]2[]5[SX)][JB)｜])：读作什么？
生：-[SX(]2[]5[SX)]的绝对值
师：由此我们想到了概念——
生：绝对值
师：哪谁能谈谈对绝对值的认识？
生17：它就是一个数表示的点离开原点的距离.
生18：一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0；
生19：相反数的绝对值相等.
生20：绝对值等于自身的数是非负数.
生21：一个数的绝对值是一个非负数.
生22：相反数的绝对值相等,绝对值相等的两个数可能相等,也可能相反.
……
师：从概念到性质,梳理的井井有条,说明同学们对绝对值有了一定的认识.
师：[SX(]1[]-3[SX)]该怎么读？
生：负三分之一、负3的倒数.
师：由此出现了哪一概念——
生：倒数.
师：倒数的知识你知道多少？
生23:1除以一个数的商就是这个数的倒数.
生24：零除外.
生25：两数的乘积为1,这两个数互为倒数.
生26：倒数等于自身的数为±1.
生27：倒数使除法运算变成了乘法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.
师：同学们集思广益,赐予了我们这些共同财富,希望能变成自己的东西．
师(板书2.5×104)：怎么读？能让我们想到什么？
生28：读作2点5乘以10的四次幂,能想到科学记数法.
生29：也可以理解成2.5万.
生30：对,它就是25000.
生31(优秀生)：若它是一个近似数的话,它的有效数字就是2和5两个,它精确到千位,
生32：不对,他精确到十分位.
生有争议,意欲征求老师的意见.
师：这个问题先请两个代表说明一下自己为什么这样认识,好吗？
生33：小数点后的第一位就是十分位,它的后两位是百分位,依次推下去,千分位,万分位……因此,我认为是十分位
生34：你说的是2.5这个数,而现在的数是2.5×104,它相当于2.5万,也就是两万五千,其中的2指的是2万,而此处的5并不是0.5,而是表示5千,明白吧？
生35(挠挠头,嘟囔)：也是,我怎么没注意.
师：同学们,谁的说法对应该见分晓了,能理解吗？
生：有部分同学有兴奋的声音,能．
师：还能想到什么？
生：乘方运算
师：对,乘方运算,这可是一个高级别的运算,谁能谈谈对它的认识？
生36：乘方就是求相同因数的积的运算.
生37(强接)：因此说,乘方就是一个特殊的乘法,它就特殊在因数是相同的,其中相同的因数称之为底数,相同因数的个数就是指数．
生38：二次方也叫平方,三次方也叫立方.
生39：正数的任何次方是正的,负数的偶次方是正的、奇次方是负的,0的任何正整数次方为0.
生40：平方等于自身的数有0和1,立方等于自身的数有0和±1.
生41：相反数的平方相等、立方仍然为相反数；平方相等的两个数可能相等、也可能互为相反数.
生42：任何数的平方都是非负数.
师：同学们好厉害,一股脑地谈了这么多认识,可谓丰富.这样一来,我们这一章的基本概念就基本梳理清楚了,谁还有疑问？
生43：我对数-a表示任意数不明白.
生44：这里的“-”表示的是一个数的相反数,并不一定是负数,当a表示正数时,-a就是一个负数,当a表示负数时,-a就是一个正数,当a表示0时,-a就是0,可见,-a和a一样可表示任意数.
师：这位同学通过分类表述的方式解释得非常好,我们应该表示一下.
掌声
生45：-22与(-2)2有什么不同？
生46：读法就不同,第1个读2的平方的相反数,第2个读-2的平方.
生47：底数不同,第1个的底数为2,第2个的底数为-2.
生48：运算结果不同,第1个为-4,第2个为4.
生45：哦,明白了,弄清底数是关键啊!
师(等待)：(看学生没有提出疑问的了,进入下一环节)
(教学说明：如此教学,还是第一次,效果非常好,学生的参与热情之高让人惊叹,学生感到好玩.本环节最后的疑问互答,有效调动了全体同学的参与热情,相互碰撞、相互启迪,最后达成视界的融合、观点的默契,在释疑解难中消除了遗留的盲点,在你一言我一语的完善中深化了学生的认识.)
2 自主编拟,展示互答
(设计说明：编题本身就是把自主权还给学生的表现,学生自然会生发自己是课堂主人的自豪感和责任意识,因此,引导学生自主编拟,提供了学生“可做事、做成事”的机会,以充分暴露学生的思维过程,展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性,使学生真正成为学习的主体,从中体验成功的喜悦,孕育情感,发展情意,把有理数的加、减、乘、除、乘方运算推向前台,供集体研究学习,进一步熟悉各类运算法则、运算律这一核心,使得知识、技能、情感态度融汇一体,便于落实三维目标.同时有助于学生开放思维、发散思维的发展.)
师：上面我们交流了一些数,请同学们至少选用其中的3个数任意使用运算符号编出一道计算题
一言既出,学生们群情激昂,表现的胃口被吊了起来
要求全体学生独立完成,除几个同学有阻力外,其他完成顺利,笔者特安排完成迅速的同学帮扶几个“学困”生,合作较好．
师：这四道题挺有创意,都进行了知识的融合,其中第一题把一个数的绝对值、平方两个非负数及其非负性揭示出来,链接了方程、有理数的乘方运算；第二题以同类项为载体,借助方程反映了有理数的减法运算；第三题反向探测近似数与有效数字,具有一定的挑战性；第四题以数轴这条直线为介把线段的大小与数轴上点所表示的数结合,抓住了问题的交汇点,很有境界的一道好题.同学们成功的解答再一次见证了我们的优秀．
(教学说明：常态的课堂是老师提供题目学生作答,也就是师问生答,以上教学环节,反其道而行之,笔者退居幕后,让学生做了一回“小先生”,大大激发了学生的参与热情,个个摩拳擦掌,跃跃欲试,学生不一会就写满了黑板,以上是选为作答的几个代表性问题,把基本运算以及与前后相关知识的联系来了一次历练,把学习引向了深入,把课堂推向了高潮.)
3 练中巩固,用中体悟
(设计说明：设计这一环节的目的是让学生从单一的复习概念与计算的程式中解脱出来.从不同角度让学生继续复习本块内容,同时又能和其他章节的知识相衔接,在应用中展现、体会、感悟知识的价值,力图使本章知识的简单应用得到正强化.)
(2)有两种可能：
①输入了b＝0,因为0没有倒数,所以电脑无法操作；
②输入的a、b两数相等,因为a＝b,则a－b＝0,0不能作除数,所以电脑也无法操作．
点评：本题设定符号,现场给出新定义,反扣有理数的四则运算,并巧妙地将“0不能作分母”嵌入,是对学生阅读理解、自主学习能力以及计算能力和思维缜密性的检阅．
(教学说明：作为一节复习课,我们在开放的同时,还要关注目标的达成,学生的智慧火花在迸发,把几个数玩得不亦乐乎,但不能任由学生“大闹天宫”. 因此,笔者准备了几道综合性较强的题目,把本章的核心知识、技能、思想方法镶于应用性背景中,实践证明,如此的收口,形散神凝,聚焦了本章的核心目标,激发了学生的斗志,提升了学生认知的层次.不过,由于题目难度较大,部分学生阻力较大,庆幸的是,通过“兵教兵”突破了这道防线.)
反思与评价：
数学如同一道丰盛的大餐,它营养丰富,但未必人人爱吃,这就需要适当地添加调味品,使之成为人见人爱的美食. 要把貌似枯燥乏味的数学概念、基本运算变成生动活泼的赏心乐事,是需要花一番功夫的,本节课的教学可以说达到了这一愿景．
本节复习课改变传统复习课的模式,让学生在“玩转几个‘数’”的过程中主动去回忆所学知识,变被动乏味的复习为主动愉快的学习,始终关注学生学习的兴趣和经验,实施开放式教学,让学生主动参与学习活动,把课堂上得有效、高效.在教学中,以学生活动为主,让愉快的学习贯穿教学的始终,充分体现了“自主合作,探究交流”的教学理念,把数学素养的提高前置,时刻关注学习方式和学习的动机.复习了知识、技能,丰富了思想方法,发展了思维能力.努力让“PISA测试”的启示成为数学教学旗帜的引领．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文