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一、方程在基本定理中的应用
根据平面向量基本定理：若[e1、e2]是平面内的两个不共线向量，对于该平面内的任一向量[a]，有且仅有一对有序实数对[λ1、λ2]，使[a=λ1e1+λ2e2]. 可见对该向量来说，这对有序实数对[λ1、λ2]的确定尤为关键！而方程（或方程组）在解决待定系数方面具有不可替代的作用. 因此解这类问题时，利用解方程（组）是一个常用的技巧！
例1 如图所示，在[△OAB]中，[OC=14OA,][OD=12OB]，[AD]与[BC]交于点[M]，设[OA=a,][OB=b]，试用[a、b]表示[OM].
分析 由于点[M]是[AD]与[BC]两条线段的交点，题给条件中[M]在这两条线段上的具体位置没有直接用数量表示，因此，直接利用向量的运算法则是不能解决问题的. 但点[M]被线段[AD]和线段[BC]唯一确定，这时利用两个定量的方程组就可以发挥相应的作用，即如果设[OM=λa+μb]，那么只需要依据[A、M、D]三点共线及[B、C、D]三点共线列出关于[λ、μ]的方程组即可.
解 设[OM=λa+μb]，
则[AM=AO+OM=(λ-1)a+μb].
而[AD=AO+OD=-a+12b]，
且[A、M、D]三点共线，
[∴λ-1-1=μ12]，即[λ+2μ=1]①.
同理[CM=(λ-14)a+μb, CB=-14a+b].
由[B、C、D]三点共线得[4λ+μ=1]②.
联立①②解得[λ=17, μ=37].
∴[OM=17a+37b].
点拨 几何中的位置问题——在向量中很多时候可以充分地“数字化”，利用平面向量的基本定理，将向量等式转化为数量等式——方程，然后利用解方程去完善向量！
二、方程在“三点共线”知识中的应用
利用平面向量知识，不难构建如下结论：若[OC=λOA+μOB]，则三点[A、B、C]共线的充要条件（等价条件）是[λ+μ＝1]. 而若点[C]分[AB]所成的比为[λ]，我们还可得到如下向量等式：[MC＝11+λMA+λ1+λMB]（其中[M]点为直线[AB]外的任意一点）. 从中我们不难发现方程的“影子”，于是可以利用方程的技巧去解决相关问题.
例2 如图所示，在[△ABC]中，[AE=13AC,][AF=14AB,][BE]与[CF]交于点[I],[AI]交[BC]于点[P]，求[△EPF]与[△ABC]的面积之比.
分析 对[△EPF]来说，题中已经给定[E、F]两点的位置（“数字化”了！），对于点[P]，我们仍可以利用上例的解题方法来确定. 也就是说，我们能通过平面向量基本定理中方程的应用技巧将点[P]“数字化”. 于是，为我们进一步研究两个三角形面积之比提供了关键性的帮助！不过，对于利用方程的知识来“数字化”点[P]，我们也可以利用已知的上述结论，用此“三点共线” 改装为彼“三点共线”的方法来达到求解的目的！
解 [∵A、F、B]三点共线，且[F]分[BA]所成的比为3，
[∴CF=14CB+34CA].
又[∵CA=32CE],若设[CF=λCI，CB=μCP],
则上式可变形为：
[λCI=14CB+98CE=14μCP+34CA].
[∴BP=35BC].
由于[I、B、E]和[I、P、A]均三点共线，
则[λ＝14+98,λ＝14μ+34.]解得[λ＝118，μ＝52].
[∴SΔBPFSΔABC=12BP⋅BF⋅sin∠PBF12BA⋅BC⋅sin∠ABC=920,]
同理[SΔPCFSΔABC=415,SΔBPFSΔABC=112].
[∴SΔEPFSΔABC=1-920-415-112=15].
三、方程在向量的坐标运算中的应用
方程在解决某些向量的坐标运算问题时，常可起到化繁为简的作用，主要用于确定向量的坐标、应用向量平行、垂直的坐标形式等.
例3 平面内给定三个向量[a=(3,2),b=(-1,2),][c=(4,1)]，试求向量[d]，使[(d-c)//(a+b),d-c=1].
分析 设[d=(x,y)]后，求向量[d]的问题，转眼就变成了求解[x、y]的值的问题了. 根据题意列出两个方程，通过解方程组就可以得到[d].
解 设[d=(x,y)]，
则[d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4)].
又[(d-c)∥(a+b),d-c=1]，
[∴4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=1.]
解之得[x=4+55,y=1+255,]或[x=4-55,y=1-255.]
[∴d=(4+55,1+255)]或[d=(4-55,1-255)].
例4 设[OA=(2,5), OB=(3,1), OC=(6,3)],在线段[OC]上是否存在点[P]，使[PA⋅PB=0]？若存在，求[P]的坐标；若不存在，说明理由.
分析 这是一个探求性问题，先假设存在这样的点[P]，由于点[P]在线段[OC]上，为了确定点[P]的位置，可以引入参数[λ]，令[OP=λOC (0≤λ≤1)]，由[λ]的值来确定点[P]的位置；这样，点[P]是否存在的问题就转化为参数[λ]是否存在的问题，也就转化为方程是否有解的问题了.
解 设存在点[P]，满足[OP=λOC (0≤λ≤1)]，
则[OP=(6λ,3λ)]，[PA=(2-6λ,5-3λ),]
[PB=(3-6λ,1-3λ)]，
[∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0].
[∴45λ2-48λ+11=0]，解得[λ=13]或[λ=1115].
[∴OP=(2,1)]或[OP=(225,115)].
[∴]存在点[P(2,1)]或点[P(225,115)]满足题意.
四、方程在向量数量积运算中的应用
我们知道，两向量[a、b]的数量积（内积）公式：[a⋅b=abcosθ]，在确定了已知量和未知量的情况下，其本身就是一个很好的方程式.
例5 已知[a、b]是非零向量，若[a+3b]与[7a-5b]垂直，[a-4b]与[7a-2b]垂直，试求[a、b]的夹角[θ].
分析 要求[a、b]的夹角[θ]，就需要利用公式[a⋅b=abcosθ]，利用题中的垂直条件，用[a、b]来表示[a⋅b]，进而可以解出夹角[θ]. 整个过程就是一个解方程的过程！
解 由条件知，
[(a+3b)⋅(7a-5b)=0，(a-4b)⋅(7a-2b)=0.]
[7a2+16a⋅b-15b2=0，①7a2-30a⋅b+8b2=0. ②]
[①×15+②×8]得[a=b].
由[①]得[7a2+16a⋅bcosθ-15b2=0].
[∴7+16cosθ-15=0].
[∴θ=60∘].
根据平面向量基本定理：若[e1、e2]是平面内的两个不共线向量，对于该平面内的任一向量[a]，有且仅有一对有序实数对[λ1、λ2]，使[a=λ1e1+λ2e2]. 可见对该向量来说，这对有序实数对[λ1、λ2]的确定尤为关键！而方程（或方程组）在解决待定系数方面具有不可替代的作用. 因此解这类问题时，利用解方程（组）是一个常用的技巧！
例1 如图所示，在[△OAB]中，[OC=14OA,][OD=12OB]，[AD]与[BC]交于点[M]，设[OA=a,][OB=b]，试用[a、b]表示[OM].
分析 由于点[M]是[AD]与[BC]两条线段的交点，题给条件中[M]在这两条线段上的具体位置没有直接用数量表示，因此，直接利用向量的运算法则是不能解决问题的. 但点[M]被线段[AD]和线段[BC]唯一确定，这时利用两个定量的方程组就可以发挥相应的作用，即如果设[OM=λa+μb]，那么只需要依据[A、M、D]三点共线及[B、C、D]三点共线列出关于[λ、μ]的方程组即可.
解 设[OM=λa+μb]，
则[AM=AO+OM=(λ-1)a+μb].
而[AD=AO+OD=-a+12b]，
且[A、M、D]三点共线，
[∴λ-1-1=μ12]，即[λ+2μ=1]①.
同理[CM=(λ-14)a+μb, CB=-14a+b].
由[B、C、D]三点共线得[4λ+μ=1]②.
联立①②解得[λ=17, μ=37].
∴[OM=17a+37b].
点拨 几何中的位置问题——在向量中很多时候可以充分地“数字化”，利用平面向量的基本定理，将向量等式转化为数量等式——方程，然后利用解方程去完善向量！
二、方程在“三点共线”知识中的应用
利用平面向量知识，不难构建如下结论：若[OC=λOA+μOB]，则三点[A、B、C]共线的充要条件（等价条件）是[λ+μ＝1]. 而若点[C]分[AB]所成的比为[λ]，我们还可得到如下向量等式：[MC＝11+λMA+λ1+λMB]（其中[M]点为直线[AB]外的任意一点）. 从中我们不难发现方程的“影子”，于是可以利用方程的技巧去解决相关问题.
例2 如图所示，在[△ABC]中，[AE=13AC,][AF=14AB,][BE]与[CF]交于点[I],[AI]交[BC]于点[P]，求[△EPF]与[△ABC]的面积之比.
分析 对[△EPF]来说，题中已经给定[E、F]两点的位置（“数字化”了！），对于点[P]，我们仍可以利用上例的解题方法来确定. 也就是说，我们能通过平面向量基本定理中方程的应用技巧将点[P]“数字化”. 于是，为我们进一步研究两个三角形面积之比提供了关键性的帮助！不过，对于利用方程的知识来“数字化”点[P]，我们也可以利用已知的上述结论，用此“三点共线” 改装为彼“三点共线”的方法来达到求解的目的！
解 [∵A、F、B]三点共线，且[F]分[BA]所成的比为3，
[∴CF=14CB+34CA].
又[∵CA=32CE],若设[CF=λCI，CB=μCP],
则上式可变形为：
[λCI=14CB+98CE=14μCP+34CA].
[∴BP=35BC].
由于[I、B、E]和[I、P、A]均三点共线，
则[λ＝14+98,λ＝14μ+34.]解得[λ＝118，μ＝52].
[∴SΔBPFSΔABC=12BP⋅BF⋅sin∠PBF12BA⋅BC⋅sin∠ABC=920,]
同理[SΔPCFSΔABC=415,SΔBPFSΔABC=112].
[∴SΔEPFSΔABC=1-920-415-112=15].
三、方程在向量的坐标运算中的应用
方程在解决某些向量的坐标运算问题时，常可起到化繁为简的作用，主要用于确定向量的坐标、应用向量平行、垂直的坐标形式等.
例3 平面内给定三个向量[a=(3,2),b=(-1,2),][c=(4,1)]，试求向量[d]，使[(d-c)//(a+b),d-c=1].
分析 设[d=(x,y)]后，求向量[d]的问题，转眼就变成了求解[x、y]的值的问题了. 根据题意列出两个方程，通过解方程组就可以得到[d].
解 设[d=(x,y)]，
则[d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4)].
又[(d-c)∥(a+b),d-c=1]，
[∴4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=1.]
解之得[x=4+55,y=1+255,]或[x=4-55,y=1-255.]
[∴d=(4+55,1+255)]或[d=(4-55,1-255)].
例4 设[OA=(2,5), OB=(3,1), OC=(6,3)],在线段[OC]上是否存在点[P]，使[PA⋅PB=0]？若存在，求[P]的坐标；若不存在，说明理由.
分析 这是一个探求性问题，先假设存在这样的点[P]，由于点[P]在线段[OC]上，为了确定点[P]的位置，可以引入参数[λ]，令[OP=λOC (0≤λ≤1)]，由[λ]的值来确定点[P]的位置；这样，点[P]是否存在的问题就转化为参数[λ]是否存在的问题，也就转化为方程是否有解的问题了.
解 设存在点[P]，满足[OP=λOC (0≤λ≤1)]，
则[OP=(6λ,3λ)]，[PA=(2-6λ,5-3λ),]
[PB=(3-6λ,1-3λ)]，
[∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0].
[∴45λ2-48λ+11=0]，解得[λ=13]或[λ=1115].
[∴OP=(2,1)]或[OP=(225,115)].
[∴]存在点[P(2,1)]或点[P(225,115)]满足题意.
四、方程在向量数量积运算中的应用
我们知道，两向量[a、b]的数量积（内积）公式：[a⋅b=abcosθ]，在确定了已知量和未知量的情况下，其本身就是一个很好的方程式.
例5 已知[a、b]是非零向量，若[a+3b]与[7a-5b]垂直，[a-4b]与[7a-2b]垂直，试求[a、b]的夹角[θ].
分析 要求[a、b]的夹角[θ]，就需要利用公式[a⋅b=abcosθ]，利用题中的垂直条件，用[a、b]来表示[a⋅b]，进而可以解出夹角[θ]. 整个过程就是一个解方程的过程！
解 由条件知，
[(a+3b)⋅(7a-5b)=0，(a-4b)⋅(7a-2b)=0.]
[7a2+16a⋅b-15b2=0，①7a2-30a⋅b+8b2=0. ②]
[①×15+②×8]得[a=b].
由[①]得[7a2+16a⋅bcosθ-15b2=0].
[∴7+16cosθ-15=0].
[∴θ=60∘].