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内容提要：本文对计算教学中算理算法相关联的一些热点问题，结合一定的课堂教学实例展开了剖析，提出了自己的见解：计算教学要重视过程（算理）教学，要适度延缓算理抽象到算法的时间，以促进算理和算法的有效联结，旨在抛砖引玉，以求引起一线教师的共鸣。
关键词：算理；算法；有效联结
【中图分类号】G424.1
课改到今天，计算教学要追求算理与算法的和谐统一已经得到了广大数学教师的认可。但是，算理算法孰轻孰重？不同知识难度的课堂如何寻找算理与算法的平衡点？每一节计算教学课在学生理解算理后是不是马上抽象出算法？诸如此类还是有很多问题困扰着一线教师。
《小学数学教师》编辑部举办的小学数学“计算教学”专场研讨会上，北师大教材副主编张丹教授的观点促人深思：学生刚通过各种方式理解算理，马上要面对抽象的算法，且付诸于计算，在算理和算法之间是不是应该架设桥梁？对于知识教学有难度的计算课，像《除数是一位数的笔算除法》一课，她甚至建议教师不一定在一节课就让学生实现“初始”竖式的“压缩”，而是充分建立“初始”竖式与学生算法多样化之间的联系，真正使学生理解算理，内化计算方法。带着这些思考我重新审视了北京海淀区牛立文执教老师的《除数是一位数的笔算除法》一课：
【片段回放】
第一层探索：
1.出示情境：有48个桃子（4筐+8个），平均分给2只猴子，怎么分？
2.小组活动，用小棒代表桃子，动手分一分，然后用数学的方式把分的过程表示出来。
3.汇报交流
A：横式
40÷2=20（个） 8÷2=4（个） 20+4=24（个）
师：分了几次？每次分的是什么？
教师让学生说一说动手分的过程，引导学生将分的过程与横式对应。
课件回顾，通过课件演示小棒图分的过程，与横式建立联系。
B：口算式的竖式 2 4
2 4 8
4 8
0
师：能不能看出分了两次？
学生说分的过程，教师依次出示分解竖式。
2 0 4
2 4 0 2 8 2 0
4 0 8 + 4
0 0 2 4
C：教师出示分层竖式 2 4
2 4 8
4
8
8
0
师：和刚才的竖式有什么区别？
从分层竖式上能不能看出两次分？
课件辅助，建立小棒图与分层竖式的联系。
结合数位表，建立横式与分层竖式的联系。
4.反思：以前写的除法竖式都是一层的，为什么今天的竖式要分层了？
【课堂观察】
教师通过多次观察、操作、比较，不断的建立分小棒、横式和竖式之间的联系，旨在通过沟通联系来理解竖式每一层的含义，体会竖式的价值。然而，从课堂反馈情况来看，很多学生虽然理解了算理，但没有深刻体會竖式的价值，不少学生不会或者不愿意写分层竖式。张丹教授分析原因：1.学生对二年级学习的除法竖式的遗忘。2.分层竖式书写的综合性。3.口算除法对本课的负面影响。于是牛老师就有了第二层的探索：
【片段回放】
第二层探索：
1.改变情境：48个桃子，平均分给3只猴子，怎么分？
2.先用小棒分一分，再用竖式表示分的过程。
3.汇报
学生反馈： 2 4
2 4 8
4
8
8
0
结合分的过程说说竖式每层的意思。
课件演示分小棒、拆小棒过程，边出示横式，建立小棒、横式、竖式之间的联系。4÷3=1……1（十）
18÷3=6
4.再次反思：今天学的竖式为什么要分层？
【课堂观察】
48÷3第一次不能刚好分完，反而引起了矛盾冲突，让学生尝试着自己去寻找解决问题的“脚手架”，加上有第一层探索的铺垫，很多学生自觉或不自觉的运用了分层竖式解决。在第二层探索中，孩子们充分理解了竖式每一层的含义，并在不断认识竖式的过程中进一步体会了竖式的价值，算理理解可谓深刻到位，多数学生已经学会或者愿意用竖式来解决两位数除以一位数的问题。
张丹教授做了研究，对不同学校学生学习该课后进行了后测分析，得出结论：无论老师怎么教学，总有一部分孩子没有完全学会竖式的计算方法。张丹教授说：她很关注这节课的下一课时，她认为：从算理过渡到算法有个过程，只要有了第一课时对算理的充分感悟，学生一定会有第二课时“顿悟” 算法的现象。
【反思】
1.要加强算理的理解教学。
张天孝老师指出：计算教学应当是在理解算理的基础上探究算法。算理是由数学概念、运算定律、运算性质所构成的，是探究与解释算法的理论依据。通常所说的计算法则是人为的规定与选择，是为了保证数学内部和谐，而法则背后的道理仍然是算理。因此，算理比算法重要。
在本学期的区域组研修活动中，学校备课组正是基于这样的理念对《口算乘法》一课进行了实践：
在这节课中，我们对以往口算整十数、整百数、整千数乘一位数时用几个十、几个百、几个千说算理的环节做了改进，引进了代表十、百、千的方块直观图。在计算20×3、200×3、2000×3的时候不断的让学生建立方块直观图和2个十、2个百、2个千之间的联系，为学生充分理解算理奠定了基础。在结合直观图，理解内化算理后，通过观察规律、比较，学生自然的能找到用口诀计算的规律，从而抽象出了算法。在接下来的环节中既有形成技能的算法强化，也有对其本质——算理理解的回顾。比如题组练习30×5=150、3×50=150、300×5=1500、3000×5=15000……时，首先老师让学生比赛口算速度，接着教师设问：你们知道他们为什么会算的那么快吗？这是对算法的强化。在题组练习后教师及时的追问：这里三五十五的15表示的意思一样吗？这就是对算理的回顾。就是这样不断的在算理算法、算法算理间的联结交融，逐渐实现了运算技能的自动化。 2.延缓算理到算法过渡的时间。
如何寻找直观算理和抽象算法之间的平衡点？我们在教具演示、学具操作、图片对照、生活再现等多种直观手段刺激下，通过数形结合的方式，充分清晰的理解了算理后，什么时候去面对抽象的算法？怎么去抽象？
徐斌老师认为，应在直观的算理和抽象的算法之间架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步形成“动作思维——形象思维——抽象思维”的发展过程。从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。
笔者认为，这个发展过程应该是这样的：教师在让学生经历充分的操作、直观图等理解算理后，让学生先对着操作、直观图不断的用语言描述过程——在此基础上，让学生脱离直观，借助想象口述算理，并逐步实现算理（包括初始算式）的不断“压缩”。这个过程，就是动作思维、形象思维、抽象思维不断“交融”的过程——最后，通过有条有理、有根有据、前后连贯的叙述算理和过程，逐渐达到运算技能的自动化阶段。
反思我们的课堂，不少老师上计算教学课，算理刚刚理解清晰，就迫不及待的抽象出了算法。学校教研组一次日常研修活动，内容是三上《被减数中间有零的减法》。
学生已经学习了三位数减三位数（连续退位）的减法计算方法，明白了哪一位不够减就向前一位借“1”的算理，在此基礎上，这节课来学习被减数中间有零的连续退位的减法。
教师在出示507-348算式后，通过摆小棒和课件演示，逐步呈现了算理：
个位上7根小棒不够减，要从十位上退1，十位上是0，就要从百位上退1作10，再从这个退下的10中退1到个位作10，这时十位上还剩9；个位上10加7的17，17减去8等于9；十位上9减4得5；百位退1剩4，4减3得1，最后结果是159.
课件的动态演示及清晰的讲解，学生初步理解了被减数中间有零的连续退位减法的算理。然而，还没有等学生细细回味的时候，教师就开始抽象算法：我们在计算的时候，可以像以前一样，向哪一位借，就在那一位上点上退位点（教师边点退位点），那么，这里的0就变成了9……
从学生的后测中发现，很多学生经过强化训练虽然会点退位点，但依旧把0当作10来计算，学生还没有充分经历“0”变成“9”的算理理解过程，就被老师“过早的”拉到了人为规定的算法中。
我们渴望达到这样的境界：当学生面对精确计算的题目时，能够回忆起法则进行“自动”的运算，而当询问法则背后的道理时，学生又能运用自己的方式正确的加以表达。这就需要我们的老师能从容地等待，给孩子充分的经历算理过渡到算法的时间和空间。
教育，是慢的事业！
关键词：算理；算法；有效联结
【中图分类号】G424.1
课改到今天，计算教学要追求算理与算法的和谐统一已经得到了广大数学教师的认可。但是，算理算法孰轻孰重？不同知识难度的课堂如何寻找算理与算法的平衡点？每一节计算教学课在学生理解算理后是不是马上抽象出算法？诸如此类还是有很多问题困扰着一线教师。
《小学数学教师》编辑部举办的小学数学“计算教学”专场研讨会上，北师大教材副主编张丹教授的观点促人深思：学生刚通过各种方式理解算理，马上要面对抽象的算法，且付诸于计算，在算理和算法之间是不是应该架设桥梁？对于知识教学有难度的计算课，像《除数是一位数的笔算除法》一课，她甚至建议教师不一定在一节课就让学生实现“初始”竖式的“压缩”，而是充分建立“初始”竖式与学生算法多样化之间的联系，真正使学生理解算理，内化计算方法。带着这些思考我重新审视了北京海淀区牛立文执教老师的《除数是一位数的笔算除法》一课：
【片段回放】
第一层探索：
1.出示情境：有48个桃子（4筐+8个），平均分给2只猴子，怎么分？
2.小组活动，用小棒代表桃子，动手分一分，然后用数学的方式把分的过程表示出来。
3.汇报交流
A：横式
40÷2=20（个） 8÷2=4（个） 20+4=24（个）
师：分了几次？每次分的是什么？
教师让学生说一说动手分的过程，引导学生将分的过程与横式对应。
课件回顾，通过课件演示小棒图分的过程，与横式建立联系。
B：口算式的竖式 2 4
2 4 8
4 8
0
师：能不能看出分了两次？
学生说分的过程，教师依次出示分解竖式。
2 0 4
2 4 0 2 8 2 0
4 0 8 + 4
0 0 2 4
C：教师出示分层竖式 2 4
2 4 8
4
8
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师：和刚才的竖式有什么区别？
从分层竖式上能不能看出两次分？
课件辅助，建立小棒图与分层竖式的联系。
结合数位表，建立横式与分层竖式的联系。
4.反思：以前写的除法竖式都是一层的，为什么今天的竖式要分层了？
【课堂观察】
教师通过多次观察、操作、比较，不断的建立分小棒、横式和竖式之间的联系，旨在通过沟通联系来理解竖式每一层的含义，体会竖式的价值。然而，从课堂反馈情况来看，很多学生虽然理解了算理，但没有深刻体會竖式的价值，不少学生不会或者不愿意写分层竖式。张丹教授分析原因：1.学生对二年级学习的除法竖式的遗忘。2.分层竖式书写的综合性。3.口算除法对本课的负面影响。于是牛老师就有了第二层的探索：
【片段回放】
第二层探索：
1.改变情境：48个桃子，平均分给3只猴子，怎么分？
2.先用小棒分一分，再用竖式表示分的过程。
3.汇报
学生反馈： 2 4
2 4 8
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结合分的过程说说竖式每层的意思。
课件演示分小棒、拆小棒过程，边出示横式，建立小棒、横式、竖式之间的联系。4÷3=1……1（十）
18÷3=6
4.再次反思：今天学的竖式为什么要分层？
【课堂观察】
48÷3第一次不能刚好分完，反而引起了矛盾冲突，让学生尝试着自己去寻找解决问题的“脚手架”，加上有第一层探索的铺垫，很多学生自觉或不自觉的运用了分层竖式解决。在第二层探索中，孩子们充分理解了竖式每一层的含义，并在不断认识竖式的过程中进一步体会了竖式的价值，算理理解可谓深刻到位，多数学生已经学会或者愿意用竖式来解决两位数除以一位数的问题。
张丹教授做了研究，对不同学校学生学习该课后进行了后测分析，得出结论：无论老师怎么教学，总有一部分孩子没有完全学会竖式的计算方法。张丹教授说：她很关注这节课的下一课时，她认为：从算理过渡到算法有个过程，只要有了第一课时对算理的充分感悟，学生一定会有第二课时“顿悟” 算法的现象。
【反思】
1.要加强算理的理解教学。
张天孝老师指出：计算教学应当是在理解算理的基础上探究算法。算理是由数学概念、运算定律、运算性质所构成的，是探究与解释算法的理论依据。通常所说的计算法则是人为的规定与选择，是为了保证数学内部和谐，而法则背后的道理仍然是算理。因此，算理比算法重要。
在本学期的区域组研修活动中，学校备课组正是基于这样的理念对《口算乘法》一课进行了实践：
在这节课中，我们对以往口算整十数、整百数、整千数乘一位数时用几个十、几个百、几个千说算理的环节做了改进，引进了代表十、百、千的方块直观图。在计算20×3、200×3、2000×3的时候不断的让学生建立方块直观图和2个十、2个百、2个千之间的联系，为学生充分理解算理奠定了基础。在结合直观图，理解内化算理后，通过观察规律、比较，学生自然的能找到用口诀计算的规律，从而抽象出了算法。在接下来的环节中既有形成技能的算法强化，也有对其本质——算理理解的回顾。比如题组练习30×5=150、3×50=150、300×5=1500、3000×5=15000……时，首先老师让学生比赛口算速度，接着教师设问：你们知道他们为什么会算的那么快吗？这是对算法的强化。在题组练习后教师及时的追问：这里三五十五的15表示的意思一样吗？这就是对算理的回顾。就是这样不断的在算理算法、算法算理间的联结交融，逐渐实现了运算技能的自动化。 2.延缓算理到算法过渡的时间。
如何寻找直观算理和抽象算法之间的平衡点？我们在教具演示、学具操作、图片对照、生活再现等多种直观手段刺激下，通过数形结合的方式，充分清晰的理解了算理后，什么时候去面对抽象的算法？怎么去抽象？
徐斌老师认为，应在直观的算理和抽象的算法之间架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步形成“动作思维——形象思维——抽象思维”的发展过程。从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。
笔者认为，这个发展过程应该是这样的：教师在让学生经历充分的操作、直观图等理解算理后，让学生先对着操作、直观图不断的用语言描述过程——在此基础上，让学生脱离直观，借助想象口述算理，并逐步实现算理（包括初始算式）的不断“压缩”。这个过程，就是动作思维、形象思维、抽象思维不断“交融”的过程——最后，通过有条有理、有根有据、前后连贯的叙述算理和过程，逐渐达到运算技能的自动化阶段。
反思我们的课堂，不少老师上计算教学课，算理刚刚理解清晰，就迫不及待的抽象出了算法。学校教研组一次日常研修活动，内容是三上《被减数中间有零的减法》。
学生已经学习了三位数减三位数（连续退位）的减法计算方法，明白了哪一位不够减就向前一位借“1”的算理，在此基礎上，这节课来学习被减数中间有零的连续退位的减法。
教师在出示507-348算式后，通过摆小棒和课件演示，逐步呈现了算理：
个位上7根小棒不够减，要从十位上退1，十位上是0，就要从百位上退1作10，再从这个退下的10中退1到个位作10，这时十位上还剩9；个位上10加7的17，17减去8等于9；十位上9减4得5；百位退1剩4，4减3得1，最后结果是159.
课件的动态演示及清晰的讲解，学生初步理解了被减数中间有零的连续退位减法的算理。然而，还没有等学生细细回味的时候，教师就开始抽象算法：我们在计算的时候，可以像以前一样，向哪一位借，就在那一位上点上退位点（教师边点退位点），那么，这里的0就变成了9……
从学生的后测中发现，很多学生经过强化训练虽然会点退位点，但依旧把0当作10来计算，学生还没有充分经历“0”变成“9”的算理理解过程，就被老师“过早的”拉到了人为规定的算法中。
我们渴望达到这样的境界：当学生面对精确计算的题目时，能够回忆起法则进行“自动”的运算，而当询问法则背后的道理时，学生又能运用自己的方式正确的加以表达。这就需要我们的老师能从容地等待，给孩子充分的经历算理过渡到算法的时间和空间。
教育，是慢的事业！