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同学们在学习“圆”的相关知识时，往往会因为一些题目的反复出错而悔恨不已.因此，我们在平时学习中，错题的收集和整理就显得尤为重要.整理错题，反思错误，理清解题思路和思想方法能够更好地提升学习数学的效率，巩固数学知识.下面我们就从一些典型的例题出发，归纳一些典型错误.
一、 圆中弦、弧、圆心角、等弧等概念理解不清
例1 下列说法中正确的是（ ）.
A. 长度相等的弧是等弧
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 相等的弦所对的弧相等
D. 相等的弧所对的弦相等
【错解】B或C.
【分析】本题是文字命题的选择题，重点考查对等弧、等弦的理解.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧，故A选项错误.
通过画图1可知，在同心圆中，∠DAE=∠BAC，而与不重合，故B选项错误.通过画图2可知，HG是⊙O和⊙I的公共弦，但在⊙O中弦GH所对的劣弧与在⊙I中弦GH所对的劣弧不重合，故C选项错误.D选项中等弧暗指这两条弧在同圆或等圆中，所以它们所对的弦必然相等.
例2 如图3，请找出图3⊙O中的弦_______，优弧_______，圆心角_______.
【错解】弦：AC、AB、BC、OB，
优弧：、、，
圆心角：∠AOB、∠BOC.
【分析】本题主要考查对弦、弧、圆心角的概念的理解.连接圆上任意两点的线段叫作弦，所以图中OB是半径而不是弦.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，同时弧又分为优弧和劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧，其中半圆既不是优弧也不是劣弧.所以直径AC所对的不算在内，这样图中还有AB、BC两条弦.我们知道圆中每一条非直径的弦必然对应一条优弧和劣弧，所以图中优弧有和.顶点在圆心的角叫作圆心角，在这里同学们容易把平角∠AOC遗漏.
二、 对圆周角的理解和运用出错，在圆中添辅助线的意识不强
例3 如图4，已知过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=57°，那么∠ABC=________°.
【错解】33°.
【分析】本题主要考查圆周角定理、连半径构造等腰三角形等知识.大家在解决本题时容易受图形的影响，误将∠ACB、∠ABC当作是⊙E的圆周角，AB当作是⊙E的直径，根据直径所对的圆周角是直角，错误认为∠ACB=90°，然后利用三角形内角和定理求得∠ABC=33°.实际上在本题中，A、B、C三点并不是都在⊙E上，所以∠ABC并不是⊙E的圆周角.
【正确解法】连接EC、ED，如图4，可设∠B=x，
∵DB=DE，
∴∠1=∠B=x，
∴∠2=∠1 ∠B=2x，
而EC=ED，
∴∠3=∠2=2x，
∵EA=EC，
∴∠A=∠ACE，
∴∠4=180°-2∠A=180°-2×57°=66°，
∵∠4=∠3 ∠B，
∴2x x=66°，
得x=22°，即∠ABC=22°.
三、 对圆中的内心、外心的理解混淆不清
例4 如图5，点O和点I分别是△ABC的外心和内心，若∠BOC=130°，则∠BIC=_______°.
【错解】160°.
【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心的运用.此题正确求出∠A的度数是关键.点O是三角形的外心——外接圆的圆心，即三角形各边中垂线的交点；点I是三角形的内心——内切圆的圆心，即三角形各内角平分线的交点.大家在运用条件时容易混淆，错把点O当作内心，从而得到∠ABC ∠ACB=100°，求出∠A=80°，再错把点I当作外心，得到∠BIC=2∠A=160°.
【正确解法】∵点O是△ABC的外心，∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∴∠ABC ∠ACB=115°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC ∠ICB=×115°=57.5°，
∴∠BIC=180°-57.5°=122.5°.
四、 垂径定理理解不透，解题时缺乏分类的意识
例5 如图6，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8 cm，CD=3 cm，则⊙O的半径为________.
【错解】5.
【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理等几何知识及其应用.同学们在解本题时误将CD长当作弦心距的长，进而利用勾股定理求得半径长为5.在本题中CD长是弓形高，弦心距=半径-弓形高.
【正确解法】如图6，连接OB.
∵OD⊥AB，且AB=8，
∴AC=BC=4.
设⊙O的半径为x，则OC=x-3，由勾股定理得：
x2=（x-3）2 42，
解得：x=.
故半径为.
例6 已知⊙O的半径是5，AB=8、CD=6是⊙O的两条平行弦，则AB、CD间的距离是________.
【错解】只有一解.
【分析】本题主要考查了垂径定理的知识，特别要注意分类讨论.同学们在解决这个问题的时候，由于没有图形，受惯性思维的影响，随意画出了其中的一种情况，利用勾股定理求出了距离.实际上，在解决与圆相关的问题时，由于圆的特殊性质，容易出现多解的现象，同学们在求解的过程中往往容易忽略，导致解题错误.
【正确解法】如图7、图8所示，连接OA，OC. 作直线OE⊥AB于E，交CD于F，
则OF⊥CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=AB=4，CF=CD=3.
根据勾股定理，得：
OE===3，
OF===4.
①当AB和CD在圆心的同侧时，
EF=OF-OE=1；
②当AB和CD在圆心的两侧时，
EF=OE OF=7.
综上，AB与CD间的距离为1或7.
在文章的最后，希望同学们在平时的学习中能养成及时整理错题的习惯，在整理的过程中感悟、体会问题的解法和思想方法，让所有的错题在自己的反思中得到改正.
（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）
一、 圆中弦、弧、圆心角、等弧等概念理解不清
例1 下列说法中正确的是（ ）.
A. 长度相等的弧是等弧
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 相等的弦所对的弧相等
D. 相等的弧所对的弦相等
【错解】B或C.
【分析】本题是文字命题的选择题，重点考查对等弧、等弦的理解.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧，故A选项错误.
通过画图1可知，在同心圆中，∠DAE=∠BAC，而与不重合，故B选项错误.通过画图2可知，HG是⊙O和⊙I的公共弦，但在⊙O中弦GH所对的劣弧与在⊙I中弦GH所对的劣弧不重合，故C选项错误.D选项中等弧暗指这两条弧在同圆或等圆中，所以它们所对的弦必然相等.
例2 如图3，请找出图3⊙O中的弦_______，优弧_______，圆心角_______.
【错解】弦：AC、AB、BC、OB，
优弧：、、，
圆心角：∠AOB、∠BOC.
【分析】本题主要考查对弦、弧、圆心角的概念的理解.连接圆上任意两点的线段叫作弦，所以图中OB是半径而不是弦.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，同时弧又分为优弧和劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧，其中半圆既不是优弧也不是劣弧.所以直径AC所对的不算在内，这样图中还有AB、BC两条弦.我们知道圆中每一条非直径的弦必然对应一条优弧和劣弧，所以图中优弧有和.顶点在圆心的角叫作圆心角，在这里同学们容易把平角∠AOC遗漏.
二、 对圆周角的理解和运用出错，在圆中添辅助线的意识不强
例3 如图4，已知过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=57°，那么∠ABC=________°.
【错解】33°.
【分析】本题主要考查圆周角定理、连半径构造等腰三角形等知识.大家在解决本题时容易受图形的影响，误将∠ACB、∠ABC当作是⊙E的圆周角，AB当作是⊙E的直径，根据直径所对的圆周角是直角，错误认为∠ACB=90°，然后利用三角形内角和定理求得∠ABC=33°.实际上在本题中，A、B、C三点并不是都在⊙E上，所以∠ABC并不是⊙E的圆周角.
【正确解法】连接EC、ED，如图4，可设∠B=x，
∵DB=DE，
∴∠1=∠B=x，
∴∠2=∠1 ∠B=2x，
而EC=ED，
∴∠3=∠2=2x，
∵EA=EC，
∴∠A=∠ACE，
∴∠4=180°-2∠A=180°-2×57°=66°，
∵∠4=∠3 ∠B，
∴2x x=66°，
得x=22°，即∠ABC=22°.
三、 对圆中的内心、外心的理解混淆不清
例4 如图5，点O和点I分别是△ABC的外心和内心，若∠BOC=130°，则∠BIC=_______°.
【错解】160°.
【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心的运用.此题正确求出∠A的度数是关键.点O是三角形的外心——外接圆的圆心，即三角形各边中垂线的交点；点I是三角形的内心——内切圆的圆心，即三角形各内角平分线的交点.大家在运用条件时容易混淆，错把点O当作内心，从而得到∠ABC ∠ACB=100°，求出∠A=80°，再错把点I当作外心，得到∠BIC=2∠A=160°.
【正确解法】∵点O是△ABC的外心，∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∴∠ABC ∠ACB=115°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC ∠ICB=×115°=57.5°，
∴∠BIC=180°-57.5°=122.5°.
四、 垂径定理理解不透，解题时缺乏分类的意识
例5 如图6，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8 cm，CD=3 cm，则⊙O的半径为________.
【错解】5.
【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理等几何知识及其应用.同学们在解本题时误将CD长当作弦心距的长，进而利用勾股定理求得半径长为5.在本题中CD长是弓形高，弦心距=半径-弓形高.
【正确解法】如图6，连接OB.
∵OD⊥AB，且AB=8，
∴AC=BC=4.
设⊙O的半径为x，则OC=x-3，由勾股定理得：
x2=（x-3）2 42，
解得：x=.
故半径为.
例6 已知⊙O的半径是5，AB=8、CD=6是⊙O的两条平行弦，则AB、CD间的距离是________.
【错解】只有一解.
【分析】本题主要考查了垂径定理的知识，特别要注意分类讨论.同学们在解决这个问题的时候，由于没有图形，受惯性思维的影响，随意画出了其中的一种情况，利用勾股定理求出了距离.实际上，在解决与圆相关的问题时，由于圆的特殊性质，容易出现多解的现象，同学们在求解的过程中往往容易忽略，导致解题错误.
【正确解法】如图7、图8所示，连接OA，OC. 作直线OE⊥AB于E，交CD于F，
则OF⊥CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=AB=4，CF=CD=3.
根据勾股定理，得：
OE===3，
OF===4.
①当AB和CD在圆心的同侧时，
EF=OF-OE=1；
②当AB和CD在圆心的两侧时，
EF=OE OF=7.
综上，AB与CD间的距离为1或7.
在文章的最后，希望同学们在平时的学习中能养成及时整理错题的习惯，在整理的过程中感悟、体会问题的解法和思想方法，让所有的错题在自己的反思中得到改正.
（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）