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二元一次方程组是同学们学习一元一次方程的再提升，要掌握二元一次方程组的解法及应用，务必要掌握以下几个要点：
一、 二元一次方程组的概念
1. 二元一次方程的定义
定义：含有两个未知数（形如和），并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
【注解】
（1） 方程中的“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；
（2） “未知数的次数为1”是指含有未知数的项“单项式”的次数是1.
（3） 二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
例1 方程中：①2-y3=1；②2x y=3；③5（x y）=7（x-y）；④1x y=4中是二元一次方程的有______. （填写序号即可）
【分析】①和③方程中只含有两个未知数，并且未知数的次数都是“1”的整式方程；而②和④中虽然也含有两个未知数，但是左边的代数式不是整式，所以不是二元一次方程.
【答案】①和③方程是二元一次方程.
【点评】此题主要考查了二元一次方程的概念.
2. 二元一次方程的解
定义：适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
【注解】二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为x=a，
y=b.的形式.
例2 下列各组数中，不是方程3x-2y-1=0的解是（ ）.
A. x=1，y =1
B. x=2，y=52
C. x=0，y=-12
D. x=2，y=1
【分析】分别把A、B、C、D四个答案代入到方程3x-2y-1=0中，如果左≠右，那么这个答案成立.
【答案】选D.
【点评】本题考查了二元一次方程解的情况及解成立的条件.
3. 二元一次方程组的定义
定义：含有两个未知数（形如x和y）的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如二元一次方程组3x 4y=5，
x=2.
【注解】（1） 二元一次方程组的一般形式为（a，b，d，e不能同时为0）.
（2） 如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组.
（3） 其中符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思.
例3 下列方程组中，不是二元一次方程组的为（ ）.
（1） x y=2，
2x-2=3.
（2） x y=4，
xy=3.
（3） 3x y=5，
x-3y=4.
（4） 12x y=0，
3x-2y=1.
（5） y=1，
x=2.
A. （1）（2）
B. （2）（5）
C. （3）（5）
D. （2）（4）
【分析】（1）、（3）、（5）方程组中含有两个未知数，并且每个方程中未知数的次数都是“1”，而（2）和（4）虽然方程组中都含有两个未知数，但（2）中的第二个方程的次数是“2”，（4）中第二个方程是一个分式方程，所以也不是二元一次方程组.
【答案】D.
【点评】本题考查的是对二元一次方程组定义的理解.
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【注解】（1） 方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2） 方程组的解要用大括号联立；
（3） 一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2x y=5，
2x y=6.无解，而方程组x y=-1，
2x 2y=-2.的解有无数个.
例4 既是方程2x 3y=6，又是方程3x 2y=-1的解是（ ）.
A. x=3，
y=-2.
B. x=-3，
y=4.
C. x=3，
y=2.
D. x=-3，
y=2.
【分析】可以将A、B、C、D四个答案分别代入到方程2x 3y=6和方程3x 2y=-1中，如果每个方程都成立，则就是两个方程的解.
【答案】B.
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
二、 二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法思想
1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
（1） 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成y=ax b（或x=ay b）的形式；
（2） 将y=ax b（或x=ay b）入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去x（或y），得到一个关于y（或x）的一元一次方程；
（3） 解这个一元一次方程，求出y（或x）的值； （4） 把x（或y）的值代入y=ax b（或x=ay b）中，求x（或y）的值；
（5） 用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【注解】（1） 用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
（2） 变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
（3） 要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
例5 用代入消元法解方程2x 3y=40，①
x-y=-5.②
【分析】（1） 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示x（或y），即变成y=ax b（或x=ay b）的形式；
（2） 将y=ax b（或x=ay b）入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去x（或y），得到一个关于x（或y）的一元一次方程.
解：由②，得
y=x 5，③
将③代入①，得
2x 3（x 5）=40，
解这个一元一次方程，得
x=5，
将=5代入③，得
y=10.
∴原方程组的解是x=5，
y=10.
【点评】本题主要考查如何用代入法解二元一次方程组，最重要的是从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形.
2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
（1） 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
（2） 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元 一次方程；
（3） 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4） 把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值.
（5） 将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.
【注解】当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
例6 用加减消元法解方程组：2x 3y=40，①
x-y=-5.②
【分析】（1） 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
（2） 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元 一次方程；
解：由②×3，得
3x-3y=-15，③
① ③，得
5x=25，
解这个方程得
x=5，
将=5代入到②中得
y=10.
∴原方程组的解是x=5，
y=10.
【点评】本题主要考查如何用加减法解二元一次方程组，最重要的是从方程组中选定一个系数比较简单的项，然后利用加减消元法消掉未知数，使方程组变成一元一次方程来解.
三、 用方程组解决实际问题
【注解】1. 解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
2. “设”、“答”两步，都要写清单位名称；
3. 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
例7 某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（如图），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等. 规格150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？
【分析】甲种纸盒用正方形纸片1张，长方形纸片4张；乙种纸盒用正方形纸片2张，长方形纸片3张.
解：设可供制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得x 2y=150，
4x 3y=300.
解这个方程组，得x=30，
y=60.
答：可供制作甲种纸盒30个，乙种纸盒60个.
【点评】列方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题是一样的，要注重：1. 审题；2. 找题目中的相等关系；3. 设相应的未知数；4. 列方程组；5. 解方程组；6. 检验；7. 写出答案.
一、 二元一次方程组的概念
1. 二元一次方程的定义
定义：含有两个未知数（形如和），并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
【注解】
（1） 方程中的“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；
（2） “未知数的次数为1”是指含有未知数的项“单项式”的次数是1.
（3） 二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
例1 方程中：①2-y3=1；②2x y=3；③5（x y）=7（x-y）；④1x y=4中是二元一次方程的有______. （填写序号即可）
【分析】①和③方程中只含有两个未知数，并且未知数的次数都是“1”的整式方程；而②和④中虽然也含有两个未知数，但是左边的代数式不是整式，所以不是二元一次方程.
【答案】①和③方程是二元一次方程.
【点评】此题主要考查了二元一次方程的概念.
2. 二元一次方程的解
定义：适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
【注解】二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为x=a，
y=b.的形式.
例2 下列各组数中，不是方程3x-2y-1=0的解是（ ）.
A. x=1，y =1
B. x=2，y=52
C. x=0，y=-12
D. x=2，y=1
【分析】分别把A、B、C、D四个答案代入到方程3x-2y-1=0中，如果左≠右，那么这个答案成立.
【答案】选D.
【点评】本题考查了二元一次方程解的情况及解成立的条件.
3. 二元一次方程组的定义
定义：含有两个未知数（形如x和y）的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如二元一次方程组3x 4y=5，
x=2.
【注解】（1） 二元一次方程组的一般形式为（a，b，d，e不能同时为0）.
（2） 如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组.
（3） 其中符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思.
例3 下列方程组中，不是二元一次方程组的为（ ）.
（1） x y=2，
2x-2=3.
（2） x y=4，
xy=3.
（3） 3x y=5，
x-3y=4.
（4） 12x y=0，
3x-2y=1.
（5） y=1，
x=2.
A. （1）（2）
B. （2）（5）
C. （3）（5）
D. （2）（4）
【分析】（1）、（3）、（5）方程组中含有两个未知数，并且每个方程中未知数的次数都是“1”，而（2）和（4）虽然方程组中都含有两个未知数，但（2）中的第二个方程的次数是“2”，（4）中第二个方程是一个分式方程，所以也不是二元一次方程组.
【答案】D.
【点评】本题考查的是对二元一次方程组定义的理解.
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【注解】（1） 方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2） 方程组的解要用大括号联立；
（3） 一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2x y=5，
2x y=6.无解，而方程组x y=-1，
2x 2y=-2.的解有无数个.
例4 既是方程2x 3y=6，又是方程3x 2y=-1的解是（ ）.
A. x=3，
y=-2.
B. x=-3，
y=4.
C. x=3，
y=2.
D. x=-3，
y=2.
【分析】可以将A、B、C、D四个答案分别代入到方程2x 3y=6和方程3x 2y=-1中，如果每个方程都成立，则就是两个方程的解.
【答案】B.
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
二、 二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法思想
1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
（1） 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成y=ax b（或x=ay b）的形式；
（2） 将y=ax b（或x=ay b）入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去x（或y），得到一个关于y（或x）的一元一次方程；
（3） 解这个一元一次方程，求出y（或x）的值； （4） 把x（或y）的值代入y=ax b（或x=ay b）中，求x（或y）的值；
（5） 用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【注解】（1） 用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
（2） 变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
（3） 要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
例5 用代入消元法解方程2x 3y=40，①
x-y=-5.②
【分析】（1） 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示x（或y），即变成y=ax b（或x=ay b）的形式；
（2） 将y=ax b（或x=ay b）入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去x（或y），得到一个关于x（或y）的一元一次方程.
解：由②，得
y=x 5，③
将③代入①，得
2x 3（x 5）=40，
解这个一元一次方程，得
x=5，
将=5代入③，得
y=10.
∴原方程组的解是x=5，
y=10.
【点评】本题主要考查如何用代入法解二元一次方程组，最重要的是从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形.
2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
（1） 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
（2） 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元 一次方程；
（3） 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4） 把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值.
（5） 将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.
【注解】当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
例6 用加减消元法解方程组：2x 3y=40，①
x-y=-5.②
【分析】（1） 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
（2） 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元 一次方程；
解：由②×3，得
3x-3y=-15，③
① ③，得
5x=25，
解这个方程得
x=5，
将=5代入到②中得
y=10.
∴原方程组的解是x=5，
y=10.
【点评】本题主要考查如何用加减法解二元一次方程组，最重要的是从方程组中选定一个系数比较简单的项，然后利用加减消元法消掉未知数，使方程组变成一元一次方程来解.
三、 用方程组解决实际问题
【注解】1. 解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
2. “设”、“答”两步，都要写清单位名称；
3. 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
例7 某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（如图），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等. 规格150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？
【分析】甲种纸盒用正方形纸片1张，长方形纸片4张；乙种纸盒用正方形纸片2张，长方形纸片3张.
解：设可供制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得x 2y=150，
4x 3y=300.
解这个方程组，得x=30，
y=60.
答：可供制作甲种纸盒30个，乙种纸盒60个.
【点评】列方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题是一样的，要注重：1. 审题；2. 找题目中的相等关系；3. 设相应的未知数；4. 列方程组；5. 解方程组；6. 检验；7. 写出答案.