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摘要文章研究了时滞 Markovian 跳变系统的稳定性和镇定问题.首先，运用一个新的积分不等式，得到了保守性更小的稳定性判据；其次，基于此判据，获得了一个状态反馈控制器存在的充分条件，使得闭环系统具有随机稳定性并满足扩展耗散性；最后，两个实际例子说明了设计方法的可行性和有效性.关键词Markovian跳变系统；稳定性；镇定；扩展耗散性
中图分类号TP13
文獻标志码A
0引言
近年来，对Markovian 跳变系统的研究得到了越来越多的学者的关注，这是由于Markovian 跳变系统能够很好地描述系统结构或参数突变的现象.目前，Markovian 跳变系统已被用来描述大量的实际系统，如金融系统、化学过程、电力系统以及飞行器控制系统.同时，由于时滞现象广泛存在于实际系统中，并且往往造成系统的不稳定和性能降低，因此，对时滞Markovian跳变系统的研究也吸引着广大学者的兴趣.文献[1]通过引入松弛矩阵变量得到了时滞Markovian跳变系统的时滞相依稳定性判据和H∞控制条件；文献[2]运用时滞分割技术，研究了时滞Markovian跳变系统的镇定问题，同时得到了比文献[1]保守性更小的稳定性判据； 文献[34]通过构造不同的LyapunovKrasovskii函数，从而进一步降低了时滞Markovian跳变系统的稳定性判据的保守性.由于在解决时滞Markovian跳变系统时，往往需要处理含有导数的积分项，上述文献主要采用了Jensen不等式或引入松弛矩阵变量的方法.因此，采用新的技术或比Jensen不等式更精确的估计不等式来得到保守性更低的稳定性条件一直是研究者努力的方向.本文将利用文献[5]中的一个积分不等式，研究时滞Markovian跳变系统的稳定性判据，并得到一个具有扩展耗散性的镇定条件.
1问题的描述
本文考虑一类具有时滞的线性Markovian跳变系统：
（t）=A（r（t））x（t）+Ad（r（t））x（t-h）+
B（r（t））u（t）+D（r（t））ω（t）， （1）
z（t）=L（r（t））x（t）， （2）
x（t）=φ（t），t∈[-h，0]， （3）
其中x（t）∈Rn是状态向量，z（t）∈Rp是控制输出，u（t）∈Rq是控制输入，ω（t）∈Rl是外部扰动且满足ω（t）∈L2（0，∞），d>0是常数时滞，φ（t）是初始条件，r（t）表示取值于集合S={1，2，…，s}的一个右连续Markovian链，其生成元矩阵Π=（πij）s×s 为
Pr{r（t+h）=j|r（t）=i}=πijh+ο（h），i≠j，1+πiih+ο（h），i=j，
学报（自然科学版），2017，9（4）：417422Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：417422
夏卫锋，等.基于积分不等式的时滞Markovian跳变系统的稳定性分析和镇定.
XIA Weifeng，et al.
Stability analysis and stabilization for Markovian jump system with
time delays via integral inequality.
式中h为时间增量且limh→0ο（h）h=0.当i≠j时，πij≥0是从模态i到模态j的转移速率，其中πii=-∑sj=1，j≠iπij.
为简化符号，当r（t）=i∈S时，记
Ai=A（r（t）），Adi=Ad（r（t）），Bi=B（r（t）），
Di=D（r（t）），Li=L（r（t））.
本文主要考虑系统（1）—（2）的具有如下形式的状态反馈镇定问题：
u（t）=Kix（t）， （4）
其中Ki是状态反馈增益矩阵.由（1）和（4）可得闭环系统为
（t）=（Ai+BiKi）x（t）+Adix（t-h）+Diω（t）. （5）
为了得到本文的主要结果，引入如下定义和引理：
定义1[1]当u（t）=0时，对任意有限φ（t）∈Rn和r0∈S，如果
limt→∞ ε∫t0x（t）Tx（t）dt|φ，r0<∞，
则称Markovian跳变系统（1）是随机稳定的.
定义2[67]当u（t）=0时，对给定对称矩阵Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3>0和任意矩阵Ψ2，满足（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，如果对任意tf≥0和ω（t）∈L2（0，∞）有
ε∫tf0J（t）dt-sup0≤t≤tfε{z（t）TΨ0z（t）}≥0， （6）
式中
J（t）=z（t）TΨ1z（t）+2z（t）TΨ2ω（t）+ω（t）TΨ3ω（t），
则称系统（1）—（2）是扩展耗散的.
注1周知，常见的控制系统性能指标主要有H∞性能、无源性（passivity）、 L2-L∞性能和耗散性（dissipativity）等.其中耗散性包含了H∞性能和无源性，但是无法包含L2-L∞性能.文献[6]首次提出了扩展耗散性（extended dissipativity）的概念，使得耗散性和L2-L∞性能成为了它的一种特殊情况.这样就可以在一个统一的框架下研究耗散性和L2-L∞性能，从而提高了研究效率.
2主要结论
首先，运用引理1中的积分不等式给出下述系统的稳定性判据： （t）=Aix（t）+Adix（t-h）. （7）
定理1对给定的h>0，如果存在正定矩阵Pi，Qi，Q，Zi，Z和任意矩阵N1i，N2i，N3i，使得对任意的i∈S，有下列线性矩阵不等式成立：
∑sj=1πijQj-Q<0， （8）
∑sj=1πijZj-Z<0， （9）
ΩhN1ihN2ihN3i
*-Zi 0 0
* *-3Zi0
* * *-5Zi<0， （10）
其中
Ω=ΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4+eT1（Qi+
hQ）e1-e2TQie2+ΦTi h2Zi+12h3ZΦi+hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}，
Π4=eT1，heT3，12h2eT4 T，
Π5=[ΦTi，eT1-eT2，heT3-heT2]T，
Φi=[Ai，Adi，0n，2n]，
則系统（7）是随机稳定的.
证明设xt=x（t+σ），-2h≤σ≤0，
v1（t）=∫tt-hx（α）dα，
v2（t）=∫tt-h∫st-hx（α）dαds，
δ（t）=[x（t）T，v1（t）T，v2（t）T]T.
考虑如下LyapunovKrasovskii泛函：
V（xt，r（t），t）=∑3i=1Vi（t）， （11）
其中
V1（t）=δ（t）TPiδ（t），
V2（t）=∫tt-hx（α）TQix（α）dα+∫0-h∫tt+βx（α）TQx（α）dαdβ，
V3（t）=h∫tt-h∫tt+β（α）TZi（α）dαdβ+h∫tt-h∫0σ∫tt+β（α）TZ（α）dαdβdσ.
设
ξ（t）=x（t）T，x（t-h）T，1hv1（t）T，2h2v2（t）TT，
F表示随机过程{r（t），t}的无穷小算子，则对（11）求无穷小算子得
FV1（t）=2δ（t）TPiδ（t）+δ（t）T∑sj=1πijPjδ（t）=
ξ（t）TΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+
ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4ξ（t）. （12）
FV2（t）=x（t）TQix（t）-x（t-h）TQix（t-h）+
∫tt-hx（α）T∑sj=1πijQjx（α）dα+hx（t）TQx（t）-
∫tt-hx（α）TQx（α）dα=
x（t）T（Qi+hQ）x（t）-x（t-h）TQx（t-h）
+
∫tt-hx（α）T∑sj=1πijQj-Qx（α）dα. （13）
FV3（t）=h2（t）TZi（t）-h∫tt-h（α）TZi（α）dα+
h∫0-h∫tt+β（α）T∑sj=1πijZj（α）dαdβ+
12h3（t）TZ（t）-h∫0-h∫tt+β（α）TZ（α）dαdβ=
（t）Th2Zi+12h3Z（t）-h∫tt-h（α）TZi（α）dα+
h∫0-h∫tt+β（α）T∑sj=1πijZj-Z（α）dαdβ. （14）
由式（8）和（13）得
FV2（t）≤x（t）T（Qi+hQ）x（t）-x（t-h）TQx（t-h）=
ξ（t）T[eT1（Qi+hQ）e1-eT2Qie2]ξ（t）. （15）
根据式（9）和式（15），以及引理1得
FV3（t）≤ξ（t）TΦTi h2Zi+12h3ZΦi+
h2N1iZ-1i NT1i+13N2iZ-1i NT2i+15N3iZ-1iNT3i +
hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}ξ（t）. （16）
由式（12），（15）和（16）得
FV（xt，i，t）≤ξ（t）Tξ（t），（17）
其中
=ΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4+
eT1（Qi+hQ）e1-eT2Qie2+ΦiTh2Zi+12h3ZΦi+
h2N1iZ-1iNT1i+13N2iZ-1iNT2i+15N3Z-1iNT3i +
hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}.
对矩阵不等式（10）运用Schur补引理可得<0，即FV（xt，i，t）<0.运用类似与文献[1]中的方法可证得系统（7）是随机稳定的.证毕.
下面的定理2给出了系统（1）—（2）具有扩展耗散性的随机稳定性判据.
定理2对给定的h>0和常数矩阵Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3<0以及Ψ2，满足（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，如果存在正定矩阵Pi，Qi，Q，Zi，Z和任意矩阵N1i，N2i，N3i，对任意的i∈S，使得下列线性矩阵不等式以及式（8）—（9）成立：
则系统（1）—（2）是随机稳定的且满足扩展耗散性.
证明采用相同的LyapunovKrasovskii泛函（11），沿着系统（1）—（2）的轨迹求无穷小算子，并运用完全类似于定理1的证明可得
FV（xt，i，t）-J（t）=ξ（t）ω（t）T1iΓ2i*Γ3iξ（t）ω（t）， （20）
其中
1i=Γ1i+h2N1iZ-1iNT1i+13N2iZ-1iNT2i+15N3iZ-1iNT3i . 对式（19）运用Schur补引理可得1iΓ2i*Γ3i<0，即FV（xt，i，t）-J（t）<0.从而可以断定必存在一个标量λ>0，使得
FV（xt，i，t）-J（t）≤-λ|x（t）|2， （21）
从而有J（t）>FV（xt，i，t），故对任意t≥0，运用Dynkin公式可得
ε∫t0J（α）dα≥ε{V（xt，r（t），t）}-V（x0，r0，0）.
对式（18）运用Schur补引理可得
T1Pi1>LTiΨ0Li，
考虑到零初始条件可得
ε∫t0J（α）dα≥ε{δ（t）TPiδ（t）}≥ε{z（t）TΨ0z（t）}. （22）
下面分两种情形证明系统（1）—（2）满足扩展耗散性，即不等式（6）成立.
情形1：‖Ψ0‖=0.由式（22）可知不等式（6）自然成立.
情形2：‖Ψ0‖≠0.由条件（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0可知Ψ1=0和Ψ2=0.注意到
Ψ3>0，从而有J（α）=ω（α）TΨ3ω（α）≥0.再结合式（22）可得
ε∫tf0J（α）dα≥ε∫t0J（α）dα≥ε{z（t）TΨ0z（t）}≥0
对所有的tf>t>0成立.
综合情形1和情形2，以及定义2可知，系统（1）—（2）满足扩展耗散性.
最后，我们证明当ω（t）=0时系统（1）—（2）是随机稳定的.此时，J（t）=z（t）TΨ1z（t）≤0，由式（21）可得
FV（xt，i，t）≤-λ|x（t）|2.
运用类似与文献[1]的方法可以证明系统（1）—（2）是随机稳定的，证毕.
定理3对给定的h>0和常数矩阵Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3<0以及Ψ2，满足
（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，
如果存在正定矩阵Xi，i=Xiρ1iXiρ2iXi
ρ1iXi2i3iρ2iXiT3i4i，i，，i，和任意矩阵1i，2i，3i，Yi，标量ρ1i，ρ2i，对任意的i∈S，使得下列线性矩阵不等式成立：
此时，所求的状态反馈增益矩阵Ki可表示为
Ki=YiX-1i.
证明不妨假设P1i>0，构造定理2中的
Pi=P1iρ1iP1iρ2iP1i
ρ1iP1iP2iP3i
ρ2iP1iPT3iP4i>0，
令P-11i=1i=Xi，XiP2iXi=2i，XiP3iXi=3i，XiP4iXi=4i，XiQiXi=i，XiZiXi=i，Q-1=，Z-1=，对Pi施行合同变换diag（Xi，Xi，Xi）得到
i=Xiρ1iXiρ2iXiρ1iXi2i3i
ρ2iXiT3i4i>0.
对不等式（8），（9），（18）分别施行合同变换Xi，Xi和diag（Xi，I），并结合Schur补引理可得等价不等式（23），（24）和（25）.同理，对（19）运用Schur补引理，并施行类似合同变换可得（26）.证毕.
3仿真算例
例1考虑具有如下参数的时滞Markovian 跳变系统（7）：
假定π22=-08，对于不同的π11值，通过解定理1中线性矩阵不等式（8）—（10）可得到保证系统（7）随机稳定的时滞上界最大允许值hmax.表1比较了已有文献[12，4]结果与本文定理1得到的hmax，从表1中可以看出定理1的稳定性条件比文献[12，4]具有较小的保守性.
例2考虑具有如下参数的时滞Markovian跳变系统（1）—（2）：
取初始条件为φ（t）=[-02，02]，外部扰动为（t）=07（sin t）e-02t，图1 给出了开环系统（1）的状态响应，图2和图3分别是满足L2-L∞性能和耗散性的闭环状态响应.仿真结果也验证了本文方法的可行性.
4结论
本文研究了时滞Markovian跳变系统的稳定性和镇定問题，利用文献[5]的一个精确积分不等式，得到了保守性较小的稳定性判据.基于此稳定性判据，设计了一个状态反馈控制器，使得闭环系统同时满足随机稳定性和扩展耗散性.仿真结果验证了本文设计方法的可行性和有效性.
参考文献
References
[1]Xu S Y，Lam J，Mao X R.Delaydependent H∞ control and filtering for uncertain Markovian jump systems with timevarying delays[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems I：Regular Papers，2007，54（9）：20702077
[2]Fei Z Y，Gao H J，Shi P.New results on stabilization of Markovian jump systems with delay[J].Automatica，2009，45（10）：23002306
[3]Zhao X D，Zeng Q S.Delaydependent H∞ performance analysis and filtering for Markovian jump systems with interval timevarying delays[J].International Journal of Adaptive Control & Signal Process，2010，24（8）：633642 [4]Zhang B Y，Zheng W X，Xu S Y.On robust H∞ filtering of uncertain Markovian jump timedelay systems[J].International Journal of Adaptive Control & Signal Process，2012，26（2）：138157
[5]Zeng H B，He Y，Wu M，et al.New results on stability analysis for systems with discrete distributed delay[J].Automatica，2015，60：189192
[6]Zhang B Y，Zheng W X，Xu S Y.Filtering of Markovian jump delay systems based on a new performance index[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems I：Regular Papers，2013，60（5）：12501263
[7]Feng Z G，Zheng W X.On extended dissipativity of discretetime neural networks with times delay[J].IEEE Transactions on Neural Networks & Learning Systems，2015，26（12）：32933300
[8]Gu K.An integral inequality in the stability problem of timedelay systems[C]∥Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision Control，2000，3：28052810
[9]Seuret A，Gouaisbaut F.Wirtingerbased integral inequality：Application to timedelay systems[J].Automatica，2013，49（9）：28602866
中图分类号TP13
文獻标志码A
0引言
近年来，对Markovian 跳变系统的研究得到了越来越多的学者的关注，这是由于Markovian 跳变系统能够很好地描述系统结构或参数突变的现象.目前，Markovian 跳变系统已被用来描述大量的实际系统，如金融系统、化学过程、电力系统以及飞行器控制系统.同时，由于时滞现象广泛存在于实际系统中，并且往往造成系统的不稳定和性能降低，因此，对时滞Markovian跳变系统的研究也吸引着广大学者的兴趣.文献[1]通过引入松弛矩阵变量得到了时滞Markovian跳变系统的时滞相依稳定性判据和H∞控制条件；文献[2]运用时滞分割技术，研究了时滞Markovian跳变系统的镇定问题，同时得到了比文献[1]保守性更小的稳定性判据； 文献[34]通过构造不同的LyapunovKrasovskii函数，从而进一步降低了时滞Markovian跳变系统的稳定性判据的保守性.由于在解决时滞Markovian跳变系统时，往往需要处理含有导数的积分项，上述文献主要采用了Jensen不等式或引入松弛矩阵变量的方法.因此，采用新的技术或比Jensen不等式更精确的估计不等式来得到保守性更低的稳定性条件一直是研究者努力的方向.本文将利用文献[5]中的一个积分不等式，研究时滞Markovian跳变系统的稳定性判据，并得到一个具有扩展耗散性的镇定条件.
1问题的描述
本文考虑一类具有时滞的线性Markovian跳变系统：
（t）=A（r（t））x（t）+Ad（r（t））x（t-h）+
B（r（t））u（t）+D（r（t））ω（t）， （1）
z（t）=L（r（t））x（t）， （2）
x（t）=φ（t），t∈[-h，0]， （3）
其中x（t）∈Rn是状态向量，z（t）∈Rp是控制输出，u（t）∈Rq是控制输入，ω（t）∈Rl是外部扰动且满足ω（t）∈L2（0，∞），d>0是常数时滞，φ（t）是初始条件，r（t）表示取值于集合S={1，2，…，s}的一个右连续Markovian链，其生成元矩阵Π=（πij）s×s 为
Pr{r（t+h）=j|r（t）=i}=πijh+ο（h），i≠j，1+πiih+ο（h），i=j，
学报（自然科学版），2017，9（4）：417422Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：417422
夏卫锋，等.基于积分不等式的时滞Markovian跳变系统的稳定性分析和镇定.
XIA Weifeng，et al.
Stability analysis and stabilization for Markovian jump system with
time delays via integral inequality.
式中h为时间增量且limh→0ο（h）h=0.当i≠j时，πij≥0是从模态i到模态j的转移速率，其中πii=-∑sj=1，j≠iπij.
为简化符号，当r（t）=i∈S时，记
Ai=A（r（t）），Adi=Ad（r（t）），Bi=B（r（t）），
Di=D（r（t）），Li=L（r（t））.
本文主要考虑系统（1）—（2）的具有如下形式的状态反馈镇定问题：
u（t）=Kix（t）， （4）
其中Ki是状态反馈增益矩阵.由（1）和（4）可得闭环系统为
（t）=（Ai+BiKi）x（t）+Adix（t-h）+Diω（t）. （5）
为了得到本文的主要结果，引入如下定义和引理：
定义1[1]当u（t）=0时，对任意有限φ（t）∈Rn和r0∈S，如果
limt→∞ ε∫t0x（t）Tx（t）dt|φ，r0<∞，
则称Markovian跳变系统（1）是随机稳定的.
定义2[67]当u（t）=0时，对给定对称矩阵Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3>0和任意矩阵Ψ2，满足（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，如果对任意tf≥0和ω（t）∈L2（0，∞）有
ε∫tf0J（t）dt-sup0≤t≤tfε{z（t）TΨ0z（t）}≥0， （6）
式中
J（t）=z（t）TΨ1z（t）+2z（t）TΨ2ω（t）+ω（t）TΨ3ω（t），
则称系统（1）—（2）是扩展耗散的.
注1周知，常见的控制系统性能指标主要有H∞性能、无源性（passivity）、 L2-L∞性能和耗散性（dissipativity）等.其中耗散性包含了H∞性能和无源性，但是无法包含L2-L∞性能.文献[6]首次提出了扩展耗散性（extended dissipativity）的概念，使得耗散性和L2-L∞性能成为了它的一种特殊情况.这样就可以在一个统一的框架下研究耗散性和L2-L∞性能，从而提高了研究效率.
2主要结论
首先，运用引理1中的积分不等式给出下述系统的稳定性判据： （t）=Aix（t）+Adix（t-h）. （7）
定理1对给定的h>0，如果存在正定矩阵Pi，Qi，Q，Zi，Z和任意矩阵N1i，N2i，N3i，使得对任意的i∈S，有下列线性矩阵不等式成立：
∑sj=1πijQj-Q<0， （8）
∑sj=1πijZj-Z<0， （9）
ΩhN1ihN2ihN3i
*-Zi 0 0
* *-3Zi0
* * *-5Zi<0， （10）
其中
Ω=ΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4+eT1（Qi+
hQ）e1-e2TQie2+ΦTi h2Zi+12h3ZΦi+hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}，
Π4=eT1，heT3，12h2eT4 T，
Π5=[ΦTi，eT1-eT2，heT3-heT2]T，
Φi=[Ai，Adi，0n，2n]，
則系统（7）是随机稳定的.
证明设xt=x（t+σ），-2h≤σ≤0，
v1（t）=∫tt-hx（α）dα，
v2（t）=∫tt-h∫st-hx（α）dαds，
δ（t）=[x（t）T，v1（t）T，v2（t）T]T.
考虑如下LyapunovKrasovskii泛函：
V（xt，r（t），t）=∑3i=1Vi（t）， （11）
其中
V1（t）=δ（t）TPiδ（t），
V2（t）=∫tt-hx（α）TQix（α）dα+∫0-h∫tt+βx（α）TQx（α）dαdβ，
V3（t）=h∫tt-h∫tt+β（α）TZi（α）dαdβ+h∫tt-h∫0σ∫tt+β（α）TZ（α）dαdβdσ.
设
ξ（t）=x（t）T，x（t-h）T，1hv1（t）T，2h2v2（t）TT，
F表示随机过程{r（t），t}的无穷小算子，则对（11）求无穷小算子得
FV1（t）=2δ（t）TPiδ（t）+δ（t）T∑sj=1πijPjδ（t）=
ξ（t）TΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+
ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4ξ（t）. （12）
FV2（t）=x（t）TQix（t）-x（t-h）TQix（t-h）+
∫tt-hx（α）T∑sj=1πijQjx（α）dα+hx（t）TQx（t）-
∫tt-hx（α）TQx（α）dα=
x（t）T（Qi+hQ）x（t）-x（t-h）TQx（t-h）
+
∫tt-hx（α）T∑sj=1πijQj-Qx（α）dα. （13）
FV3（t）=h2（t）TZi（t）-h∫tt-h（α）TZi（α）dα+
h∫0-h∫tt+β（α）T∑sj=1πijZj（α）dαdβ+
12h3（t）TZ（t）-h∫0-h∫tt+β（α）TZ（α）dαdβ=
（t）Th2Zi+12h3Z（t）-h∫tt-h（α）TZi（α）dα+
h∫0-h∫tt+β（α）T∑sj=1πijZj-Z（α）dαdβ. （14）
由式（8）和（13）得
FV2（t）≤x（t）T（Qi+hQ）x（t）-x（t-h）TQx（t-h）=
ξ（t）T[eT1（Qi+hQ）e1-eT2Qie2]ξ（t）. （15）
根据式（9）和式（15），以及引理1得
FV3（t）≤ξ（t）TΦTi h2Zi+12h3ZΦi+
h2N1iZ-1i NT1i+13N2iZ-1i NT2i+15N3iZ-1iNT3i +
hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}ξ（t）. （16）
由式（12），（15）和（16）得
FV（xt，i，t）≤ξ（t）Tξ（t），（17）
其中
=ΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4+
eT1（Qi+hQ）e1-eT2Qie2+ΦiTh2Zi+12h3ZΦi+
h2N1iZ-1iNT1i+13N2iZ-1iNT2i+15N3Z-1iNT3i +
hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}.
对矩阵不等式（10）运用Schur补引理可得<0，即FV（xt，i，t）<0.运用类似与文献[1]中的方法可证得系统（7）是随机稳定的.证毕.
下面的定理2给出了系统（1）—（2）具有扩展耗散性的随机稳定性判据.
定理2对给定的h>0和常数矩阵Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3<0以及Ψ2，满足（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，如果存在正定矩阵Pi，Qi，Q，Zi，Z和任意矩阵N1i，N2i，N3i，对任意的i∈S，使得下列线性矩阵不等式以及式（8）—（9）成立：
则系统（1）—（2）是随机稳定的且满足扩展耗散性.
证明采用相同的LyapunovKrasovskii泛函（11），沿着系统（1）—（2）的轨迹求无穷小算子，并运用完全类似于定理1的证明可得
FV（xt，i，t）-J（t）=ξ（t）ω（t）T1iΓ2i*Γ3iξ（t）ω（t）， （20）
其中
1i=Γ1i+h2N1iZ-1iNT1i+13N2iZ-1iNT2i+15N3iZ-1iNT3i . 对式（19）运用Schur补引理可得1iΓ2i*Γ3i<0，即FV（xt，i，t）-J（t）<0.从而可以断定必存在一个标量λ>0，使得
FV（xt，i，t）-J（t）≤-λ|x（t）|2， （21）
从而有J（t）>FV（xt，i，t），故对任意t≥0，运用Dynkin公式可得
ε∫t0J（α）dα≥ε{V（xt，r（t），t）}-V（x0，r0，0）.
对式（18）运用Schur补引理可得
T1Pi1>LTiΨ0Li，
考虑到零初始条件可得
ε∫t0J（α）dα≥ε{δ（t）TPiδ（t）}≥ε{z（t）TΨ0z（t）}. （22）
下面分两种情形证明系统（1）—（2）满足扩展耗散性，即不等式（6）成立.
情形1：‖Ψ0‖=0.由式（22）可知不等式（6）自然成立.
情形2：‖Ψ0‖≠0.由条件（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0可知Ψ1=0和Ψ2=0.注意到
Ψ3>0，从而有J（α）=ω（α）TΨ3ω（α）≥0.再结合式（22）可得
ε∫tf0J（α）dα≥ε∫t0J（α）dα≥ε{z（t）TΨ0z（t）}≥0
对所有的tf>t>0成立.
综合情形1和情形2，以及定义2可知，系统（1）—（2）满足扩展耗散性.
最后，我们证明当ω（t）=0时系统（1）—（2）是随机稳定的.此时，J（t）=z（t）TΨ1z（t）≤0，由式（21）可得
FV（xt，i，t）≤-λ|x（t）|2.
运用类似与文献[1]的方法可以证明系统（1）—（2）是随机稳定的，证毕.
定理3对给定的h>0和常数矩阵Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3<0以及Ψ2，满足
（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，
如果存在正定矩阵Xi，i=Xiρ1iXiρ2iXi
ρ1iXi2i3iρ2iXiT3i4i，i，，i，和任意矩阵1i，2i，3i，Yi，标量ρ1i，ρ2i，对任意的i∈S，使得下列线性矩阵不等式成立：
此时，所求的状态反馈增益矩阵Ki可表示为
Ki=YiX-1i.
证明不妨假设P1i>0，构造定理2中的
Pi=P1iρ1iP1iρ2iP1i
ρ1iP1iP2iP3i
ρ2iP1iPT3iP4i>0，
令P-11i=1i=Xi，XiP2iXi=2i，XiP3iXi=3i，XiP4iXi=4i，XiQiXi=i，XiZiXi=i，Q-1=，Z-1=，对Pi施行合同变换diag（Xi，Xi，Xi）得到
i=Xiρ1iXiρ2iXiρ1iXi2i3i
ρ2iXiT3i4i>0.
对不等式（8），（9），（18）分别施行合同变换Xi，Xi和diag（Xi，I），并结合Schur补引理可得等价不等式（23），（24）和（25）.同理，对（19）运用Schur补引理，并施行类似合同变换可得（26）.证毕.
3仿真算例
例1考虑具有如下参数的时滞Markovian 跳变系统（7）：
假定π22=-08，对于不同的π11值，通过解定理1中线性矩阵不等式（8）—（10）可得到保证系统（7）随机稳定的时滞上界最大允许值hmax.表1比较了已有文献[12，4]结果与本文定理1得到的hmax，从表1中可以看出定理1的稳定性条件比文献[12，4]具有较小的保守性.
例2考虑具有如下参数的时滞Markovian跳变系统（1）—（2）：
取初始条件为φ（t）=[-02，02]，外部扰动为（t）=07（sin t）e-02t，图1 给出了开环系统（1）的状态响应，图2和图3分别是满足L2-L∞性能和耗散性的闭环状态响应.仿真结果也验证了本文方法的可行性.
4结论
本文研究了时滞Markovian跳变系统的稳定性和镇定問题，利用文献[5]的一个精确积分不等式，得到了保守性较小的稳定性判据.基于此稳定性判据，设计了一个状态反馈控制器，使得闭环系统同时满足随机稳定性和扩展耗散性.仿真结果验证了本文设计方法的可行性和有效性.
参考文献
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