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热点1抽象函数的性质
例1设函数[f(x)]的定义域为R，且满足：(1)对任意的[x、y∈R]，都有[f(x+y)=f(x)+f(y)]；(2)当[x＞0]时，[f(x)＜0]. 求证：函数为奇函数且在定义域内单调递减.
分析证明或判断抽象函数的单调性、奇偶性，必须紧扣定义，采用赋值法，巧妙利用条件.
解任取[x1、x2∈R]且[x10].
由(2)知，[f(x2-x1)＜0]，
又由(1)知[f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),]
∴[f(x2)＜f(x1)]， ∴[f(x)]在定义域内单调递减.
令[x=y=0]，则[f(0)=f(0)+f(0)]，∴[f(0)=0].
令[y=-x]，则[f(0)=f(x)+f(-x)]，
∴[f(-x)=-f(x)]. ∴[f(x)]是奇函数.
热点2函数的周期问题
例2设[f(x)]是定义在[R]上的奇函数，且[f(x+3)⋅f(x)=-1]，[f(-1)=2]，求[f(2011)].
分析此类问题应采用迭代法推导函数的周期，利用周期求值，并通过本题总结周期的有关结论.
解∵[f(x+3)⋅f(x)=-1]，
∴[f(x+3)⋅f(x+6)=-1]，∴[f(x)=f(x+6).]
∴[f(x)]的周期[T=6].
又2011=335×6+1，∴[f(2011)=f(1)].
∵[f(x)]為奇函数，∴[f(-1)=-f(1)=2]，
∴[f(1)=-2].
∴[f(2011)=f(1)=-2].
点拨（1）若函数[f(x)]对定义域内的任一[x]都有[f(x+a)=-f(x)]或[f(x+a)=1f(x)] 或[f(x+a)=][-1f(x)]([a]是常数，且[a≠0])，则[f(x)]是一个周期为[2a]的周期函数.
（2）若函数[f(x)]对定义域内的任一[x]都有[f(a+x)=f(a-x)]且[f(b+x)=f(b-x)(a≠b)]，则[f(x)]是一个周期为[2a-2b]的周期函数.
热点3函数的零点问题
例3已知定义在R上的奇函数[f(x)]满足[f(x-4)=-f(x)]，且在区间［0，2］ 上是增函数， 若方程[f(x)=m(m＞0)]在区间［-8，8］上有四个不同的根[x1、x2、x3、x4]，则 [x1+x2+x3+x4]= .
分析抽象函数的零点问题需要综合分析单调性、奇偶性、对称性、周期性等等，还可结合图象运用数形结合思想解题.
解∵[f(x-4)=-f(x)]，∴[f(x)=-f(x+4)].
∴[f(x-4)=f(x+4)].∴[f(x)]的周期[T=8].
又[f(x-4)=-f(x)=f(-x)]，
∴[x=-2]为[f(x)]的对称轴.
而[f(x-4)=f(-x)=f(x+4)]，
∴[x=2]为[f(x)]的对称轴.
又[f(x)]是奇函数，
∴[f(0)=0]，且图象关于原点对称.
又[f(x)]在区间［0，2］上是增函数，作出[f(x)]在区间［-8，8］上的大致图象如下：
∴[x1+x2+x3+x4=]-8
例4设函数[f(x)]在[(-∞,+∞)]上满足[f(2+x)=][f(2-x)]且[f(7+x)=f(7-x)]，又在区间［0，7］只有[f(1)=f(3)=0].
（1）试判断函数[y=f(x)]的奇偶性；
（2）试求方程[f(x)=0]在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.
分析由函数的对称性分析函数的周期性，奇偶性，是抽象函数中的常见题型. 分析一个周期函数在某区间上的根的个数必须先求出一个周期上的根的个数.
解（1）∵[f(0)≠0]，∴[f(x)]不是奇函数.
又[f(2+x)=f(2-x)]，∴[f(x)=f(4-x)].
[f(7+x)=f(7-x)]，∴[f(x)=f(14-x)].
∴[f(4-x)=f(14-x)]. ∴[f(x)=f(x+10)].
∴[f(x)]的周期为10.
又[f(3)=0]，而[f(-3)=f(7)≠0]，
∴[f(3)≠f(-3)]. ∴[f(x)]不是偶函数.
∴[f(x)]为非奇非偶函数.
（2）当[x∈[0，7]]时，只有[f(1)=f(3)=0].
当[x∈(7，10)]时，[14-x∈(4，7)].
而[f(x)=f(14-x)≠0]，
∴当[x∈[0，10)]时，[f(x)=0]只有两个根[f(1)=f(3)=0].
又[f(2005)=f(5)≠0]，在闭区间［-2005，2005］上共有401个周期，
∴[f(x)=0]在闭区间［-2005，2005］上共有802个根.
解决上述问题的共同之处是要紧扣定义，注重函数的定义域，认真审题，由函数的奇偶性、对称性推导周期，注意推导周期性的几条常用结论，必要时还应采取数形结合思想灵活解题.
[【练习】]
1. 设函数[f(x)]对任意的[a、b∈R]都有[f(a+b)=][f(a)+f(b)-1]，且当[x＞0]时，[f(x)>1]，求证：[f(x)]是R上的增函数.
2. 已知定义在R上的偶函数[f(x)]满足[f(x+2)=][-f(x)]，则[f(9)=] .
3. 定义在R上的函数[f(x)]既是奇函数，又是周期函数，[T]是它的一个正周期，若将方程[f(x)=0]在闭区间[[-T，T]]上的根的个数记为[n]，则[n]可能为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
4. 已知定义在R上的函数[y=f(x)]满足条件[f(x+][32)=-f(x)]，且函数[y=f(x-34)]是奇函数，给出以下四个命题：
①函数[f(x)]是周期函数；
②函数[f(x)]的图象关于点(-[34]，0)对称；
③函数[f(x)]是偶函数；
④函数[f(x)]在R上是单调函数.
上述四个命题，真命题的序号是 .
[【参考答案】]
1. 令 [x10]，由题意[f(x2-x1)>1]，
∴[f(x2-x1]+[x1)][=f(x2-x1][)+f(x1)-1＞f(][x1]).
即[f(x2)＞f(][x1])∴[f(x)]是R上的增函数.
2. ∵[f(x+2)=-f(x)]，
∴[f(x+4)=-f(x+2)].
∴[f(x+4)=f(x)]. ∴[f(x)]的周期为4.
∴[f(9)=f(1)]. 又∵[f(x+2)=-f(x)]，
令[x=-1]，则[f(1)=-f(-1)=-f(1),]
[∴f(1)=0.] [∴f(9)=0].
3. ∵定义在R上的函数[f(x)]既是奇函数，又是周期函数，
∴[f(0)=0]. [f(T)=f(-T)=f(0)=0].
又[f(x)=f(x+T)]，令[x=-T2] ，则有[f(-T2])=[f(-T2+T)=f(][T2]).
∴[-f(T2][)=f(T2]).∴[f(T2)=f(-][T2])=0.
∴[f(x)=0]在闭区间[[-T，T]]上的根的个数为5个.
4. ①②③.
例1设函数[f(x)]的定义域为R，且满足：(1)对任意的[x、y∈R]，都有[f(x+y)=f(x)+f(y)]；(2)当[x＞0]时，[f(x)＜0]. 求证：函数为奇函数且在定义域内单调递减.
分析证明或判断抽象函数的单调性、奇偶性，必须紧扣定义，采用赋值法，巧妙利用条件.
解任取[x1、x2∈R]且[x1
由(2)知，[f(x2-x1)＜0]，
又由(1)知[f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),]
∴[f(x2)＜f(x1)]， ∴[f(x)]在定义域内单调递减.
令[x=y=0]，则[f(0)=f(0)+f(0)]，∴[f(0)=0].
令[y=-x]，则[f(0)=f(x)+f(-x)]，
∴[f(-x)=-f(x)]. ∴[f(x)]是奇函数.
热点2函数的周期问题
例2设[f(x)]是定义在[R]上的奇函数，且[f(x+3)⋅f(x)=-1]，[f(-1)=2]，求[f(2011)].
分析此类问题应采用迭代法推导函数的周期，利用周期求值，并通过本题总结周期的有关结论.
解∵[f(x+3)⋅f(x)=-1]，
∴[f(x+3)⋅f(x+6)=-1]，∴[f(x)=f(x+6).]
∴[f(x)]的周期[T=6].
又2011=335×6+1，∴[f(2011)=f(1)].
∵[f(x)]為奇函数，∴[f(-1)=-f(1)=2]，
∴[f(1)=-2].
∴[f(2011)=f(1)=-2].
点拨（1）若函数[f(x)]对定义域内的任一[x]都有[f(x+a)=-f(x)]或[f(x+a)=1f(x)] 或[f(x+a)=][-1f(x)]([a]是常数，且[a≠0])，则[f(x)]是一个周期为[2a]的周期函数.
（2）若函数[f(x)]对定义域内的任一[x]都有[f(a+x)=f(a-x)]且[f(b+x)=f(b-x)(a≠b)]，则[f(x)]是一个周期为[2a-2b]的周期函数.
热点3函数的零点问题
例3已知定义在R上的奇函数[f(x)]满足[f(x-4)=-f(x)]，且在区间［0，2］ 上是增函数， 若方程[f(x)=m(m＞0)]在区间［-8，8］上有四个不同的根[x1、x2、x3、x4]，则 [x1+x2+x3+x4]= .
分析抽象函数的零点问题需要综合分析单调性、奇偶性、对称性、周期性等等，还可结合图象运用数形结合思想解题.
解∵[f(x-4)=-f(x)]，∴[f(x)=-f(x+4)].
∴[f(x-4)=f(x+4)].∴[f(x)]的周期[T=8].
又[f(x-4)=-f(x)=f(-x)]，
∴[x=-2]为[f(x)]的对称轴.
而[f(x-4)=f(-x)=f(x+4)]，
∴[x=2]为[f(x)]的对称轴.
又[f(x)]是奇函数，
∴[f(0)=0]，且图象关于原点对称.
又[f(x)]在区间［0，2］上是增函数，作出[f(x)]在区间［-8，8］上的大致图象如下：
∴[x1+x2+x3+x4=]-8
例4设函数[f(x)]在[(-∞,+∞)]上满足[f(2+x)=][f(2-x)]且[f(7+x)=f(7-x)]，又在区间［0，7］只有[f(1)=f(3)=0].
（1）试判断函数[y=f(x)]的奇偶性；
（2）试求方程[f(x)=0]在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.
分析由函数的对称性分析函数的周期性，奇偶性，是抽象函数中的常见题型. 分析一个周期函数在某区间上的根的个数必须先求出一个周期上的根的个数.
解（1）∵[f(0)≠0]，∴[f(x)]不是奇函数.
又[f(2+x)=f(2-x)]，∴[f(x)=f(4-x)].
[f(7+x)=f(7-x)]，∴[f(x)=f(14-x)].
∴[f(4-x)=f(14-x)]. ∴[f(x)=f(x+10)].
∴[f(x)]的周期为10.
又[f(3)=0]，而[f(-3)=f(7)≠0]，
∴[f(3)≠f(-3)]. ∴[f(x)]不是偶函数.
∴[f(x)]为非奇非偶函数.
（2）当[x∈[0，7]]时，只有[f(1)=f(3)=0].
当[x∈(7，10)]时，[14-x∈(4，7)].
而[f(x)=f(14-x)≠0]，
∴当[x∈[0，10)]时，[f(x)=0]只有两个根[f(1)=f(3)=0].
又[f(2005)=f(5)≠0]，在闭区间［-2005，2005］上共有401个周期，
∴[f(x)=0]在闭区间［-2005，2005］上共有802个根.
解决上述问题的共同之处是要紧扣定义，注重函数的定义域，认真审题，由函数的奇偶性、对称性推导周期，注意推导周期性的几条常用结论，必要时还应采取数形结合思想灵活解题.
1. 设函数[f(x)]对任意的[a、b∈R]都有[f(a+b)=][f(a)+f(b)-1]，且当[x＞0]时，[f(x)>1]，求证：[f(x)]是R上的增函数.
2. 已知定义在R上的偶函数[f(x)]满足[f(x+2)=][-f(x)]，则[f(9)=] .
3. 定义在R上的函数[f(x)]既是奇函数，又是周期函数，[T]是它的一个正周期，若将方程[f(x)=0]在闭区间[[-T，T]]上的根的个数记为[n]，则[n]可能为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
4. 已知定义在R上的函数[y=f(x)]满足条件[f(x+][32)=-f(x)]，且函数[y=f(x-34)]是奇函数，给出以下四个命题：
①函数[f(x)]是周期函数；
②函数[f(x)]的图象关于点(-[34]，0)对称；
③函数[f(x)]是偶函数；
④函数[f(x)]在R上是单调函数.
上述四个命题，真命题的序号是 .
[【参考答案】]
1. 令 [x1
∴[f(x2-x1]+[x1)][=f(x2-x1][)+f(x1)-1＞f(][x1]).
即[f(x2)＞f(][x1])∴[f(x)]是R上的增函数.
2. ∵[f(x+2)=-f(x)]，
∴[f(x+4)=-f(x+2)].
∴[f(x+4)=f(x)]. ∴[f(x)]的周期为4.
∴[f(9)=f(1)]. 又∵[f(x+2)=-f(x)]，
令[x=-1]，则[f(1)=-f(-1)=-f(1),]
[∴f(1)=0.] [∴f(9)=0].
3. ∵定义在R上的函数[f(x)]既是奇函数，又是周期函数，
∴[f(0)=0]. [f(T)=f(-T)=f(0)=0].
又[f(x)=f(x+T)]，令[x=-T2] ，则有[f(-T2])=[f(-T2+T)=f(][T2]).
∴[-f(T2][)=f(T2]).∴[f(T2)=f(-][T2])=0.
∴[f(x)=0]在闭区间[[-T，T]]上的根的个数为5个.
4. ①②③.