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[摘 要] 数学联想，作为数学发现和数学解题的一种重要的常用方法，不仅有助于学生加深对数学概念、公式、定理的理解，还可以增强学生发散思维的能力，培养他们思维的灵活性和广阔性，激发他们发现新事物，创造新知识的兴趣，同时可以发展和提高他们的数学解题能力和应变能力，从而提高学生的数学素养.
[关键词] 数学教学；联想思维；数学素养
巴甫洛夫认为：“一切教学都是各种联想的形式. ”而数学联想，作为数学发现和数学解题的一种重要的常用方法，不仅有助于学生加深对数学概念、公式、定理的理解，还可以增强学生发散思维的能力，培养他们思维的灵活性和广阔性，激发他们发现新事物，创造新知识的兴趣，同时可以发展和提高他们的数学解题能力和应变能力，从而提高他们的数学素养. 所以在数学教学中，尤其是解题教学中我们必须灵活运用甚至是孕育一些联想思维，根据所教授的内容进行一些联想型例题与练习，“有的放矢”地培养学生的联想思维的能力. 新课程标准规定，我们在教学过程中要形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
设计类比联想问题，培养数学
联想思维的广阔性
例如：代数教学中对于分数的四则运算法则与分式的四则运算法则可做类比联想，整式四则运算中的乘法亦可与有理数运算的乘法算律做类比联想；相似三角形的性质与条件可与全等三角形的教学做类比联想；函数教学中可相应地采取对图形与解析式做类比联想及推理. 另外，几何教学中，命题、定理之间的类似，公式、法则、方法之间的相似类比更是比比皆是. 多年的教学经验告诉笔者，教学中重视相关知识的类似性，积极引导学生做类比联想，不仅可以巩固学生对新旧知识的联系，还有利于学生构建新的知识体系，从而提高学生对数学整体的理解与把握，同时帮助学生利用类比联想探索新知识，培养与发展他们的数学联想思维能力.
如代数教学中会不时地接触下面一个类型的题目：已知（2x-y）2 4x-3y-1=0，求x，y的值. 学生初次接触该题似乎有点手足无措，因为不知已知条件如何应用. 这就需要教师在教学时引导学生进一步探究，启发学生积极活泼的思维，将“陌生”的已知条件类比为熟悉的题设条件，从而打开学生的思路之门. 初步尝试如下：由于（2x-y）2和4x-3y-1均表示为非负数，这就可以比作两个人口袋里的钱，当两者和为零时，那么必须两者同时为零，即（2x-y）2=0且4x-3y-1=0，组合可得到方程组：2x-y=0，4x-3y-1=0，解二元一次方程组本就是学生熟悉且能理解掌握的知识点，这样寻求x，y的解就不是难事了. 当然，当题目中非负数的个数增多时，学生会类比联想为多个“没钱人上街”的情况，解答本类题目就无须教师反复强调分析了. 可见，类比联想可使学生学会透过数学问题的现象揭示本质含义，也使教师达到“传道”“解惑”的目的.
设计关系联想型问题，提高数
学联想思维的缜密性
关系联想，即由事物之间的某种关系而引起的联想. 例如因果关系、特殊与一般的关系、部分与整体的关系等均能构成关系联想. 其中因果关系的联想在初中数学教学中尤为广大师生重视，它是指由事物的起因想到结果或由结果想到起因的联想，这在初中平面几何探索与论证中尤为显现.
本题教师设计讲解时重点引导学生观察、联想、归纳，然后是演绎. 联想时对与题目中由数字向字母的过渡，教师可引领他们的呼应关系，学生对题的兴趣加深、加浓，就不难找到解题的途径与答案了.
再如，已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，H 是高AD 和BE的交点. （1）求证：BH =AC；（2）如图2，将∠BAC 改变成钝角时，题设条件不变，结论BH=AC能否成立？
第一小题，△ABC是个常规锐角三角形，属于学生思维范畴内，学生不难通过三角形全等结论，证明全等的条件中，教师需要略作引导的是∠CAD与∠CBE都是∠C的余角，从而这两个角相等. 第二小题，∠BAC变成了钝角，从图形的解读看来，图形变得略复杂，部分学生会出现“发呆”现象. 我们说，数学探索解答题的构造有它内在的关联，不仅是题目的题设与结论甚至是探索论证的思路与过程都有其必然的相似或是相同. 所以教师在设计讲解时应引导学生对第一小题结论与证明方法进行联想，进而在图2中联系题设的变更，引导推理过程的演变，让学生由全等联想相似的结论，再执果索因，导入最后的解题方法与结论. 可见解题时让学生自行前后对照、验证相关结论，通过丰富的联想活动，最终就不难得到正确的解答了. 可以说，该题成功的教学活动既加强了学生对题型的记忆，又培养和提高了学生解决数学变更问题的能力. 当然，解题的成功源自于“关系联想”逻辑递推的纽带作用.
设计反向联想型问题，加强数
学联想思维的灵活性
反向联想，即由一个事物联想到与其相反、相对特点的另一事物.
例如，有理数与无理数，分解与结合，形内与形外，直线与曲线等都是印象相反的事物. 在数学解题中，当直接证法难以奏效时，便会想到间接证法，当正面求解不易时，便联想反面求答. 犹如我们几何论证中经常涉及的反证法. 如几何部分的“三角形中至少有一个内角不大于60°”“不在同一直线上的三点只能确定一个圆”等重要定理或推论的解释，教师都离不开结论反面的联想推理. 再看下面一例：如图3，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分.
显然，本题从正面突破，很难处理. 因此教学时可启发学生展开逆向思维，反向联想. 证明如下：假设AB与CD能互相平分于点M，则由已知条件AB，CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连接OA，OB，OM，由等腰三角形底边上的中线垂直于底边可得OM⊥AB，同理可得OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD，都垂直于OM，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾. 故假设不成立，因此，AB与CD不能互相平分.
可见，运用反证法进行证题，能够使学生通过反向联想，加强学生认知结构上的全面性，避免学生思维过程及解题方法的单一、呆板性，从而更加促进学生创造思维的发展，进一步培养、提升思维的敏捷性. 由此，我们不难发现，积极引导学生逆向思维，反向联想，不仅可以使解题方法简明、明朗，还可以使学生在潜移默化中发展与提高学生的数学灵活思维的推理能力.
设计化归联想型问题，培养与提
高学生思维的逻辑性、独立性
化归联想，即把问题从一个角度转化到不同的角度，来让学生把陌生的、待解决或未解决的问题通过某种转化过程，归结到一个已经能够解决或容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种手段和方法. 如在义務制九年级数学教科书中“圆”知识章节中圆周角定理的证明过程，教科书本身就巧妙布置了启发学生作化归联想思维活动的不同图形，再结合教师教学时的设计讲解，启发引导，不难达到将难点、重点简化、易化，使学生耳目一新、思路清晰地释疑解惑的目的. 可以说，化归联想使学生的思维不断灵活、敏捷且富有逻辑性.
联想是产生数学直觉思维的先导. 联想思维更是解题成功的一半. 所以在教学中教师应精心设计一些联想型问题引导学生有意识、有目的地进行联想，更要善于让学生选用最佳思路独立地思考、思索、分析和解答问题，同时提倡不给予学生条条框框的限制，努力培养和发展学生的探索和创新精神，充分展示学生思维的灵活性、广阔性、逻辑性等优良品质，从而进一步达到推进素质教育的目的.
[关键词] 数学教学；联想思维；数学素养
巴甫洛夫认为：“一切教学都是各种联想的形式. ”而数学联想，作为数学发现和数学解题的一种重要的常用方法，不仅有助于学生加深对数学概念、公式、定理的理解，还可以增强学生发散思维的能力，培养他们思维的灵活性和广阔性，激发他们发现新事物，创造新知识的兴趣，同时可以发展和提高他们的数学解题能力和应变能力，从而提高他们的数学素养. 所以在数学教学中，尤其是解题教学中我们必须灵活运用甚至是孕育一些联想思维，根据所教授的内容进行一些联想型例题与练习，“有的放矢”地培养学生的联想思维的能力. 新课程标准规定，我们在教学过程中要形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
设计类比联想问题，培养数学
联想思维的广阔性
例如：代数教学中对于分数的四则运算法则与分式的四则运算法则可做类比联想，整式四则运算中的乘法亦可与有理数运算的乘法算律做类比联想；相似三角形的性质与条件可与全等三角形的教学做类比联想；函数教学中可相应地采取对图形与解析式做类比联想及推理. 另外，几何教学中，命题、定理之间的类似，公式、法则、方法之间的相似类比更是比比皆是. 多年的教学经验告诉笔者，教学中重视相关知识的类似性，积极引导学生做类比联想，不仅可以巩固学生对新旧知识的联系，还有利于学生构建新的知识体系，从而提高学生对数学整体的理解与把握，同时帮助学生利用类比联想探索新知识，培养与发展他们的数学联想思维能力.
如代数教学中会不时地接触下面一个类型的题目：已知（2x-y）2 4x-3y-1=0，求x，y的值. 学生初次接触该题似乎有点手足无措，因为不知已知条件如何应用. 这就需要教师在教学时引导学生进一步探究，启发学生积极活泼的思维，将“陌生”的已知条件类比为熟悉的题设条件，从而打开学生的思路之门. 初步尝试如下：由于（2x-y）2和4x-3y-1均表示为非负数，这就可以比作两个人口袋里的钱，当两者和为零时，那么必须两者同时为零，即（2x-y）2=0且4x-3y-1=0，组合可得到方程组：2x-y=0，4x-3y-1=0，解二元一次方程组本就是学生熟悉且能理解掌握的知识点，这样寻求x，y的解就不是难事了. 当然，当题目中非负数的个数增多时，学生会类比联想为多个“没钱人上街”的情况，解答本类题目就无须教师反复强调分析了. 可见，类比联想可使学生学会透过数学问题的现象揭示本质含义，也使教师达到“传道”“解惑”的目的.
设计关系联想型问题，提高数
学联想思维的缜密性
关系联想，即由事物之间的某种关系而引起的联想. 例如因果关系、特殊与一般的关系、部分与整体的关系等均能构成关系联想. 其中因果关系的联想在初中数学教学中尤为广大师生重视，它是指由事物的起因想到结果或由结果想到起因的联想，这在初中平面几何探索与论证中尤为显现.
本题教师设计讲解时重点引导学生观察、联想、归纳，然后是演绎. 联想时对与题目中由数字向字母的过渡，教师可引领他们的呼应关系，学生对题的兴趣加深、加浓，就不难找到解题的途径与答案了.
再如，已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，H 是高AD 和BE的交点. （1）求证：BH =AC；（2）如图2，将∠BAC 改变成钝角时，题设条件不变，结论BH=AC能否成立？
第一小题，△ABC是个常规锐角三角形，属于学生思维范畴内，学生不难通过三角形全等结论，证明全等的条件中，教师需要略作引导的是∠CAD与∠CBE都是∠C的余角，从而这两个角相等. 第二小题，∠BAC变成了钝角，从图形的解读看来，图形变得略复杂，部分学生会出现“发呆”现象. 我们说，数学探索解答题的构造有它内在的关联，不仅是题目的题设与结论甚至是探索论证的思路与过程都有其必然的相似或是相同. 所以教师在设计讲解时应引导学生对第一小题结论与证明方法进行联想，进而在图2中联系题设的变更，引导推理过程的演变，让学生由全等联想相似的结论，再执果索因，导入最后的解题方法与结论. 可见解题时让学生自行前后对照、验证相关结论，通过丰富的联想活动，最终就不难得到正确的解答了. 可以说，该题成功的教学活动既加强了学生对题型的记忆，又培养和提高了学生解决数学变更问题的能力. 当然，解题的成功源自于“关系联想”逻辑递推的纽带作用.
设计反向联想型问题，加强数
学联想思维的灵活性
反向联想，即由一个事物联想到与其相反、相对特点的另一事物.
例如，有理数与无理数，分解与结合，形内与形外，直线与曲线等都是印象相反的事物. 在数学解题中，当直接证法难以奏效时，便会想到间接证法，当正面求解不易时，便联想反面求答. 犹如我们几何论证中经常涉及的反证法. 如几何部分的“三角形中至少有一个内角不大于60°”“不在同一直线上的三点只能确定一个圆”等重要定理或推论的解释，教师都离不开结论反面的联想推理. 再看下面一例：如图3，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分.
显然，本题从正面突破，很难处理. 因此教学时可启发学生展开逆向思维，反向联想. 证明如下：假设AB与CD能互相平分于点M，则由已知条件AB，CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连接OA，OB，OM，由等腰三角形底边上的中线垂直于底边可得OM⊥AB，同理可得OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD，都垂直于OM，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾. 故假设不成立，因此，AB与CD不能互相平分.
可见，运用反证法进行证题，能够使学生通过反向联想，加强学生认知结构上的全面性，避免学生思维过程及解题方法的单一、呆板性，从而更加促进学生创造思维的发展，进一步培养、提升思维的敏捷性. 由此，我们不难发现，积极引导学生逆向思维，反向联想，不仅可以使解题方法简明、明朗，还可以使学生在潜移默化中发展与提高学生的数学灵活思维的推理能力.
设计化归联想型问题，培养与提
高学生思维的逻辑性、独立性
化归联想，即把问题从一个角度转化到不同的角度，来让学生把陌生的、待解决或未解决的问题通过某种转化过程，归结到一个已经能够解决或容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种手段和方法. 如在义務制九年级数学教科书中“圆”知识章节中圆周角定理的证明过程，教科书本身就巧妙布置了启发学生作化归联想思维活动的不同图形，再结合教师教学时的设计讲解，启发引导，不难达到将难点、重点简化、易化，使学生耳目一新、思路清晰地释疑解惑的目的. 可以说，化归联想使学生的思维不断灵活、敏捷且富有逻辑性.
联想是产生数学直觉思维的先导. 联想思维更是解题成功的一半. 所以在教学中教师应精心设计一些联想型问题引导学生有意识、有目的地进行联想，更要善于让学生选用最佳思路独立地思考、思索、分析和解答问题，同时提倡不给予学生条条框框的限制，努力培养和发展学生的探索和创新精神，充分展示学生思维的灵活性、广阔性、逻辑性等优良品质，从而进一步达到推进素质教育的目的.