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摘要：为拓宽抑振作用频段，提出了一种具有多带隙特性的抑振结构。根据多带隙抑振结构特点，论文推导了其机械阻抗理论公式，建立了两端弹性支撑多带隙局域共振梁动力学耦合模型，基于该模型可完成自由边界、固支边界及一般弹性边界下的结构动力学特性分析。论文以弯曲振动梁为控制对象，完成了多带隙抑振结构优化设计，并在两端自由弯曲振动梁上开展了实验验证工作，实验结果与理论计算一致性良好。研究表明：提出的多带隙抑振结构具有作用频带宽、频率下限低的特点，可为低频振动噪声控制提供参考。
关键词：抑振结构;多带隙;机械阻抗;弹性支撑;局域共振
中图分类号：TB535+.1
文献标志码：A
文章编号：1004-4523 （2019） 06-0943-07
DOI：10. 16385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 002
前言
振动及其引起的高强辐射噪声，影响人们正常生活、工作及身体健康。结构振动与噪声控制研究具有非常重要的现实意义。为消除振动及噪声带来的不利影响，可采取隔振、动力吸振、阻尼减振、隔声、吸声等措施。其中，高频减振降噪技术相对成熟，而低频振动噪声控制仍存在一定困难。动力吸振[1-2]是利用结构的共振来吸收主振系统能量，并降低声源振动及噪声辐射水平的一种技术，在低频减振降噪工程实际中得到了广泛应用。
动力吸振结构若设计合理，可实现结构低频声振控制，但通常作用频率范围有限，主要用于线谱噪声控制。而将动力吸振器周期阵列后会产生明显的抑振带隙特性，可有效拓宽低频抑振作用范围[3]。近年来，为实现对低频振动与声的控制，人们在动力吸振研究基础上，结合周期结构滤波特性[4]，提出了局域共振[3，5-9]的概念，并开展了一系列研究工作。
局域共振单元以动力吸振为基础，当基体中的弹性波频率接近共振单元的共振频率时，共振单元内部发生强烈的振动，弹性波很大一部分能量截留在单元内，不能继续向前传播，从而产生振动带隙[3]。Liu等[5]于2000年通过在一种基体材料中周期地嵌入具有低频谐振特性的微结构单元，实现了较低频率局域共振带隙的产生，首次明确提出局域共振机理。文歧华等[6]通过在基体胞元并联安装两独立单自由度动力吸振器，实现了双带隙振动抑制;文献[6]局域共振系统相当于两单自由度局域共振系统的简单组合，存在占空比较大的不足。为增强抑振效果，吴健等[7]将不同特性的弹簧振子安装于同一位置，提出了“双悬臂梁”局域共振板结构，在提高抑振结构分布密度的同时，实现了两个低频带隙振动的抑制;研究中，由于悬臂梁选用铝合金材质，阻尼对局域共振抑振性能的提升作用尚未充分发挥，该类局域共振抑振性能仍有可提升空间。
针对目前低频振动控制困难，现有抑振结构占空比大及阻尼小等的不足，本文提出了一种具有宽频、多带隙特性的抑振结构，并开展了其动力学特性分析。本文从理论上获得了多带隙抑振结构阻抗通用表达，实现了结构带隙特性计算，建立了两端弹性支撑多带隙局域共振梁动力学耦合模型;最后以一两端自由弯曲振动梁为控制对象，开展了多带隙局域共振单元抑振设计与抑振性能实验验证。
1 理論分析
1.1 阻抗特性
局域共振多带隙特性要求抑振结构具有多模态特性，对于理论分析中常见的等效弹簧振子模型，可通过多个弹簧振子系统的复合获得多自由度共振模态。为增加抑振结构模态数目，本文提出了如图1所示的具有多带隙特性抑振结构模型示意图。图中抑振结构共包含n组弹簧振子，且以弹簧振子k1-m1为基础，在其之上安装n一1组弹簧振子，从而组成具有n自由度的抑振结构，以期进一步获得n个抑振带隙。其中，kj，mj（j=1，…，n）分别为各弹簧振子刚度和质量;w，wj分别为基础及各振子位移;F为基础对抑振结构作用力。模型中结构阻尼以复刚度形式加以考虑，即k=k（1+jn），k为弹簧刚度，n为损耗因子。
对抑振结构进行分析，建立力学平衡方程
式中 w为加速度，与位移之间关系为w=w2w，w为圆频率。抑振结构阻抗定义为Z=F/w。其中，F为抑振结构对基础作用力，根据作用力与反作用力关系有F=一F成立。求解方程并代人阻抗定义式，可得抑振结构阻抗为
由式（2）可见：抑振结构阻抗与各子系统弹簧刚度及质量有关，同时与激励频率也有关。利用式（2）即可完成抑振结构阻抗求解。
1. 2 带隙特性
对于材料杨氏模量为E，密度为ρ，截面积为S，截面惯性矩为I的欧拉伯努利梁，其振动方程为
EIw（4）+ρsw=0（3）式中 w（4）表示位移对z的4阶导，本文符号上标“‘’表示对x求导，符号上方“·”表示对时间t求导。式（3）通解为w=Acos（ax）-Bsin（ax）+Ccosh（ax）+Dsinh（ax），其中
为传播波数;A，B，C，D分别为通解多项式系数，为待定常数。
在梁上周期安装多振子抑振结构，布置示意如图2所示，间距为a。
考虑第j胞元，假设振动方程解形式为
第j一1个胞元与第j个胞元接触的连续性条件为：
位移连续：Xj（O）=Xj-1（a）;
角位移连续：X’j（O）=x’j-1（a）;
弯矩相等：EIXj”’（O）=EIX”’j-1（a）;
剪力差等于外力：EIX”’j（0）-Fj =EIX”’j-1（a）。
令
，由以上连续条件可得
，则有
，
其中，
对于一个无限周期局域共振梁，由Bloch理论[10]可知
，故
因此，有 式中 q为z方向的波数向量。q的实部为波的传播项，虚部为经过一个胞元时的衰减项。q为纯虚数或复数时形成带隙。I为4×4单位矩阵。求解方程（5）即可获得系统带隙特性。
1.3 振动特性
在梁上安装抑振结构后，梁运动方程可表示为
为x0位置外部点力激励; N
为N个抑振结构对梁的作用力。 对于弹性约束梁，位移可用余弦级数和增补函数表示为[11]
式中 ξi（z）为矩阵ξ（x）第l行元素，ξ（x）=
为任意的4阶满秩矩阵，Am和ci为与结构边界条件有关的未知参数。梁两端弹性支撑边界条件为
式中 k10、k1a、K10、Kla为梁两约束端直簧与扭簧刚度，将位移表达式（7）代人边界条件（8）可得记Bi =GAo，B2=-G2，B3=-G3Ao，B4=G4，分别为增补函数ξ对x前4阶导的系数，即设
，M为傅里叶级数展开截断常数。将式（9）表示成矩阵形式如下
式中4单位矩阵，E1为1×（M+1）的全1向量，E2=[（-1）o…
，为一些常量矩阵。由此即可得到位移表达式中参数cl和Am之间的关系。抑振结构对梁的作用力可用阻抗表示为Fi=Ziw（xi），故附加抑振结构的梁受迫振动方程为
利用余弦函数的正交性，将增补函数ξ（z）的余弦级数代人位移表达式（7），可以得到如下位移表达式 其中，L为梁长，
，为
的余弦级数系数。而当i=l92时，
将立移表达式（1 2）代人振动方程（11），等式两
边同乘以
，然后沿梁长度方向上积分，
可得
根据三角函数积分的正交性，设a=同时将式（10）代人式（13），且求积分可得
式中
，IO为（M+1）×（M+1）阶单位矩阵，激励力项F=
，耦合项c=
。等效刚度
，等效质量
，由式（14）可得
将式（10）和（15）代人位移表达式（7），则可得到附加抑振结构的梁上任意位置处的振动响应。当F =O时，通过求解系统的自由振动方程，根据所得到的等效刚度与等效质量，可求解系统的固有频率和固有振型。而当F≠O时，通过求解系统的受迫振动方程可求得系统在外力作用下的振动响应。
2 结构设计
本文以长1000 mm、宽50 mm、厚9.2 mm两端自由的弯曲振动梁为控制对象，针对该结构低频共振响应峰值较大的特点，开展了多带隙局域共振单元抑振设计。匀质梁在单位力作用下共振频率处振动响应峰值特性明显，若能实现峰值频率及附近振动响应的降低，则结构总振动响应也会得到有效控制。为此，本文考虑设计一具有三带隙特性抑振结构，以实现对两端自由弯曲振动梁三共振频率附近振动的抑制，所设计抑振结构如图3所示。抑振结构主要包括弹性基座、金属配重、金属支撑环、中间弹性膜、中间质量块、顶部弹性膜及顶部质量块。其中弹性基座、中间及顶部弹性膜提供弹性与阻尼，分别对应于模型刚度k1，k2及k3。系统质量m1主要由金属配重与金属支撑环提供，质量m2，m3分别由中间质量块和頂部质量块提供。
实际分析中，分别针对梁结构第2，3，4阶弯曲振动模态频率开展了抑振结构设计，根据参考文献[12]可知，对于局域共振系统，抑振带隙频率主要由抑振结构模态频率确定，与胞元尺寸关系不是很大，因此，局域共振梁抑振带隙频率设计，实际是对抑振结构模态频率的设计。分析中，确定抑振结构模态设计频率分别为136 9268和443 Hz。经计算，所需模型参数为：
。进一步，将模型各参数代人式（2），计算并给出所设计抑振结构阻抗曲线如图4所示。
图4中阻抗曲线峰值频率对应于抑振结构固有频率，且与设计频率相一致，验证了模型设计参数的正确性。
文献[12]中指出，抑振结构分布间距影响系统带隙宽度，距离越小，带隙上限越大，带隙下限越接近抑振结构固有频率，抑振带隙越宽。在实际分析中，间距在抑振结构尺寸及质量比允许范围内取值应尽可能小，以期获得尽可能宽的抑振频带。本文分析中为控制抑振结构质量比，确定分布间距为O.l m，将模型参数代人式（5）得到抑振结构带隙如图5所示。
由图5可见：抑振结构存在3条明显的带隙，且抑振结构设计频率均落在3带隙频率范围之内，验证了局域共振带隙主要由抑振结构模态频率决定这一结论的正确性。为说明抑振结构周期布放后带隙内振动控制效果，进一步给出了抑振前后被控梁结构Z=0.9 m处振动响应对比曲线如图6所示。图中抑振结构模型各弹簧损耗因子参数均取值0. Ol。由图6可见，在图5所示带隙频率范围内，抑振后被控梁结构的振动响应较抑振前得到了有效抑制，尤其是原匀质被控梁结构第2，3，4阶弯曲振动模态对应响应峰值处抑振效果显著，符合预期。从图6中还可发现：在带隙两侧振动响应有新的峰值出现，这主要是由于抑振结构与基底耦合之后，在原共振频率附近产生了新的耦合模态。新产生的振动响应峰值较原匀质梁响应峰值虽有所降低，但幅度不大。由文献[13]可知，增加抑振结构阻尼有利于拓展抑制频率范围。为进一步说明阻尼对局域共振系统抑振性能的影响，定义模型各弹簧阻尼损耗因子n1一n2=n3 =0.2，给出该阻尼情形下局域共振梁振动响应曲线如图7所示。
由图7可见：阻尼为0.2时，局域共振梁振动响应除第1阶峰值特性明显外，其他频率范围内振动响应曲线平缓。这主要是由于阻尼具有“削峰填谷”作用，相比于图6、图7中抑振结构阻尼的增大，在提升带隙谷值的同时，也有效降低带隙两侧响应峰值，拓宽了抑振作用频率范围，说明实际抑振结构宜采用大阻尼设计。为此，在抑振结构设计中，弹性部件采用了大阻尼橡胶类材料。根据模型刚度与质量参数需求，完成了抑振结构设计，给出结构实物如图8所示。 所设计抑振结构基本参数为：弹性基座为高1 0mm、直径3 2 m m低模量橡胶柱;模型底部金属配重为质量30.5 g、高13.5 mm、直径32 mm的铝合金柱;两金属支撑环为质量7.5 g、高12 mm、外直径32 mm、内直径28 mm的铝合金管;中间及顶部集中质量为重19.8 g、高8 mm、直径20 mm的不锈钢柱;中间与顶部弹性膜分别为厚0.5 m m、1.5 mm的硅橡胶膜，膜直径均为32 mm;抑振结构总质量约94 g。
3 实验验证
为验证所设计抑振结构实际抑振效果，本文在长1m、宽50 mm、厚9.2 mm的两端自由匀质钢梁上，周期附连前文所设计的抑振结构，并开展了结构抑振性能测试实验。其中，结构布置间距O.l m，抑振结构与基底梁之间质量比为0. 26。给出测试系统示意如图9所示。
实验中，分析仪（B&-K 3560B）兼具信号发生与信号处理功能，试件通过柔性绳悬挂，模拟自由边界，在试件一端激励，完成各测点振动响应测试。首先，测试机通过测试软件（Pulse）向分析仪发出激励信号，并经功率放大器（B&-K 2716）放大后驱动激振器（JZ-10）激励试件;激振器安装于试件一端，激振器与试件之间通过阻抗头（B&-K 8001）连接，用于对受激点激励力及振动响应的测试;阻抗头所采集信号经电荷放大器（B&-K 2692）转换后送人分析仪进行分析，经力信号归一化处理后获得激励点输入导纳;除激励点阻抗头传感器外，还在试件表面布置一振动加速度传感器（ B&-K 4513B），由于加速度传感器为电压型，采集信号可直接送人分析仪进行分析，经激励点力信号归一化后得到梁各测点传递导纳数据;通过移动加速度传感器位置，即可完成梁试件各测点导纳数据测试工作。
对两端自由弯曲振动梁左端进行白噪声激励，提取梁各测点振动响应，并利用阻抗头力信号归一化处理，得到单位力激励下各测点振动响应。整理数据并给出两端自由弯曲振动梁附连抑振结构前后，x=0.3 m处振动响应对比曲线如图1 0所示。
图1 0中，对比抑振前后梁振动响应实验数据可发现：在设计的三个带隙内，抑振处理后被控梁结构的振动响应有明显下降，尤其是对抑振处理前匀质梁29394阶固有频率处的振动加速度分别降低3 2.O，34.1及19.1 dB，抑制效果显著;局域共振梁带隙内抑振效果显著，符合预期设计效果，进一步驗证了抑振结构设计的正确有效性;图1 0中抑振前或抑振后，理论计算与实验测试结果皆一致性良好，验证了本文附连抑振结构振动响应理论建模的正确性。从图1 0中还可发现：实验测试效果总体而言要优于理论计算结果，这与模型简化中将面阻尼作点阻尼处理，未能完全反映抑振结构的阻尼特性有一定关系。
图1 1给出x=0.9 m处振动响应对比曲线。如图11所示，Z=0.9 m处振动响应规律与图10类似，进一步验证了抑振结构设计的正确性及其优良的抑振性能。
4 结 论
针对现有局域共振抑振系统带隙数目少、频带宽度不够等不足，本文提出了一种具有多带隙特性抑振结构，理论分析了其抑振性能，并试验验证了系统的低频、宽频带抑振效果。分析得出：（1）抑振结构模态频率与带隙频率具有一定对应关系，可通过对抑振结构模态频率的设计实现对系统带隙设计;（2）增大阻尼有利于拓宽系统抑振频带;（3）抑振结构在带隙内抑振效果显著，结构参数的合理选取可实现被控对象振动响应的有效抑制。本文所提多带隙抑振结构性能优良，可为低频振动噪声控制提供参考，具有广阔的应用前景。
参考文献：
[1] Frahm H. Device for damping vibrations of boc-lies[P].U.S.Patent 989958.1911-4-18.
[2] 盛美萍，王敏庆，马建刚.噪声与振动控制技术基础[M].第三版.北京：科学出版社，2017.
[3] 温熙森，温激鸿，郁殿龙，等.声子晶体[M].北京：国防工业出版社，2009.
Wen X S，Wen J H， Yu D L，et al.Phononic Crystals[M].Beijing：National Defense Industry Press， 2009，
[4]
Brillouin L.Wave Propagation in Periodic Structures：Electric Filters and Crystal Lattices[M]. New York：McGraw-Hill Book Company， Inc.，1953.
[5] Liu Z，Zhang X，Mao Y， et al.Locally resonant sonicmaterials[J].Science， 2000， 289（5485）：1734-1736.
[6] 文岐华，左曙光，魏 欢.多振子梁弯曲振动中的局域共振带隙[J].物理学报，2 0 1 2，61（3）： 034301.
Wen Q H， Zuo S G，Wei H. Locally resonant elasticwave band gaps in flexural vibration of multi-oscilla-tors beam[J]. Acta Physica Sinica，2012，61 （3）：034301.
[7] 吴 健，白晓春，肖 勇，等.一种多频局域共振型声子晶体板的低频带隙与减振特性[J].物理学报，2016， 65（6）： 205-215.
Wu J，Bai X C，Xiao Y，et al. Low frequency bandgaps and vibration reductio properties of a multi-fre-gaps and vibration reduetion properties of a multi frequency locally resonant phononic plate[J].Acta Physi-ca Sinica，2016， 65（6）： 205-215. [8]Kaina N，Lemoult F， Fink M，et al.Negative refrac-tive index and acoustic super lens from multiple scat-tering in single negative metamaterials[J]. Nature，2015， 525（7567）： 77.
[9] 赵 帅，陈前，姚 冰，等.间距比对双振子局域共振轴纵振带隙的影响[J].振动工程学报，2017，30（4）：570-576.
Zhao S，Chen Q，Yao B， et al.Effects of spacing ratioon the elastic wave band gaps in longitudinal vibrationof locally resonant shaft with double resonators[J].Journal of Vibration Engineering， 2017，30（4）： 570-576.
[10] Bloch F. Uber die Q.uantenmechanik der Elektronen inKristallgittern[J]. Zeitschrift fur Physik， 1929， 52（7-8） ： 555-600.
[11] Li W L. Free vibrations of beams with general bound-ary cond tions[J]. Journal of Sound and Vibration，2000， 237（4） ： 709-725.
[12]劉娇，侯志林，傅秀军。局域共振型声学超材料机理探讨[J].物理学报， 2015， 64（15）： 154302-1-8.
Liu J， Hou Z L， Fu X J. Mechanism for local resonantacoustic metamaterial[J]. Acta Physiea Sinica， 2015，64（15） ： 154302-1-8.
[13] Xiao Y，Wen J，Wen X. Broac-l band locally resonantbeams containing multiple periodic arrays of attached-/resonators[J]. Physics Letters A， 2012， 376（16）：1384-13 90.
关键词：抑振结构;多带隙;机械阻抗;弹性支撑;局域共振
中图分类号：TB535+.1
文献标志码：A
文章编号：1004-4523 （2019） 06-0943-07
DOI：10. 16385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 002
前言
振动及其引起的高强辐射噪声，影响人们正常生活、工作及身体健康。结构振动与噪声控制研究具有非常重要的现实意义。为消除振动及噪声带来的不利影响，可采取隔振、动力吸振、阻尼减振、隔声、吸声等措施。其中，高频减振降噪技术相对成熟，而低频振动噪声控制仍存在一定困难。动力吸振[1-2]是利用结构的共振来吸收主振系统能量，并降低声源振动及噪声辐射水平的一种技术，在低频减振降噪工程实际中得到了广泛应用。
动力吸振结构若设计合理，可实现结构低频声振控制，但通常作用频率范围有限，主要用于线谱噪声控制。而将动力吸振器周期阵列后会产生明显的抑振带隙特性，可有效拓宽低频抑振作用范围[3]。近年来，为实现对低频振动与声的控制，人们在动力吸振研究基础上，结合周期结构滤波特性[4]，提出了局域共振[3，5-9]的概念，并开展了一系列研究工作。
局域共振单元以动力吸振为基础，当基体中的弹性波频率接近共振单元的共振频率时，共振单元内部发生强烈的振动，弹性波很大一部分能量截留在单元内，不能继续向前传播，从而产生振动带隙[3]。Liu等[5]于2000年通过在一种基体材料中周期地嵌入具有低频谐振特性的微结构单元，实现了较低频率局域共振带隙的产生，首次明确提出局域共振机理。文歧华等[6]通过在基体胞元并联安装两独立单自由度动力吸振器，实现了双带隙振动抑制;文献[6]局域共振系统相当于两单自由度局域共振系统的简单组合，存在占空比较大的不足。为增强抑振效果，吴健等[7]将不同特性的弹簧振子安装于同一位置，提出了“双悬臂梁”局域共振板结构，在提高抑振结构分布密度的同时，实现了两个低频带隙振动的抑制;研究中，由于悬臂梁选用铝合金材质，阻尼对局域共振抑振性能的提升作用尚未充分发挥，该类局域共振抑振性能仍有可提升空间。
针对目前低频振动控制困难，现有抑振结构占空比大及阻尼小等的不足，本文提出了一种具有宽频、多带隙特性的抑振结构，并开展了其动力学特性分析。本文从理论上获得了多带隙抑振结构阻抗通用表达，实现了结构带隙特性计算，建立了两端弹性支撑多带隙局域共振梁动力学耦合模型;最后以一两端自由弯曲振动梁为控制对象，开展了多带隙局域共振单元抑振设计与抑振性能实验验证。
1 理論分析
1.1 阻抗特性
局域共振多带隙特性要求抑振结构具有多模态特性，对于理论分析中常见的等效弹簧振子模型，可通过多个弹簧振子系统的复合获得多自由度共振模态。为增加抑振结构模态数目，本文提出了如图1所示的具有多带隙特性抑振结构模型示意图。图中抑振结构共包含n组弹簧振子，且以弹簧振子k1-m1为基础，在其之上安装n一1组弹簧振子，从而组成具有n自由度的抑振结构，以期进一步获得n个抑振带隙。其中，kj，mj（j=1，…，n）分别为各弹簧振子刚度和质量;w，wj分别为基础及各振子位移;F为基础对抑振结构作用力。模型中结构阻尼以复刚度形式加以考虑，即k=k（1+jn），k为弹簧刚度，n为损耗因子。
对抑振结构进行分析，建立力学平衡方程
式中 w为加速度，与位移之间关系为w=w2w，w为圆频率。抑振结构阻抗定义为Z=F/w。其中，F为抑振结构对基础作用力，根据作用力与反作用力关系有F=一F成立。求解方程并代人阻抗定义式，可得抑振结构阻抗为
由式（2）可见：抑振结构阻抗与各子系统弹簧刚度及质量有关，同时与激励频率也有关。利用式（2）即可完成抑振结构阻抗求解。
1. 2 带隙特性
对于材料杨氏模量为E，密度为ρ，截面积为S，截面惯性矩为I的欧拉伯努利梁，其振动方程为
EIw（4）+ρsw=0（3）式中 w（4）表示位移对z的4阶导，本文符号上标“‘’表示对x求导，符号上方“·”表示对时间t求导。式（3）通解为w=Acos（ax）-Bsin（ax）+Ccosh（ax）+Dsinh（ax），其中
为传播波数;A，B，C，D分别为通解多项式系数，为待定常数。
在梁上周期安装多振子抑振结构，布置示意如图2所示，间距为a。
考虑第j胞元，假设振动方程解形式为
第j一1个胞元与第j个胞元接触的连续性条件为：
位移连续：Xj（O）=Xj-1（a）;
角位移连续：X’j（O）=x’j-1（a）;
弯矩相等：EIXj”’（O）=EIX”’j-1（a）;
剪力差等于外力：EIX”’j（0）-Fj =EIX”’j-1（a）。
令
，由以上连续条件可得
，则有
，
其中，
对于一个无限周期局域共振梁，由Bloch理论[10]可知
，故
因此，有 式中 q为z方向的波数向量。q的实部为波的传播项，虚部为经过一个胞元时的衰减项。q为纯虚数或复数时形成带隙。I为4×4单位矩阵。求解方程（5）即可获得系统带隙特性。
1.3 振动特性
在梁上安装抑振结构后，梁运动方程可表示为
为x0位置外部点力激励; N
为N个抑振结构对梁的作用力。 对于弹性约束梁，位移可用余弦级数和增补函数表示为[11]
式中 ξi（z）为矩阵ξ（x）第l行元素，ξ（x）=
为任意的4阶满秩矩阵，Am和ci为与结构边界条件有关的未知参数。梁两端弹性支撑边界条件为
式中 k10、k1a、K10、Kla为梁两约束端直簧与扭簧刚度，将位移表达式（7）代人边界条件（8）可得记Bi =GAo，B2=-G2，B3=-G3Ao，B4=G4，分别为增补函数ξ对x前4阶导的系数，即设
，M为傅里叶级数展开截断常数。将式（9）表示成矩阵形式如下
式中4单位矩阵，E1为1×（M+1）的全1向量，E2=[（-1）o…
，为一些常量矩阵。由此即可得到位移表达式中参数cl和Am之间的关系。抑振结构对梁的作用力可用阻抗表示为Fi=Ziw（xi），故附加抑振结构的梁受迫振动方程为
利用余弦函数的正交性，将增补函数ξ（z）的余弦级数代人位移表达式（7），可以得到如下位移表达式 其中，L为梁长，
，为
的余弦级数系数。而当i=l92时，
将立移表达式（1 2）代人振动方程（11），等式两
边同乘以
，然后沿梁长度方向上积分，
可得
根据三角函数积分的正交性，设a=同时将式（10）代人式（13），且求积分可得
式中
，IO为（M+1）×（M+1）阶单位矩阵，激励力项F=
，耦合项c=
。等效刚度
，等效质量
，由式（14）可得
将式（10）和（15）代人位移表达式（7），则可得到附加抑振结构的梁上任意位置处的振动响应。当F =O时，通过求解系统的自由振动方程，根据所得到的等效刚度与等效质量，可求解系统的固有频率和固有振型。而当F≠O时，通过求解系统的受迫振动方程可求得系统在外力作用下的振动响应。
2 结构设计
本文以长1000 mm、宽50 mm、厚9.2 mm两端自由的弯曲振动梁为控制对象，针对该结构低频共振响应峰值较大的特点，开展了多带隙局域共振单元抑振设计。匀质梁在单位力作用下共振频率处振动响应峰值特性明显，若能实现峰值频率及附近振动响应的降低，则结构总振动响应也会得到有效控制。为此，本文考虑设计一具有三带隙特性抑振结构，以实现对两端自由弯曲振动梁三共振频率附近振动的抑制，所设计抑振结构如图3所示。抑振结构主要包括弹性基座、金属配重、金属支撑环、中间弹性膜、中间质量块、顶部弹性膜及顶部质量块。其中弹性基座、中间及顶部弹性膜提供弹性与阻尼，分别对应于模型刚度k1，k2及k3。系统质量m1主要由金属配重与金属支撑环提供，质量m2，m3分别由中间质量块和頂部质量块提供。
实际分析中，分别针对梁结构第2，3，4阶弯曲振动模态频率开展了抑振结构设计，根据参考文献[12]可知，对于局域共振系统，抑振带隙频率主要由抑振结构模态频率确定，与胞元尺寸关系不是很大，因此，局域共振梁抑振带隙频率设计，实际是对抑振结构模态频率的设计。分析中，确定抑振结构模态设计频率分别为136 9268和443 Hz。经计算，所需模型参数为：
。进一步，将模型各参数代人式（2），计算并给出所设计抑振结构阻抗曲线如图4所示。
图4中阻抗曲线峰值频率对应于抑振结构固有频率，且与设计频率相一致，验证了模型设计参数的正确性。
文献[12]中指出，抑振结构分布间距影响系统带隙宽度，距离越小，带隙上限越大，带隙下限越接近抑振结构固有频率，抑振带隙越宽。在实际分析中，间距在抑振结构尺寸及质量比允许范围内取值应尽可能小，以期获得尽可能宽的抑振频带。本文分析中为控制抑振结构质量比，确定分布间距为O.l m，将模型参数代人式（5）得到抑振结构带隙如图5所示。
由图5可见：抑振结构存在3条明显的带隙，且抑振结构设计频率均落在3带隙频率范围之内，验证了局域共振带隙主要由抑振结构模态频率决定这一结论的正确性。为说明抑振结构周期布放后带隙内振动控制效果，进一步给出了抑振前后被控梁结构Z=0.9 m处振动响应对比曲线如图6所示。图中抑振结构模型各弹簧损耗因子参数均取值0. Ol。由图6可见，在图5所示带隙频率范围内，抑振后被控梁结构的振动响应较抑振前得到了有效抑制，尤其是原匀质被控梁结构第2，3，4阶弯曲振动模态对应响应峰值处抑振效果显著，符合预期。从图6中还可发现：在带隙两侧振动响应有新的峰值出现，这主要是由于抑振结构与基底耦合之后，在原共振频率附近产生了新的耦合模态。新产生的振动响应峰值较原匀质梁响应峰值虽有所降低，但幅度不大。由文献[13]可知，增加抑振结构阻尼有利于拓展抑制频率范围。为进一步说明阻尼对局域共振系统抑振性能的影响，定义模型各弹簧阻尼损耗因子n1一n2=n3 =0.2，给出该阻尼情形下局域共振梁振动响应曲线如图7所示。
由图7可见：阻尼为0.2时，局域共振梁振动响应除第1阶峰值特性明显外，其他频率范围内振动响应曲线平缓。这主要是由于阻尼具有“削峰填谷”作用，相比于图6、图7中抑振结构阻尼的增大，在提升带隙谷值的同时，也有效降低带隙两侧响应峰值，拓宽了抑振作用频率范围，说明实际抑振结构宜采用大阻尼设计。为此，在抑振结构设计中，弹性部件采用了大阻尼橡胶类材料。根据模型刚度与质量参数需求，完成了抑振结构设计，给出结构实物如图8所示。 所设计抑振结构基本参数为：弹性基座为高1 0mm、直径3 2 m m低模量橡胶柱;模型底部金属配重为质量30.5 g、高13.5 mm、直径32 mm的铝合金柱;两金属支撑环为质量7.5 g、高12 mm、外直径32 mm、内直径28 mm的铝合金管;中间及顶部集中质量为重19.8 g、高8 mm、直径20 mm的不锈钢柱;中间与顶部弹性膜分别为厚0.5 m m、1.5 mm的硅橡胶膜，膜直径均为32 mm;抑振结构总质量约94 g。
3 实验验证
为验证所设计抑振结构实际抑振效果，本文在长1m、宽50 mm、厚9.2 mm的两端自由匀质钢梁上，周期附连前文所设计的抑振结构，并开展了结构抑振性能测试实验。其中，结构布置间距O.l m，抑振结构与基底梁之间质量比为0. 26。给出测试系统示意如图9所示。
实验中，分析仪（B&-K 3560B）兼具信号发生与信号处理功能，试件通过柔性绳悬挂，模拟自由边界，在试件一端激励，完成各测点振动响应测试。首先，测试机通过测试软件（Pulse）向分析仪发出激励信号，并经功率放大器（B&-K 2716）放大后驱动激振器（JZ-10）激励试件;激振器安装于试件一端，激振器与试件之间通过阻抗头（B&-K 8001）连接，用于对受激点激励力及振动响应的测试;阻抗头所采集信号经电荷放大器（B&-K 2692）转换后送人分析仪进行分析，经力信号归一化处理后获得激励点输入导纳;除激励点阻抗头传感器外，还在试件表面布置一振动加速度传感器（ B&-K 4513B），由于加速度传感器为电压型，采集信号可直接送人分析仪进行分析，经激励点力信号归一化后得到梁各测点传递导纳数据;通过移动加速度传感器位置，即可完成梁试件各测点导纳数据测试工作。
对两端自由弯曲振动梁左端进行白噪声激励，提取梁各测点振动响应，并利用阻抗头力信号归一化处理，得到单位力激励下各测点振动响应。整理数据并给出两端自由弯曲振动梁附连抑振结构前后，x=0.3 m处振动响应对比曲线如图1 0所示。
图1 0中，对比抑振前后梁振动响应实验数据可发现：在设计的三个带隙内，抑振处理后被控梁结构的振动响应有明显下降，尤其是对抑振处理前匀质梁29394阶固有频率处的振动加速度分别降低3 2.O，34.1及19.1 dB，抑制效果显著;局域共振梁带隙内抑振效果显著，符合预期设计效果，进一步驗证了抑振结构设计的正确有效性;图1 0中抑振前或抑振后，理论计算与实验测试结果皆一致性良好，验证了本文附连抑振结构振动响应理论建模的正确性。从图1 0中还可发现：实验测试效果总体而言要优于理论计算结果，这与模型简化中将面阻尼作点阻尼处理，未能完全反映抑振结构的阻尼特性有一定关系。
图1 1给出x=0.9 m处振动响应对比曲线。如图11所示，Z=0.9 m处振动响应规律与图10类似，进一步验证了抑振结构设计的正确性及其优良的抑振性能。
4 结 论
针对现有局域共振抑振系统带隙数目少、频带宽度不够等不足，本文提出了一种具有多带隙特性抑振结构，理论分析了其抑振性能，并试验验证了系统的低频、宽频带抑振效果。分析得出：（1）抑振结构模态频率与带隙频率具有一定对应关系，可通过对抑振结构模态频率的设计实现对系统带隙设计;（2）增大阻尼有利于拓宽系统抑振频带;（3）抑振结构在带隙内抑振效果显著，结构参数的合理选取可实现被控对象振动响应的有效抑制。本文所提多带隙抑振结构性能优良，可为低频振动噪声控制提供参考，具有广阔的应用前景。
参考文献：
[1] Frahm H. Device for damping vibrations of boc-lies[P].U.S.Patent 989958.1911-4-18.
[2] 盛美萍，王敏庆，马建刚.噪声与振动控制技术基础[M].第三版.北京：科学出版社，2017.
[3] 温熙森，温激鸿，郁殿龙，等.声子晶体[M].北京：国防工业出版社，2009.
Wen X S，Wen J H， Yu D L，et al.Phononic Crystals[M].Beijing：National Defense Industry Press， 2009，
[4]
Brillouin L.Wave Propagation in Periodic Structures：Electric Filters and Crystal Lattices[M]. New York：McGraw-Hill Book Company， Inc.，1953.
[5] Liu Z，Zhang X，Mao Y， et al.Locally resonant sonicmaterials[J].Science， 2000， 289（5485）：1734-1736.
[6] 文岐华，左曙光，魏 欢.多振子梁弯曲振动中的局域共振带隙[J].物理学报，2 0 1 2，61（3）： 034301.
Wen Q H， Zuo S G，Wei H. Locally resonant elasticwave band gaps in flexural vibration of multi-oscilla-tors beam[J]. Acta Physica Sinica，2012，61 （3）：034301.
[7] 吴 健，白晓春，肖 勇，等.一种多频局域共振型声子晶体板的低频带隙与减振特性[J].物理学报，2016， 65（6）： 205-215.
Wu J，Bai X C，Xiao Y，et al. Low frequency bandgaps and vibration reductio properties of a multi-fre-gaps and vibration reduetion properties of a multi frequency locally resonant phononic plate[J].Acta Physi-ca Sinica，2016， 65（6）： 205-215. [8]Kaina N，Lemoult F， Fink M，et al.Negative refrac-tive index and acoustic super lens from multiple scat-tering in single negative metamaterials[J]. Nature，2015， 525（7567）： 77.
[9] 赵 帅，陈前，姚 冰，等.间距比对双振子局域共振轴纵振带隙的影响[J].振动工程学报，2017，30（4）：570-576.
Zhao S，Chen Q，Yao B， et al.Effects of spacing ratioon the elastic wave band gaps in longitudinal vibrationof locally resonant shaft with double resonators[J].Journal of Vibration Engineering， 2017，30（4）： 570-576.
[10] Bloch F. Uber die Q.uantenmechanik der Elektronen inKristallgittern[J]. Zeitschrift fur Physik， 1929， 52（7-8） ： 555-600.
[11] Li W L. Free vibrations of beams with general bound-ary cond tions[J]. Journal of Sound and Vibration，2000， 237（4） ： 709-725.
[12]劉娇，侯志林，傅秀军。局域共振型声学超材料机理探讨[J].物理学报， 2015， 64（15）： 154302-1-8.
Liu J， Hou Z L， Fu X J. Mechanism for local resonantacoustic metamaterial[J]. Acta Physiea Sinica， 2015，64（15） ： 154302-1-8.
[13] Xiao Y，Wen J，Wen X. Broac-l band locally resonantbeams containing multiple periodic arrays of attached-/resonators[J]. Physics Letters A， 2012， 376（16）：1384-13 90.