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摘要:数学考试中的“开放题”具有很好的考查效果,但由于各种原因,在现今的考试中出现的频率却逐渐减少,这从一次统测卷的情况中可见一斑,调查的结果也令人担忧,所以我们必须采取适当措施正确对待数学考试中的“开放题”.
关键词:考试;开放题;调查
自从1980年第4期《外国教育》杂志刊登日本学者泽田利夫《从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学的方案》一文,首次在我国介绍日本同行的数学开放题的研究工作以来,对数学开放题的研究就一直方兴未艾. 特别是由“开放题——数学教学的新模式”课题组于1998年11月在上海金汇学校召开的全国第一届“数学开放题及其教学”学术研讨会,以及2003年11月与华东师大数学教育研究所、上海新基础教育实验学校和上海教育出版社共同发起的第二届“数学开放题及其教学”学术研讨会,把数学开放题的研究推向了一个高潮.相应地,在2002年全国高考数学卷中也出现了以开放题作为压轴题的令人振奋的现象.
但与上面不对称的现象却随之发生了:伴随着研究的深入以及开放题自身的“缺陷”,开放题在考试中,特别是高考中抛头露面的机会大大减少.文中指出:“2002年,我们搜集了分布在31个省、自治区(缺港、澳、西藏)的80份试卷(合计2270道题),其中含有开放题的仅有39份试卷(约占50%),计46道题,仅占总题量的2%.”笔者也分析了2008年数学高考的34套试卷(共733道试题),其中涉及开放题的只有4套试卷(约占12%),共计5题,只约占总题量的0.5%. 为什么会出现这种情况呢?从如下的一次2007学年第二学期期末统测卷的一道开放题的测试情况可见一斑.
期末统测卷中开放题的情况分析
试题如图1,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.
(1)求二面角B1-MN-B的正切值;
(2)证明:PB⊥平面MNB1;
(3)画出此正方体的一个表面展开图,使其满足“有四个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P,B两点的距离.
命题者的命题意图十分明显,即试图通过第(3)小题这个结论开放的问题来考查考生的语言翻译、空间想象以及创新思维等能力.
试卷批改的结果也充分说明这道开放性数学问题达到了命题者预期的考查目的. 几乎所有的考生都能根据题意画出所需要的图形(即图2六种图形中的一种),并且绝大多数考生也能给出至少一种BP的正确长度,而且思维灵活、展现的形式与结果均丰富多彩.
但不容忽视的是,在试卷批改过程中也暴露出如下的几个问题:首先,由于正方体展开的方式不同,即使是展开图的形状完全相同,其蕴涵的意义(如P,B的位置)有时也有显著差异,况且有相当多的同学虽然画出了如图2的六种图形中的一种,但是却未标上相应顶点的字母,这给试卷批改带来了相当的困难;其次,即使展开的方式或展开图的形状完全相同,但是有的图中BP的长度有两个甚至三个结果(如图3),因此就出现了部分同学的解答中有两个BP长度,而且有些考虑问题较深入的同学给出三个乃至四个答案,这样一来,就给试题评分标准的制定带来一定的难度;最后,本开放题属于“有限可穷举型”,即问题的答案可以一一列举,其答案有六种,即,,,,以及,在试卷批改过程中,也曾因批阅教师考虑不周,出现把正确答案批错后,再重新复卷的情况,给批改工作带来极大的不便.另外,由于其答案有6个,在试卷讲评时,由于时间关系,大多数教师只给出其中几个答案的形成过程,对于其余几个答案及其形成过程只能让学生自己去探索.
上面开放题的测试与批改情况,在其他考试中也屡见不鲜,因此在试卷命题时许多命题者往往尽量不用开放题,以避免出现类似的或更加复杂的情况.上题的出现已说明该试卷命题者的勇气与实施科学、有效考核方法的决心.
一次有关“数学开放题”的调查分析
鉴于数学考试中开放题所处的这种窘境,笔者最近就“在考试中‘数学开放题’所面临的问题或困难”为名调查了我校的高中数学教师(调查表附后),结果显示,选择B项和E项的比率均高达57.1%,说明多数教师认为开放题批改麻烦且难度(含开放度)不易控制;选择C项和D项的比率各为42.9%和35.7%,说明有相当多的教师认为对开放题的答案及评价标准的设置有时会产生困难;而选择A项和F项的比率分别仅为21.4%和7.1%,这说明大多数教师认为开放题的编拟没有困难,并且对开放题有着充分的认识,这大大出乎笔者的预料.笔者认为开放题的编拟要考虑到多种因素,如考生的“考情”、试题的开放度、试题的答案与评分标准的设定以及对考后批改、讲评等情况的估计等因素,操作具有相当的难度;另一方面,笔者认为有相当多的教师对开放题的认识仅停留在试题的形式以及试题开放度等方面,对开放题的特征及理论研究不足,而调查结果与此有较大出入,这可能与调查项目的编制不科学有关,有待于进一步细化.此外,还有一些教师也提出了其他的意见,指出了大多数开放题能开发学生的创新意识,但难度往往偏大,不能面对全体学生.这说明在开放题的难度控制以及题源的选择上都存在一定的问题.
关于“数学开放题”的几点建议
针对以上现象,笔者认为,我们不能由于碰到一些困难或迷惑就对数学开放题在考试中的作用持否定态度.众所周知,数学开放题在考查考生发散思维以及创新思维等能力上具有不可替代的作用,正如:“数学开放题迎合时代发展的需要,是推进素质教育、培养学生创新精神的切入口.事实表明,我国教育行政部门已正式肯定数学开放题的作用和地位,提倡数学开放题已是我国的政府行为.”在此,笔者还认为,为了防止在开放题测试中出现以上的或类似的问题,以下的措施可能有借鉴意义.
(1)正确认识“数学开放题”的含义、作用及特征.数学开放题是指那些答案不唯一,并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题;这里需要说明的是:数学试卷中常见的探究性问题也是数学开放题,而其作用及特征等相关因素的阐述可见详文.
(2)在编拟开放题时应注意以下几点.
首先,编拟开放题应避免随意性,数学命题要求严谨,数学语言讲究精练,即使开放题也不能例外,所以设计时,特别是问题表述时也应注意以上两点;同时应制定可参照的、确切的标准答案和评分细则,考虑问题时也应周全,尽量发挥命题组的集体智慧,细揣摩、多交流,充分思索开放题的每一个细节.
其次,中学生由于受知识面、智力、思维方式等多种因素的影响,对学生的培养、发展要循序渐进.设计开放题也一样要考虑学生的实际,要把握问题的开放度,不同水平的学生应采用不同的设问方式,提出不同的解题要求;开放题中所包含的事件应为学生所熟悉的,其内容是有趣的,是学生所愿意研究的,是通过学生现有的知识能够解决的可行问题. 在此,笔者认为,开放题的出现尽可能采取有限可穷举型或有限混沌型,少用无限离散型或无限连续型,这样可减小开放度以及试卷批改的难度.
最后,设计的开放题要有探索性.探索是创新的前提,开放题能培养学生的创新能力的关键是开放题具有可探索性.如果只把一题多答案题目当成是开放题,这是不全面的.设计结论开放题重点也要体现题目的可探索性.另外,由于数学高考的试题题型多年稳定在“单项选择题”“填空题”“解答题”三大类上,因此我国各级各类的数学考试题基本上也就固定在这三大类上. 但是,对于开放题来说,这三类题型显然不能满足需要.因此,我们一方面要注意对各种创新题型的经验总结,另一方面还应继续研究、尝试新的题型(如多项选择题、研究性课题等形式).
(3)对于参加试卷批改的数学教师,在阅卷前应一起交流、磋商,明确此开放题的设计目的、评分细则和操作流程;对在阅卷过程中出现的新问题应及时相互沟通、讨论,在阅卷过程中应高度负责,杜绝马虎大意、自以为是的现象发生,把可能产生的差错以及不公平现象消减到最低限度.
(4)在试卷讲评或开放题教学中,不能由于时间问题或内容繁杂之故,就忽略对其进行详细的剖析,而应尽可能地发挥开放题的各项教学价值.这可能比其他单纯的试题讲评在知识传授和能力培养上更加具有效率.
(5)由上可见,开放题在各类各级考试中所占比率偏低,在高考中也几乎达到销声匿迹的程度.笔者认为,这与当前教育的评价机制有着极大的关系. 由于考试在学校评价、学生学业评价甚至社会评价中占有极其重要的地位,高考更不用多说了,于是在命题时就出现命题者为了避免出现不必要的麻烦,避免在阅卷时出现差错,因此在试卷的题型选择中就人为地减少或根本不出现开放题的踪迹. 事实上,对于上面的期末统测卷的评价来讲,各阅卷教师对这道开放题的感触与评价是极高的,这从言语和行动上可见一斑.考试的主要目的之一就是要考查考生所掌握的知识水平与各项能力,既然开放题在此方面具有独特的作用,我们教育者就不能因为某些主观因素而将其束之高阁.
文中指出:“众所周知,考试是数学教育的指挥棒.一旦在热门考试的试卷上引进了开放题,那么在课堂教学中使用开放题就会流行开来.现在,每一位中国数学教师都在尝试在课堂教学中使用开放题,并且十分关注这类试题.”对此,笔者深有同感,如果试卷的命题者对数学开放题的特征、开放度的把握、标准答案及评价标准的制定以及对“考情”等情况胸有成竹,并且吸取各方经验,在试卷中适量并坚持不懈地运用开放题进行考核,那么数学开放题就将“青春永驻”!
调查表
请您选择(可多选)或写出在考试中采用“数学开放题”所面临的问题或困难.谢谢合作!(注:不必署名)
A.“数学开放题”编拟困难
B.“数学开放题”批改麻烦
C.“数学开放题”的标准答案有时难以设定
D.“数学开放题”评价标准的制定难以统一
E.“数学开放题”的难度(含开放度)不易控制
F. 对“数学开放题”的认识不足
G. 其他意见
关键词:考试;开放题;调查
自从1980年第4期《外国教育》杂志刊登日本学者泽田利夫《从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学的方案》一文,首次在我国介绍日本同行的数学开放题的研究工作以来,对数学开放题的研究就一直方兴未艾. 特别是由“开放题——数学教学的新模式”课题组于1998年11月在上海金汇学校召开的全国第一届“数学开放题及其教学”学术研讨会,以及2003年11月与华东师大数学教育研究所、上海新基础教育实验学校和上海教育出版社共同发起的第二届“数学开放题及其教学”学术研讨会,把数学开放题的研究推向了一个高潮.相应地,在2002年全国高考数学卷中也出现了以开放题作为压轴题的令人振奋的现象.
但与上面不对称的现象却随之发生了:伴随着研究的深入以及开放题自身的“缺陷”,开放题在考试中,特别是高考中抛头露面的机会大大减少.文中指出:“2002年,我们搜集了分布在31个省、自治区(缺港、澳、西藏)的80份试卷(合计2270道题),其中含有开放题的仅有39份试卷(约占50%),计46道题,仅占总题量的2%.”笔者也分析了2008年数学高考的34套试卷(共733道试题),其中涉及开放题的只有4套试卷(约占12%),共计5题,只约占总题量的0.5%. 为什么会出现这种情况呢?从如下的一次2007学年第二学期期末统测卷的一道开放题的测试情况可见一斑.
期末统测卷中开放题的情况分析
试题如图1,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.
(1)求二面角B1-MN-B的正切值;
(2)证明:PB⊥平面MNB1;
(3)画出此正方体的一个表面展开图,使其满足“有四个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P,B两点的距离.
命题者的命题意图十分明显,即试图通过第(3)小题这个结论开放的问题来考查考生的语言翻译、空间想象以及创新思维等能力.
试卷批改的结果也充分说明这道开放性数学问题达到了命题者预期的考查目的. 几乎所有的考生都能根据题意画出所需要的图形(即图2六种图形中的一种),并且绝大多数考生也能给出至少一种BP的正确长度,而且思维灵活、展现的形式与结果均丰富多彩.
但不容忽视的是,在试卷批改过程中也暴露出如下的几个问题:首先,由于正方体展开的方式不同,即使是展开图的形状完全相同,其蕴涵的意义(如P,B的位置)有时也有显著差异,况且有相当多的同学虽然画出了如图2的六种图形中的一种,但是却未标上相应顶点的字母,这给试卷批改带来了相当的困难;其次,即使展开的方式或展开图的形状完全相同,但是有的图中BP的长度有两个甚至三个结果(如图3),因此就出现了部分同学的解答中有两个BP长度,而且有些考虑问题较深入的同学给出三个乃至四个答案,这样一来,就给试题评分标准的制定带来一定的难度;最后,本开放题属于“有限可穷举型”,即问题的答案可以一一列举,其答案有六种,即,,,,以及,在试卷批改过程中,也曾因批阅教师考虑不周,出现把正确答案批错后,再重新复卷的情况,给批改工作带来极大的不便.另外,由于其答案有6个,在试卷讲评时,由于时间关系,大多数教师只给出其中几个答案的形成过程,对于其余几个答案及其形成过程只能让学生自己去探索.
上面开放题的测试与批改情况,在其他考试中也屡见不鲜,因此在试卷命题时许多命题者往往尽量不用开放题,以避免出现类似的或更加复杂的情况.上题的出现已说明该试卷命题者的勇气与实施科学、有效考核方法的决心.
一次有关“数学开放题”的调查分析
鉴于数学考试中开放题所处的这种窘境,笔者最近就“在考试中‘数学开放题’所面临的问题或困难”为名调查了我校的高中数学教师(调查表附后),结果显示,选择B项和E项的比率均高达57.1%,说明多数教师认为开放题批改麻烦且难度(含开放度)不易控制;选择C项和D项的比率各为42.9%和35.7%,说明有相当多的教师认为对开放题的答案及评价标准的设置有时会产生困难;而选择A项和F项的比率分别仅为21.4%和7.1%,这说明大多数教师认为开放题的编拟没有困难,并且对开放题有着充分的认识,这大大出乎笔者的预料.笔者认为开放题的编拟要考虑到多种因素,如考生的“考情”、试题的开放度、试题的答案与评分标准的设定以及对考后批改、讲评等情况的估计等因素,操作具有相当的难度;另一方面,笔者认为有相当多的教师对开放题的认识仅停留在试题的形式以及试题开放度等方面,对开放题的特征及理论研究不足,而调查结果与此有较大出入,这可能与调查项目的编制不科学有关,有待于进一步细化.此外,还有一些教师也提出了其他的意见,指出了大多数开放题能开发学生的创新意识,但难度往往偏大,不能面对全体学生.这说明在开放题的难度控制以及题源的选择上都存在一定的问题.
关于“数学开放题”的几点建议
针对以上现象,笔者认为,我们不能由于碰到一些困难或迷惑就对数学开放题在考试中的作用持否定态度.众所周知,数学开放题在考查考生发散思维以及创新思维等能力上具有不可替代的作用,正如:“数学开放题迎合时代发展的需要,是推进素质教育、培养学生创新精神的切入口.事实表明,我国教育行政部门已正式肯定数学开放题的作用和地位,提倡数学开放题已是我国的政府行为.”在此,笔者还认为,为了防止在开放题测试中出现以上的或类似的问题,以下的措施可能有借鉴意义.
(1)正确认识“数学开放题”的含义、作用及特征.数学开放题是指那些答案不唯一,并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题;这里需要说明的是:数学试卷中常见的探究性问题也是数学开放题,而其作用及特征等相关因素的阐述可见详文.
(2)在编拟开放题时应注意以下几点.
首先,编拟开放题应避免随意性,数学命题要求严谨,数学语言讲究精练,即使开放题也不能例外,所以设计时,特别是问题表述时也应注意以上两点;同时应制定可参照的、确切的标准答案和评分细则,考虑问题时也应周全,尽量发挥命题组的集体智慧,细揣摩、多交流,充分思索开放题的每一个细节.
其次,中学生由于受知识面、智力、思维方式等多种因素的影响,对学生的培养、发展要循序渐进.设计开放题也一样要考虑学生的实际,要把握问题的开放度,不同水平的学生应采用不同的设问方式,提出不同的解题要求;开放题中所包含的事件应为学生所熟悉的,其内容是有趣的,是学生所愿意研究的,是通过学生现有的知识能够解决的可行问题. 在此,笔者认为,开放题的出现尽可能采取有限可穷举型或有限混沌型,少用无限离散型或无限连续型,这样可减小开放度以及试卷批改的难度.
最后,设计的开放题要有探索性.探索是创新的前提,开放题能培养学生的创新能力的关键是开放题具有可探索性.如果只把一题多答案题目当成是开放题,这是不全面的.设计结论开放题重点也要体现题目的可探索性.另外,由于数学高考的试题题型多年稳定在“单项选择题”“填空题”“解答题”三大类上,因此我国各级各类的数学考试题基本上也就固定在这三大类上. 但是,对于开放题来说,这三类题型显然不能满足需要.因此,我们一方面要注意对各种创新题型的经验总结,另一方面还应继续研究、尝试新的题型(如多项选择题、研究性课题等形式).
(3)对于参加试卷批改的数学教师,在阅卷前应一起交流、磋商,明确此开放题的设计目的、评分细则和操作流程;对在阅卷过程中出现的新问题应及时相互沟通、讨论,在阅卷过程中应高度负责,杜绝马虎大意、自以为是的现象发生,把可能产生的差错以及不公平现象消减到最低限度.
(4)在试卷讲评或开放题教学中,不能由于时间问题或内容繁杂之故,就忽略对其进行详细的剖析,而应尽可能地发挥开放题的各项教学价值.这可能比其他单纯的试题讲评在知识传授和能力培养上更加具有效率.
(5)由上可见,开放题在各类各级考试中所占比率偏低,在高考中也几乎达到销声匿迹的程度.笔者认为,这与当前教育的评价机制有着极大的关系. 由于考试在学校评价、学生学业评价甚至社会评价中占有极其重要的地位,高考更不用多说了,于是在命题时就出现命题者为了避免出现不必要的麻烦,避免在阅卷时出现差错,因此在试卷的题型选择中就人为地减少或根本不出现开放题的踪迹. 事实上,对于上面的期末统测卷的评价来讲,各阅卷教师对这道开放题的感触与评价是极高的,这从言语和行动上可见一斑.考试的主要目的之一就是要考查考生所掌握的知识水平与各项能力,既然开放题在此方面具有独特的作用,我们教育者就不能因为某些主观因素而将其束之高阁.
文中指出:“众所周知,考试是数学教育的指挥棒.一旦在热门考试的试卷上引进了开放题,那么在课堂教学中使用开放题就会流行开来.现在,每一位中国数学教师都在尝试在课堂教学中使用开放题,并且十分关注这类试题.”对此,笔者深有同感,如果试卷的命题者对数学开放题的特征、开放度的把握、标准答案及评价标准的制定以及对“考情”等情况胸有成竹,并且吸取各方经验,在试卷中适量并坚持不懈地运用开放题进行考核,那么数学开放题就将“青春永驻”!
调查表
请您选择(可多选)或写出在考试中采用“数学开放题”所面临的问题或困难.谢谢合作!(注:不必署名)
A.“数学开放题”编拟困难
B.“数学开放题”批改麻烦
C.“数学开放题”的标准答案有时难以设定
D.“数学开放题”评价标准的制定难以统一
E.“数学开放题”的难度(含开放度)不易控制
F. 对“数学开放题”的认识不足
G. 其他意见