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不论是滑动摩擦力还是静摩擦力，它们既可以做正功，也可以做负功. 如传送带传送物体时，摩擦力做正功. 滑动摩擦力对物体做功的特点跟物体运动的路程有关，跟物体的位移无关. 一对相互作用的滑动摩擦力对物体系做的总功一定不为零，总净功为负值，机械能减少使内能增加，如摩擦生热. 一对相互作用的静摩擦力对物体系做的总功一定为零，总净功为零，如两个物体相对静止，位移相同的情况.
[ 动摩擦力做功与“路径有关”]
模型 用水平拉力，拉着滑块沿半径为[R]的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块与轨道间动摩擦因数为[μ]，物块质量为[m]，求此过程中摩擦力所做的功.
图1
解析 物体在整个过程中摩擦力大小[Ff=μmg]不变，而方向时刻改变，是变力，但若把圆周分成无数小微元段，则每一小段可认为摩擦力方向不变，每一小段可用恒力做功公式计算，然后各段求和即可.
把圆轨道分成[s1]、[s2]…[sn]，摩擦力在每一段做功分别为[W1=-μmgs1]、[W2=-μmgs2]…[Wn=-μmgsn]，则摩擦力在一周内所做的功[W=W1+W2+…+Wn][=-μmg?2πR].
结论 动摩擦力做功与路径有关，其计算公式为[W=Ffs]（[s]为物体运动路程）.
例1 从离地面[H]高处落下一只小球，小球在运动中所受的空气阻力是它重力的[k]倍，而小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，求小球从释放至停止所通过的总路程.
解析 小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，说明小球与地面碰撞时无机械能损失. 从小球自由释放到停止的全过程中重力做功为[WG=GH]（重力做功与路径无关）.
空气阻力随时与速度方向相反，因而做的功为[Wf=-Ffs]（[s]为小球运行路程）
根据动能定理[W合=ΔEk]
得[WG+Wf=0]，即[GH-kGs=0]
得[s=Hk]
点拨 此题还可分段求解，最终利用数列求和，但利用全程求解更为简洁.
[ 动摩擦力做功与“路径无关”]
模型 一个物体以一定的初速度沿水平面由[A]点滑到[B]点，物体克服摩擦力做功为[W1];若该物体从[A]沿两斜面滑到[B]，物体克服摩擦力做的总功为[W2]，如图2所示，已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则（ ）
图2
A. [W1=W2] B. [W1>W2]
C. [W1<W2] D. 无法确定
解析 此题分别给出两种不同情况下物体的运动，比较可得第2种情况下物体所受的摩擦力较小但运动路程又长，因此许多同学会主观地认为无法确定，而错选答案D.
设物体与各接触面的动摩擦因数均为[μ]，物体重为[G]，水平面[AB]长（两斜面的水平距离）为[s]. 则从[A]到[B]过程中，物体克服摩擦力做的功为[W1=μGs].
从[A]沿两斜面滑到[B]过程中（设最高点为[C]，且[∠CAB=α]，[∠CBA=β]），物体克服摩擦力做的功为
[W2][=μG（cosα?AC+cosβ?CB）=μGs]
由此可得，虽然物体经过的路径不同，但克服摩擦力做的功相同. 答案为A.
结论 无论物体沿水平面还是斜面滑动，在无其它外力影响正压力且动摩擦因数相同的情况下，物体克服动摩擦做功与路径“无关”，其功为[W=μGs]（[s]为物体的水平位移）.
例2 如图3所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为[v0]的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零. 如果斜面改为AC，让该物体从D点出发滑动到A时速度也刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相等且不为零）（ ）
图3
A. 大于[v0] B. 等于[v0]
C. 小于[v0] D. 取决于斜面的倾角
解析 设斜面[AB、AC]与水平面间夹角分别为[α]、[β]. 物体沿[DBA]滑动时，合力做功[W1=-mgh-][（μmg?DB+μmg?cosα?AB）][=-mgh-μmgOD]. 同理可得当物体沿[DCA]滑动时，合力做功为[W2=-mgh-μmgOD]，即两次合力做功相等，根据动能定理[W合=ΔEk]可得，两次物体动能变化也相等，因此当物体沿[DCA]滑到顶端速度为零时，物体具有的初速度也等于[v0]. 答案为B.
点拨 动摩擦力做功仍按功的计算公式求解，只是在此种条件下动摩擦力做功好像与“路径无关”，而等于[μGs]（[s]为物体的水平位移）.
<F：＼高中生2015＼学法指导＼2015-5-高二0＼Image＼理综图标.tif> [ 动摩擦力做功与“速度有关”]
模型 质量为[m]的木块，与轨道间的动摩擦因数为[μ]，试分别求出木块沿竖直圆轨道外侧滑到A点和沿圆轨道内侧滑到B点时受到的摩擦力大小（设圆轨道半径为R，滑到A点到B点的速度均为[v]，且OA和OB与竖直方向的夹角均为[θ]）.
解析 当木块滑到圆轨道外侧[A]点时，受力分析如图4甲所示，则有[G1-FN1=][mv2R] [FN1=G1-mv2R?Ff1=μ（Gcosθ-mv2R）]
当木块滑到圆轨道内侧[B]点时，受力分析如图4乙所示，则有[FN2-G1=mv2R]
[FN2=G1+mv2R?Ff2=μ（Gcosθ+mv2R）].
甲 乙
图4
结论 物体滑到竖直圆轨道外侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越小;物体滑到竖直圆轨道内侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越大.
例3 如图5所示，A、B是一段粗糙程度相同的凸凹形曲面，且A与B在同一水平面上，已知完全相同的甲、乙两物块，甲以速度[v0]从A滑到B时速度变为[v1]，乙也以速度[v0]从B滑到A时速度变为[v2]，则[v1]与[v2]的关系是（ ）
A. [v1<v2] B. [v1>v2]
C. [v1=v2] D. 无法判定
图5
解析 由于摩擦，在外轨道上滑行时物块甲的速度大于乙速度，其上任一位置物块受到的摩擦力[Ff1=μ（Gcosθ-mv2R）]，即[θ]一定时速度小者摩擦力大，因此在外轨道上运行时乙受的摩擦力大于甲受的摩擦力.
在内轨道上滑行时物块乙的速度大于甲的速度，其上任一位置物块所受的摩擦力[Ff2=μ][（Gcosθ+mv2R）]. 即[θ]一定时速度大者摩擦力大，因此在内轨道上运行时仍是乙受的摩擦力大，所以在全程中乙所受摩擦力均大于甲所受的摩擦力.
无论甲从[A]滑到[B]还是乙从[B]滑到[A]，甲、乙两物块的重力的功均为零，而物块乙从[B]运行到[A]时，克服摩擦力做的功多，所以乙后来的速度[v2]小于甲后来的速度[v1]. 答案为B.
点拨 在圆周运动中的动摩擦力做功之所以与速度有关是因为动摩擦力正比于正压力，而正压力又与向心力有关.
[练习]
1. 如图6所示，水平路面上停着质量为[M]的平板车，质量为[m]的箱子放在平板车上，车启动后小段时间前进距离[S]，箱子在车上滑行距离[L]，车与箱分别获得的速度[v1]、[v2]（[v1>v2）]. 设车的牵引力为[F]，受到的阻力跟对路面压力成正比，比例系数为[k]，重力加速度为[g]，箱子与车平板间摩擦力大小为[f]，则以下关系式成立的有（ ）
图6
A.对[M]：[FS-k（M+m）gS-fL=12Mv21]
B.对[M]：[FS-k（M+m）gS-f（S-L）=12Mv21]
C.对[m]：[fL=12mv22]
D.对[（M+m）]：[F-k（M+m）gS-fL=12Mv21+12mv22]
2. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm. 问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次克服阻功做功相等）.
3. 如图7所示，长[L]=9m的传送带与水平方向的倾角[θ]=370，在电动机的带动下以[v]=4m/s的速率顺时针转动，在传送带的[B]端有一离皮带很近的固定挡板[P]. 在传送带的[A]端无初速放上一质量[m]=1kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数[μ]=0.5，物块与挡板的碰撞时间和能量损失不计（取[g]=10m/s2，sin37°=0.6）. 求：
图7
（1）物块从静止释放到与挡板第一次碰撞后，再次返回上升到最高点的过程中，因摩擦产生的热量;
（2）物块的最终状态及该状态后电动机的输出功率.
[参考答案]
1. D 2. 0.41cm 3. （1）100.8J （2）16W
[ 动摩擦力做功与“路径有关”]
模型 用水平拉力，拉着滑块沿半径为[R]的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块与轨道间动摩擦因数为[μ]，物块质量为[m]，求此过程中摩擦力所做的功.
图1
解析 物体在整个过程中摩擦力大小[Ff=μmg]不变，而方向时刻改变，是变力，但若把圆周分成无数小微元段，则每一小段可认为摩擦力方向不变，每一小段可用恒力做功公式计算，然后各段求和即可.
把圆轨道分成[s1]、[s2]…[sn]，摩擦力在每一段做功分别为[W1=-μmgs1]、[W2=-μmgs2]…[Wn=-μmgsn]，则摩擦力在一周内所做的功[W=W1+W2+…+Wn][=-μmg?2πR].
结论 动摩擦力做功与路径有关，其计算公式为[W=Ffs]（[s]为物体运动路程）.
例1 从离地面[H]高处落下一只小球，小球在运动中所受的空气阻力是它重力的[k]倍，而小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，求小球从释放至停止所通过的总路程.
解析 小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，说明小球与地面碰撞时无机械能损失. 从小球自由释放到停止的全过程中重力做功为[WG=GH]（重力做功与路径无关）.
空气阻力随时与速度方向相反，因而做的功为[Wf=-Ffs]（[s]为小球运行路程）
根据动能定理[W合=ΔEk]
得[WG+Wf=0]，即[GH-kGs=0]
得[s=Hk]
点拨 此题还可分段求解，最终利用数列求和，但利用全程求解更为简洁.
[ 动摩擦力做功与“路径无关”]
模型 一个物体以一定的初速度沿水平面由[A]点滑到[B]点，物体克服摩擦力做功为[W1];若该物体从[A]沿两斜面滑到[B]，物体克服摩擦力做的总功为[W2]，如图2所示，已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则（ ）
图2
A. [W1=W2] B. [W1>W2]
C. [W1<W2] D. 无法确定
解析 此题分别给出两种不同情况下物体的运动，比较可得第2种情况下物体所受的摩擦力较小但运动路程又长，因此许多同学会主观地认为无法确定，而错选答案D.
设物体与各接触面的动摩擦因数均为[μ]，物体重为[G]，水平面[AB]长（两斜面的水平距离）为[s]. 则从[A]到[B]过程中，物体克服摩擦力做的功为[W1=μGs].
从[A]沿两斜面滑到[B]过程中（设最高点为[C]，且[∠CAB=α]，[∠CBA=β]），物体克服摩擦力做的功为
[W2][=μG（cosα?AC+cosβ?CB）=μGs]
由此可得，虽然物体经过的路径不同，但克服摩擦力做的功相同. 答案为A.
结论 无论物体沿水平面还是斜面滑动，在无其它外力影响正压力且动摩擦因数相同的情况下，物体克服动摩擦做功与路径“无关”，其功为[W=μGs]（[s]为物体的水平位移）.
例2 如图3所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为[v0]的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零. 如果斜面改为AC，让该物体从D点出发滑动到A时速度也刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相等且不为零）（ ）
图3
A. 大于[v0] B. 等于[v0]
C. 小于[v0] D. 取决于斜面的倾角
解析 设斜面[AB、AC]与水平面间夹角分别为[α]、[β]. 物体沿[DBA]滑动时，合力做功[W1=-mgh-][（μmg?DB+μmg?cosα?AB）][=-mgh-μmgOD]. 同理可得当物体沿[DCA]滑动时，合力做功为[W2=-mgh-μmgOD]，即两次合力做功相等，根据动能定理[W合=ΔEk]可得，两次物体动能变化也相等，因此当物体沿[DCA]滑到顶端速度为零时，物体具有的初速度也等于[v0]. 答案为B.
点拨 动摩擦力做功仍按功的计算公式求解，只是在此种条件下动摩擦力做功好像与“路径无关”，而等于[μGs]（[s]为物体的水平位移）.
<F：＼高中生2015＼学法指导＼2015-5-高二0＼Image＼理综图标.tif> [ 动摩擦力做功与“速度有关”]
模型 质量为[m]的木块，与轨道间的动摩擦因数为[μ]，试分别求出木块沿竖直圆轨道外侧滑到A点和沿圆轨道内侧滑到B点时受到的摩擦力大小（设圆轨道半径为R，滑到A点到B点的速度均为[v]，且OA和OB与竖直方向的夹角均为[θ]）.
解析 当木块滑到圆轨道外侧[A]点时，受力分析如图4甲所示，则有[G1-FN1=][mv2R] [FN1=G1-mv2R?Ff1=μ（Gcosθ-mv2R）]
当木块滑到圆轨道内侧[B]点时，受力分析如图4乙所示，则有[FN2-G1=mv2R]
[FN2=G1+mv2R?Ff2=μ（Gcosθ+mv2R）].
甲 乙
图4
结论 物体滑到竖直圆轨道外侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越小;物体滑到竖直圆轨道内侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越大.
例3 如图5所示，A、B是一段粗糙程度相同的凸凹形曲面，且A与B在同一水平面上，已知完全相同的甲、乙两物块，甲以速度[v0]从A滑到B时速度变为[v1]，乙也以速度[v0]从B滑到A时速度变为[v2]，则[v1]与[v2]的关系是（ ）
A. [v1<v2] B. [v1>v2]
C. [v1=v2] D. 无法判定
图5
解析 由于摩擦，在外轨道上滑行时物块甲的速度大于乙速度，其上任一位置物块受到的摩擦力[Ff1=μ（Gcosθ-mv2R）]，即[θ]一定时速度小者摩擦力大，因此在外轨道上运行时乙受的摩擦力大于甲受的摩擦力.
在内轨道上滑行时物块乙的速度大于甲的速度，其上任一位置物块所受的摩擦力[Ff2=μ][（Gcosθ+mv2R）]. 即[θ]一定时速度大者摩擦力大，因此在内轨道上运行时仍是乙受的摩擦力大，所以在全程中乙所受摩擦力均大于甲所受的摩擦力.
无论甲从[A]滑到[B]还是乙从[B]滑到[A]，甲、乙两物块的重力的功均为零，而物块乙从[B]运行到[A]时，克服摩擦力做的功多，所以乙后来的速度[v2]小于甲后来的速度[v1]. 答案为B.
点拨 在圆周运动中的动摩擦力做功之所以与速度有关是因为动摩擦力正比于正压力，而正压力又与向心力有关.
[练习]
1. 如图6所示，水平路面上停着质量为[M]的平板车，质量为[m]的箱子放在平板车上，车启动后小段时间前进距离[S]，箱子在车上滑行距离[L]，车与箱分别获得的速度[v1]、[v2]（[v1>v2）]. 设车的牵引力为[F]，受到的阻力跟对路面压力成正比，比例系数为[k]，重力加速度为[g]，箱子与车平板间摩擦力大小为[f]，则以下关系式成立的有（ ）
图6
A.对[M]：[FS-k（M+m）gS-fL=12Mv21]
B.对[M]：[FS-k（M+m）gS-f（S-L）=12Mv21]
C.对[m]：[fL=12mv22]
D.对[（M+m）]：[F-k（M+m）gS-fL=12Mv21+12mv22]
2. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm. 问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次克服阻功做功相等）.
3. 如图7所示，长[L]=9m的传送带与水平方向的倾角[θ]=370，在电动机的带动下以[v]=4m/s的速率顺时针转动，在传送带的[B]端有一离皮带很近的固定挡板[P]. 在传送带的[A]端无初速放上一质量[m]=1kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数[μ]=0.5，物块与挡板的碰撞时间和能量损失不计（取[g]=10m/s2，sin37°=0.6）. 求：
图7
（1）物块从静止释放到与挡板第一次碰撞后，再次返回上升到最高点的过程中，因摩擦产生的热量;
（2）物块的最终状态及该状态后电动机的输出功率.
[参考答案]
1. D 2. 0.41cm 3. （1）100.8J （2）16W