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摘要：为了方便设计阶段桥梁动力性能的方案比选，避免进行复杂的车桥耦合振动计算，有必要构造一种简化的车辆荷载数学模型，以利用现有动力计算软件进行快速计算。本文首先比较了人桥耦合振动和车桥耦合振动的共同点，分析了被广泛应用的行人荷载确定性数学模型的构成原理；在此基础上，分析了车辆动力荷载的组成部分，构造了车桥耦合分析中车辆荷载的确定性数学模型，并对各个参数的物理意义及取值进行了说明；最后详述了使用该车辆荷载的确定性数学模型，利用Ansys命令流结合APDL语言，计算桥梁在该车辆动荷载作用下的动力响应的方法。该方法基本概念清晰，包含车辆动荷载的主要部分，且计算过程简单，有很大的研究价值和应用前景。
关键词：车桥耦合振动；车辆荷载简化；确定性数学模型；
中图分类号：
1引言
汽车经过公路桥梁时，由于车辆自身的振动与桥梁的振动相互耦合的原因，车辆对桥梁的作用力在位置不断变化的同时，大小也在发生着变化。车辆对桥梁的作用力主要包含车辆的重力作用、车辆振动的惯性力作用和阻尼力作用，这些组成部分中，除重力是不变的以外，惯性力、弹性力和阻尼力都是和车辆的动力响应相关的。因此，一般采用分离迭代法或者模态综合法[1]来考虑车辆和桥梁的耦合振动。但是，这种计算需要编制专门的计算程序，而且目前没有出现受大家普遍认可公路桥梁车桥耦合振动计算软件。
对于设计方案比较阶段，或者已有桥梁动力性能改造时，需要对桥梁的车致振动进行计算以便于不同方案的比选，因此，如果对车辆荷载进行一定的简化，用一定的数学表达式来表示，则可以利用通用结构动力计算软件对公路桥梁的车桥耦合振动进行计算。
2车辆荷载确定性模型的构建
行人与人行桥的相互作用与车桥耦合振动的基本思想相同，人和人行桥、汽车和公路桥之间，均属于文献[2] 中所叙述的“弱”联结体系，即两个联结体之间的振动会相互影响和制约，但两者又不会组成一个整体的振动体系，二者的振动既相互影响又保持各自的独立性。
对设计方案中的人致桥梁动力性能进行评价、或者对已有人行桥动力改造前后的动力性能比较时，均未直接进行人桥耦合振动计算，而广泛采用确定性模型[3]的行人荷载下桥梁的动力响应分析。行人荷载的确定性模型的通用表达式[4]为：
（1）
其中， 是平均行人重力，单位为N； 是地 阶简谐动荷载系数，简称DLF； 是行人的步频，单位Hz； 是第i阶动荷载的初相位值。
以上傅里叶函数的阶数n与计算所要求的精度有关，最简单的取法便是仅取第一项重力项，随着阶次n的升高，上述函数表达式的精度变高。一般认为，行人的竖向荷载考虑到第3阶、纵向荷载考虑到前2阶、横向荷载考虑到前1阶即可[5]。
行人荷载的确定性模型在计算人行桥在行人荷载下的动力响应计算中得到了广泛的应用。而该表达式应用的重点在于选取合理的简谐动荷载系数 和初相位差 ，各国研究者都是通过大量的试验研究总结出的公式。由于选取的样本不同，各研究者的研究成果之间存在着一定的差异性。比较典型的有Young的公式，英国BS5400公式，德国人行桥设计指南EN03公式，Petersen公式等。
车辆对桥梁的荷载作用中，占主要成分的是重力和惯性力部分，重力和惯性力通过轮胎传递至桥面接触点，轮胎的弹簧作用和阻尼作用会改变所传递力的相位，其改变程度与弹簧的刚度系数和阻尼系数有关，而对传递力大小的影响并不显著，在简化过程中暂不考虑。
将上述重力部分和惯性力部分分离，重力部分即移动常量力过桥，而惯性力是与车辆固有频率相关的简谐力的叠加结果。因此，可以仿照行人荷载的确定性模型，构建车辆荷载的确定性模型的通用公式如下：
（2）
其中， 表示第i个车轮对桥梁的荷载作用；i表示第i个轮胎与桥面接触点，如果忽略车辆宽度的影响，i表示第i个车轴，则m表示车轴总数；j表示车辆的第j阶频率，n表示所考虑的谐波总数； 为简谐动荷载系数； 为j阶频率作用在i轴上的振动初相位。
车辆频率阶次n的取值，直接影响上述公式的精度。最简单的形式就是仅考虑重力项，式便简化为移动常量力过桥。根据文献[6]的分析，当常量力经过简支梁的频率为桥梁基频的2倍时，将会发生共振。共振以后，能量不断积累，跨中截面的最大动力效应将出现在外力离开桥梁的时刻，大约比该常量力作用于跨中产生的静挠度大50%。而移动的简谐力过桥过程中，简谐力的频率与桥梁基频接近时，桥梁会发生共振，而共振时跨中挠度的动力放大系数为 。桥梁结构的阻尼比 都较小，所以该动力放大系数远大于常量力的动力放大系数。从这个角度来看，车辆荷载中的简谐力部分对动力响应的作用比常量力部分要大，因此，仅考虑移动常量力部分是不准确的，必须需要考虑车辆振动的前几阶主要频率。
车辆动力学分析中，一般将车体模拟为刚体，因此对桥梁竖向振动影响较大者就是车辆的竖向沉浮振动和前后点头振动两个振动模态。毛清华[7]在进行公路桥梁车桥耦合振动时，通过对STEYR-1491型试验车进行静力和动力测试，得到该车竖向沉浮振动频率约为1.85Hz，前后点头振动的频率约为4.95Hz，这两阶频率对应的振动是车辆振动的主要成分，在后续的车桥耦合振动分析中，主要考虑了这两阶振动的贡献。
因此，式中取n=2，j=1，2，每个接触点的车辆荷载作用共计3项，包括重力项、一阶频率项和二阶频率项，则式变为
（3）
上式的各个参数物理意义明确， 为车辆自重在i接触的分配值，比较容易计算；重点在于如何确定简谐动荷载系数 和初相位差 。借鉴行人荷载确定性模型中相关系数的确定方法， 和 是需要通过试验测试及数据回归分析得到，确定了这两个系数之后，式方程便是一个确定性的周期函数。
3桥梁在车辆荷载下的动力响应分析 分析车辆通过时桥梁的动力响应，首先需要建立合理的桥梁动力模型，该模型必须能够合理模拟桥梁的刚度分布和质量分布。同时结构的初始应力会对结构的刚度产生影响，如梁单元承受外部压应力时横向振动刚度会减小，承受拉力时横向刚度会变大；而索单元的刚度更是直接和拉索的索力有关，因此需要考虑结构初始应力对刚度矩阵的贡献。
本文拟选用Ansys结构分析软件，利用单层折板梁格模型[8]对主梁结构进行模拟，以准确的模拟主梁体系中纵向刚度和横向刚度的分布。Ansys中的几何刚度矩阵[9]可以考虑初应力对结构总体刚度的贡献，因此在进行动力时程分析之前，首先对成桥状态的桥梁进行静力分析，然后开启几何刚度矩阵即可。
移动力作用在纵横梁格体系上，在每一个积分步中，需要首先判断车辆和桥梁的接触点的位置，车辆荷载通过这些接触点传递至桥梁结构。由于单层折板梁格模型在划分纵向梁格时具有一定的自由性，因此可以根据桥梁的车道分布，首先建立一组车桥接触纵梁，对该组纵梁首先编号，由于车桥接触点均在此纵梁上，判断车轮在桥梁上的接触点的搜索范围，便集中在该组纵梁上，可大大减少搜索和判断的工作量，同时便于后期数据处理和分析。
动力时程分析结束后，在后处理模块中提取桥梁主梁的控制点的振幅、速度和加速度值，采用桥梁的行车舒适度指标[10]对桥梁设计方案的行车动力性能进行比选。
以上处理办法采用Ansys的命令流结合APDL语言共同完成。
与车桥耦合振动的分离迭代法[11][12]相比较，上述简化方法省去了车辆和桥梁的相互迭代的计算过程，计算过程明确可控，比较简便易行，问题在于计算精度很大程度上取决于公式中简谐振动项数的选择及每项中相关系数的取值，如果取值离实际差距较大，可能会导致计算结果离实际的差异较大。
对于车桥耦合振动研究来说，要么是仅用移动常量力过桥的模式进行简化计算，要么是编制专门的计算软件进行计算，利用类似于行人荷载的确定性模型几乎没有。但是由于车桥耦合振动和人桥耦合振动的基本作用原理类似，在人行桥的动力计算中，确定性模型应用非常广泛，大量学者对各个参数的取值进行了深入的试验和理论分析研究，为确定性模型的应用奠定了坚实的基础。因此，选取合理参数的确定性车辆荷载数学模型，计算结果会明显比移动常量力模型要高，而计算花费比分离迭代法或是模态综合法要低很多，是值得继续深入研究的方向，未来将会有很大的应用前景。
4移动弹簧-质量体系通过简支梁算例
如图1所示，移动弹簧-质量体系通过跨径L=25m的简支梁桥，其中，主梁弹性模量E=2.87GPa，泊松比为0.2，抗弯惯性矩I=2.90m4，每延米质量 =2303kg/m，车体质量m=5750kg，支承刚度k=1595KN/m，阻尼值c=0，行驶速度v=100km/h，桥梁的基频为 =30.02rad/s，车辆的频率 =16.66rad/s，车辆的桥梁的质量比Mv/mL=0.1。分别采用移动常量力方法、本文方法和和文献[13]的方法三种方法计算简支梁跨中位置的动力响应，本文方法的车辆对桥梁的作用力方程取为 ，图2为简支梁跨中位移比较结果。
图1 单自由度车辆模型过简支梁计算模型图
图2 简支梁跨中位移响应比较图
由图2可以看出，采用本文方法与文献[13]的结果比较接近，而采用移动常量力模型与文献[13]的结果差距较大，本算例未考虑路面不平整度，车辆和桥梁的振动响应均较小，车辆对桥梁的作用力中谐振部分比重较小，在路面不平整度较差的情况下，采用移动常量力方法的误差会更大，而本文方法可调整简谐动载系数即可。
5结论
（1）本文构造了一种确定性车辆荷载数学模型，利用Ansys命令流及APDL语言进行车辆动力时程分析，即可得出方案比选所需要的桥梁的动力响应参数，方便设计阶段对桥梁的车致振动性能进行比选。
（2）该确定性车辆荷载数学模型，考虑了对车桥耦合振动贡献最大的移动常量力和主要阶次的移动简谐力部分，计算精度远高于移动常量力模型，又避免了复杂的耦合振动的迭代计算。
（3）该方法的重点在于借鉴行人确定性模型中主要参数的确定方法，现场试验测试与理论相结合，确定适用于不同桥面路况和不同车型的参数取值。
参考文献
[1]. 王帆. 钢管混凝土拱桥车—桥耦合振动分析[D].哈尔滨工业大学，2011.
[2]. 王光远.建筑结构的振动[M].北京：科学出版社，1978.
[3]. 傅学怡，曲家新，陈贤川，徐娜，黄振宇，史勇超，王美. 时程频谱结合分析方法对展望桥人行舒适度的分析与控制[J]. 土木工程学报，2011，10：73-80.
[4]. 陈阶亮. 行人激励下人行天桥的振动舒适性研究[D].浙江大学，2007.
[5]. 陈政清，华旭刚.人行桥的振动与动力设计[M].北京：人民交通出版社，2009.
[6]. 李国豪等.桥梁结构稳定与振动[M]. 修订版. 北京：中国铁道出版社，1992.
[7]. 毛清华，项海帆. 公路桥梁车辆振动的理论和试验研究[J]. 土木工程学报，1990（2）： 61-68.
[8]. 戴树才. 单层梁格计算方法若干问题研究[D].同济大学，2011.
[9]. 王新敏. ANSYS工程结构数值分析[M].北京：人民交通出版社，2007.
[10]. 武维宏；舒春生；杨志雄；吴亚平；王心顺. 祁家黄河大桥振动控制与舒适度评价[J].公路交通科技， 2009，（02）.
[11]. 张洁. 公路车辆与桥梁耦合振动分析研究[D].西南交通大学，2007.
[12]. 柴小鹏. 公路斜拉桥车桥耦合振动分析[D].哈尔滨工业大学，2011.
[13]. Y. B. Yang， J. D. Yau. Vehicle-bridge interaction element for dynamic analysis[J]. JOURNAL OF STRUCTURAL ENGINEERING-ASCE. 1997，123（11）：1512-1518.
关键词：车桥耦合振动；车辆荷载简化；确定性数学模型；
中图分类号：
1引言
汽车经过公路桥梁时，由于车辆自身的振动与桥梁的振动相互耦合的原因，车辆对桥梁的作用力在位置不断变化的同时，大小也在发生着变化。车辆对桥梁的作用力主要包含车辆的重力作用、车辆振动的惯性力作用和阻尼力作用，这些组成部分中，除重力是不变的以外，惯性力、弹性力和阻尼力都是和车辆的动力响应相关的。因此，一般采用分离迭代法或者模态综合法[1]来考虑车辆和桥梁的耦合振动。但是，这种计算需要编制专门的计算程序，而且目前没有出现受大家普遍认可公路桥梁车桥耦合振动计算软件。
对于设计方案比较阶段，或者已有桥梁动力性能改造时，需要对桥梁的车致振动进行计算以便于不同方案的比选，因此，如果对车辆荷载进行一定的简化，用一定的数学表达式来表示，则可以利用通用结构动力计算软件对公路桥梁的车桥耦合振动进行计算。
2车辆荷载确定性模型的构建
行人与人行桥的相互作用与车桥耦合振动的基本思想相同，人和人行桥、汽车和公路桥之间，均属于文献[2] 中所叙述的“弱”联结体系，即两个联结体之间的振动会相互影响和制约，但两者又不会组成一个整体的振动体系，二者的振动既相互影响又保持各自的独立性。
对设计方案中的人致桥梁动力性能进行评价、或者对已有人行桥动力改造前后的动力性能比较时，均未直接进行人桥耦合振动计算，而广泛采用确定性模型[3]的行人荷载下桥梁的动力响应分析。行人荷载的确定性模型的通用表达式[4]为：
（1）
其中， 是平均行人重力，单位为N； 是地 阶简谐动荷载系数，简称DLF； 是行人的步频，单位Hz； 是第i阶动荷载的初相位值。
以上傅里叶函数的阶数n与计算所要求的精度有关，最简单的取法便是仅取第一项重力项，随着阶次n的升高，上述函数表达式的精度变高。一般认为，行人的竖向荷载考虑到第3阶、纵向荷载考虑到前2阶、横向荷载考虑到前1阶即可[5]。
行人荷载的确定性模型在计算人行桥在行人荷载下的动力响应计算中得到了广泛的应用。而该表达式应用的重点在于选取合理的简谐动荷载系数 和初相位差 ，各国研究者都是通过大量的试验研究总结出的公式。由于选取的样本不同，各研究者的研究成果之间存在着一定的差异性。比较典型的有Young的公式，英国BS5400公式，德国人行桥设计指南EN03公式，Petersen公式等。
车辆对桥梁的荷载作用中，占主要成分的是重力和惯性力部分，重力和惯性力通过轮胎传递至桥面接触点，轮胎的弹簧作用和阻尼作用会改变所传递力的相位，其改变程度与弹簧的刚度系数和阻尼系数有关，而对传递力大小的影响并不显著，在简化过程中暂不考虑。
将上述重力部分和惯性力部分分离，重力部分即移动常量力过桥，而惯性力是与车辆固有频率相关的简谐力的叠加结果。因此，可以仿照行人荷载的确定性模型，构建车辆荷载的确定性模型的通用公式如下：
（2）
其中， 表示第i个车轮对桥梁的荷载作用；i表示第i个轮胎与桥面接触点，如果忽略车辆宽度的影响，i表示第i个车轴，则m表示车轴总数；j表示车辆的第j阶频率，n表示所考虑的谐波总数； 为简谐动荷载系数； 为j阶频率作用在i轴上的振动初相位。
车辆频率阶次n的取值，直接影响上述公式的精度。最简单的形式就是仅考虑重力项，式便简化为移动常量力过桥。根据文献[6]的分析，当常量力经过简支梁的频率为桥梁基频的2倍时，将会发生共振。共振以后，能量不断积累，跨中截面的最大动力效应将出现在外力离开桥梁的时刻，大约比该常量力作用于跨中产生的静挠度大50%。而移动的简谐力过桥过程中，简谐力的频率与桥梁基频接近时，桥梁会发生共振，而共振时跨中挠度的动力放大系数为 。桥梁结构的阻尼比 都较小，所以该动力放大系数远大于常量力的动力放大系数。从这个角度来看，车辆荷载中的简谐力部分对动力响应的作用比常量力部分要大，因此，仅考虑移动常量力部分是不准确的，必须需要考虑车辆振动的前几阶主要频率。
车辆动力学分析中，一般将车体模拟为刚体，因此对桥梁竖向振动影响较大者就是车辆的竖向沉浮振动和前后点头振动两个振动模态。毛清华[7]在进行公路桥梁车桥耦合振动时，通过对STEYR-1491型试验车进行静力和动力测试，得到该车竖向沉浮振动频率约为1.85Hz，前后点头振动的频率约为4.95Hz，这两阶频率对应的振动是车辆振动的主要成分，在后续的车桥耦合振动分析中，主要考虑了这两阶振动的贡献。
因此，式中取n=2，j=1，2，每个接触点的车辆荷载作用共计3项，包括重力项、一阶频率项和二阶频率项，则式变为
（3）
上式的各个参数物理意义明确， 为车辆自重在i接触的分配值，比较容易计算；重点在于如何确定简谐动荷载系数 和初相位差 。借鉴行人荷载确定性模型中相关系数的确定方法， 和 是需要通过试验测试及数据回归分析得到，确定了这两个系数之后，式方程便是一个确定性的周期函数。
3桥梁在车辆荷载下的动力响应分析 分析车辆通过时桥梁的动力响应，首先需要建立合理的桥梁动力模型，该模型必须能够合理模拟桥梁的刚度分布和质量分布。同时结构的初始应力会对结构的刚度产生影响，如梁单元承受外部压应力时横向振动刚度会减小，承受拉力时横向刚度会变大；而索单元的刚度更是直接和拉索的索力有关，因此需要考虑结构初始应力对刚度矩阵的贡献。
本文拟选用Ansys结构分析软件，利用单层折板梁格模型[8]对主梁结构进行模拟，以准确的模拟主梁体系中纵向刚度和横向刚度的分布。Ansys中的几何刚度矩阵[9]可以考虑初应力对结构总体刚度的贡献，因此在进行动力时程分析之前，首先对成桥状态的桥梁进行静力分析，然后开启几何刚度矩阵即可。
移动力作用在纵横梁格体系上，在每一个积分步中，需要首先判断车辆和桥梁的接触点的位置，车辆荷载通过这些接触点传递至桥梁结构。由于单层折板梁格模型在划分纵向梁格时具有一定的自由性，因此可以根据桥梁的车道分布，首先建立一组车桥接触纵梁，对该组纵梁首先编号，由于车桥接触点均在此纵梁上，判断车轮在桥梁上的接触点的搜索范围，便集中在该组纵梁上，可大大减少搜索和判断的工作量，同时便于后期数据处理和分析。
动力时程分析结束后，在后处理模块中提取桥梁主梁的控制点的振幅、速度和加速度值，采用桥梁的行车舒适度指标[10]对桥梁设计方案的行车动力性能进行比选。
以上处理办法采用Ansys的命令流结合APDL语言共同完成。
与车桥耦合振动的分离迭代法[11][12]相比较，上述简化方法省去了车辆和桥梁的相互迭代的计算过程，计算过程明确可控，比较简便易行，问题在于计算精度很大程度上取决于公式中简谐振动项数的选择及每项中相关系数的取值，如果取值离实际差距较大，可能会导致计算结果离实际的差异较大。
对于车桥耦合振动研究来说，要么是仅用移动常量力过桥的模式进行简化计算，要么是编制专门的计算软件进行计算，利用类似于行人荷载的确定性模型几乎没有。但是由于车桥耦合振动和人桥耦合振动的基本作用原理类似，在人行桥的动力计算中，确定性模型应用非常广泛，大量学者对各个参数的取值进行了深入的试验和理论分析研究，为确定性模型的应用奠定了坚实的基础。因此，选取合理参数的确定性车辆荷载数学模型，计算结果会明显比移动常量力模型要高，而计算花费比分离迭代法或是模态综合法要低很多，是值得继续深入研究的方向，未来将会有很大的应用前景。
4移动弹簧-质量体系通过简支梁算例
如图1所示，移动弹簧-质量体系通过跨径L=25m的简支梁桥，其中，主梁弹性模量E=2.87GPa，泊松比为0.2，抗弯惯性矩I=2.90m4，每延米质量 =2303kg/m，车体质量m=5750kg，支承刚度k=1595KN/m，阻尼值c=0，行驶速度v=100km/h，桥梁的基频为 =30.02rad/s，车辆的频率 =16.66rad/s，车辆的桥梁的质量比Mv/mL=0.1。分别采用移动常量力方法、本文方法和和文献[13]的方法三种方法计算简支梁跨中位置的动力响应，本文方法的车辆对桥梁的作用力方程取为 ，图2为简支梁跨中位移比较结果。
图1 单自由度车辆模型过简支梁计算模型图
图2 简支梁跨中位移响应比较图
由图2可以看出，采用本文方法与文献[13]的结果比较接近，而采用移动常量力模型与文献[13]的结果差距较大，本算例未考虑路面不平整度，车辆和桥梁的振动响应均较小，车辆对桥梁的作用力中谐振部分比重较小，在路面不平整度较差的情况下，采用移动常量力方法的误差会更大，而本文方法可调整简谐动载系数即可。
5结论
（1）本文构造了一种确定性车辆荷载数学模型，利用Ansys命令流及APDL语言进行车辆动力时程分析，即可得出方案比选所需要的桥梁的动力响应参数，方便设计阶段对桥梁的车致振动性能进行比选。
（2）该确定性车辆荷载数学模型，考虑了对车桥耦合振动贡献最大的移动常量力和主要阶次的移动简谐力部分，计算精度远高于移动常量力模型，又避免了复杂的耦合振动的迭代计算。
（3）该方法的重点在于借鉴行人确定性模型中主要参数的确定方法，现场试验测试与理论相结合，确定适用于不同桥面路况和不同车型的参数取值。
参考文献
[1]. 王帆. 钢管混凝土拱桥车—桥耦合振动分析[D].哈尔滨工业大学，2011.
[2]. 王光远.建筑结构的振动[M].北京：科学出版社，1978.
[3]. 傅学怡，曲家新，陈贤川，徐娜，黄振宇，史勇超，王美. 时程频谱结合分析方法对展望桥人行舒适度的分析与控制[J]. 土木工程学报，2011，10：73-80.
[4]. 陈阶亮. 行人激励下人行天桥的振动舒适性研究[D].浙江大学，2007.
[5]. 陈政清，华旭刚.人行桥的振动与动力设计[M].北京：人民交通出版社，2009.
[6]. 李国豪等.桥梁结构稳定与振动[M]. 修订版. 北京：中国铁道出版社，1992.
[7]. 毛清华，项海帆. 公路桥梁车辆振动的理论和试验研究[J]. 土木工程学报，1990（2）： 61-68.
[8]. 戴树才. 单层梁格计算方法若干问题研究[D].同济大学，2011.
[9]. 王新敏. ANSYS工程结构数值分析[M].北京：人民交通出版社，2007.
[10]. 武维宏；舒春生；杨志雄；吴亚平；王心顺. 祁家黄河大桥振动控制与舒适度评价[J].公路交通科技， 2009，（02）.
[11]. 张洁. 公路车辆与桥梁耦合振动分析研究[D].西南交通大学，2007.
[12]. 柴小鹏. 公路斜拉桥车桥耦合振动分析[D].哈尔滨工业大学，2011.
[13]. Y. B. Yang， J. D. Yau. Vehicle-bridge interaction element for dynamic analysis[J]. JOURNAL OF STRUCTURAL ENGINEERING-ASCE. 1997，123（11）：1512-1518.