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摘 要：数学模型作为数学学习的核心要素，对于学生的数学能力的发展起着至关重要的作用。学生学习数学知识，一般都是从认数开始的，因此教师要充分关注数学知识的模型建构，使学生经历“现实的问题—直观的模型—数学的模型—现实的问题”的建模过程，不断发展学生的抽象思维。
关键词：数学建模;建模过程;数学思维
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2019）28-0086-02
引 言
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。[1]”数学模型作为数学学习的核心要素，对于学生的数学能力的发展起着至关重要的作用。从广义上理解，数学概念、相关的数学理论、公式、定义、各类算法系统，都是数学模型的范畴;从狭义上理解，描述数学特定问题或特定知识结构的数学系统才能称之为数学模型。在建构认数的数学模型时，我们需要从错综复杂的现实背景中，层层剥丝，不断提炼，抽象出最本质的关系，用数学语言进行表征。如何引导学生在认数时，逐步经历数学模型的建构过程，促进数学思考，发展核心素养呢？笔者结合“分数的初步认识”的课堂教学实例，分享自己的探究收获与思考。
一、经历数学模型的建模过程
小学生对数认识的范畴主要是自然数、小数和分数三种，不管哪种数的认知过程都是三个层次：首先是由现实的问题到直观的模型，其次是直观的模型到数学的模型，最后再由数学的模型到现实的问题，通过这样的“现实的问题—直观的模型—数学的模型—现实的问题”不断循环往复的过程，实现数学知识的模型建构过程，简称之建模过程。
例如，在教学《分数的初步认识》时，教师从现实的问题入手，展开分数模型建构之旅。
师：同学们，这两位动画人物认识吗？生1：喜羊羊和美羊羊。
师：这一天，羊村长给他们2个蛋糕，他们都要吃，怎样分最公平？生2：每人1个蛋糕。
师：为什么把2个蛋糕每人1个呢？生3：每人1个，才分得同样多。
师：分得同样多就是平均分。（教师板书：同样多——平均分）
师：如果只有1个蛋糕，又该怎样分呢？生4：每人半个。
师：半个怎样表示呢？生5：0.5个。生6：二分之一个。
在此基础上，教师让学生用1个圆形纸片来代替1个蛋糕，把圆形纸片分一分，涂色表示出二分之一。学生采用对折的方法，然后涂色。在集体交流时，教师着重引导学生说一说怎么表示的。
师：怎样是对折？为什么要对折？生7：左右两边完全重合在一起，这样就是左右两边一样大，是平均分。
教师展示学生正确的涂法后，再结合学生涂法错的进行分析。
师：为什么有些同学的圆片找不到二分之一。生8：没有平均分成两份。
接着，教师引导学生认识分数的写法和读法。
师：平均分可以用一根横线表示，这个横线在分数中叫作分数线。平均分成2份，2写在分数线的正下方，叫作分母。表示其中的一份，1写在分数线的正上方，叫作分子。这个分数读作二分之一。
在上述案例中，教师从问题引入，由现实的问题直接过渡到直观模型，再用数学图形和符号表征到数学模型，不断发展学生的抽象思维。
二、经历数学模型的应用过程
小学生在建立数的认识的模型时，主要是凭借已有的生活经验和依靠一些直观图形。在学生建立数学的模型后，教师就需要引导学生进行应用，通过解决问题，让学生进一步理解数学新知的意义，细化数学模型的理解，实现数学模型的有效建构。
例如，在教学《分数的初步认识》时，在学生已经认识二分之一，初步建立分数的模型的基础上，教师引导学生应用二分之一来拓展，以进一步加深学生认识。
师：刚才，我们帮喜羊羊和美羊羊表示了一个蛋糕的二分之一。在研究时，我们重点是用一个圆片来表示一个蛋糕。想一想，我们除了表示一个蛋糕的二分之一，还可以表示哪些物体的二分之一？
生1：可以表示一个苹果的二分之一。
生2：一个饼干的二分之一。
生3：一个面包的二分之一。
……
师：不管表示什么物体的二分之一，它们都有相似之处？
生4：都是把这个物体平均分成两份，表示其中的一份。
在学生建立分数二分之一的模型后，教师由当前具体的一个蛋糕，引导学生进行拓展“还可以表示哪些物体的二分之一？”由课堂开始的现实问题“怎样表示半个蛋糕？”到直观模型“一个蛋糕的二分之一”，再到“还可以表示哪些物体的二分之一？”的问题，使学生经历数学模型的初建到应用，不断加深数学认知，不断丰富学习经验，在学习过程中不知不觉地增强学习能力。
三、经历数学模型的内化过程
当学生实现了新知的建模后，教师要引导学生进行归纳总结，促使学生主动反思学习过程和学习方法，实现数学模型的内化，使其在学习类似的知识时，能够主动建构数学模型。
例如，在教学《分数的初步认识》一课中，教师在学生认识二分之一的基础上，逐步引导学生认识三分之一、四分之一、五分之一。在认识每个分数时，都让学生进行比较、辨析，说出自己的思考过程，注重学生的数学语言的表达。
师：你是怎么认识三分之一的？生1：比如，把一个长方形平均分成三份，每份就是这个长方形的三分之一。
师：怎样表示出四分之一？生2：可以把一个圆片平均分成四份，每份就是这个圆的四分之一。
师：可以怎样表示出五分之一？生3：把一根线段平均分成五段，每段就是这根线段的五分之一。
师：刚才大家认识了这么多分数，这些分数都有什么相同的地方？生4：都是把一个物体平均分成很多份，其中的一份就是一个物体的几分之一。
……
数学是模式的学科。分数具有特定的数学模型，在建构模型、应用模型和内化模型时，教师可以引导学生应用数学图形和符号来表示。把一个图形或物体按照特定的份数进行平均分，每份就是特定份数的几分之一。在教学时，教师不断通过变换素材，在丰富学生认知的基础上，重点让学生感悟一个物体的几分之一的内在意义，通过调动学生多感官地参与学习过程，提高学生的学习效率，使学生触及数学知识的本质，获得数学思想和数学方法，掌握核心概念，培养思维的深度。
结 语
综上所述，在数学课堂教学中，教师要充分关注数学知识的模型建构，重在过程，使学生经历从“现实的问题—直观的模型—数学的模型—现实的问题”不断循环往复的建模过程，由形象到抽象，逐步加深理解，进而发展学生数学表征語言，提高学生的数学核心素养。
[参考文献]
中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
作者简介：蒋微微（1986.5—），女，贵州贵阳人，中小学二级教师，贵阳市教坛新秀，贵阳市观山湖区优秀教师，2018年获第四届全国小学数学文化优质课大赛说课二等奖，2019年获第五届全国小学数学文化优质课大赛讲课二等奖。
关键词：数学建模;建模过程;数学思维
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2019）28-0086-02
引 言
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。[1]”数学模型作为数学学习的核心要素，对于学生的数学能力的发展起着至关重要的作用。从广义上理解，数学概念、相关的数学理论、公式、定义、各类算法系统，都是数学模型的范畴;从狭义上理解，描述数学特定问题或特定知识结构的数学系统才能称之为数学模型。在建构认数的数学模型时，我们需要从错综复杂的现实背景中，层层剥丝，不断提炼，抽象出最本质的关系，用数学语言进行表征。如何引导学生在认数时，逐步经历数学模型的建构过程，促进数学思考，发展核心素养呢？笔者结合“分数的初步认识”的课堂教学实例，分享自己的探究收获与思考。
一、经历数学模型的建模过程
小学生对数认识的范畴主要是自然数、小数和分数三种，不管哪种数的认知过程都是三个层次：首先是由现实的问题到直观的模型，其次是直观的模型到数学的模型，最后再由数学的模型到现实的问题，通过这样的“现实的问题—直观的模型—数学的模型—现实的问题”不断循环往复的过程，实现数学知识的模型建构过程，简称之建模过程。
例如，在教学《分数的初步认识》时，教师从现实的问题入手，展开分数模型建构之旅。
师：同学们，这两位动画人物认识吗？生1：喜羊羊和美羊羊。
师：这一天，羊村长给他们2个蛋糕，他们都要吃，怎样分最公平？生2：每人1个蛋糕。
师：为什么把2个蛋糕每人1个呢？生3：每人1个，才分得同样多。
师：分得同样多就是平均分。（教师板书：同样多——平均分）
师：如果只有1个蛋糕，又该怎样分呢？生4：每人半个。
师：半个怎样表示呢？生5：0.5个。生6：二分之一个。
在此基础上，教师让学生用1个圆形纸片来代替1个蛋糕，把圆形纸片分一分，涂色表示出二分之一。学生采用对折的方法，然后涂色。在集体交流时，教师着重引导学生说一说怎么表示的。
师：怎样是对折？为什么要对折？生7：左右两边完全重合在一起，这样就是左右两边一样大，是平均分。
教师展示学生正确的涂法后，再结合学生涂法错的进行分析。
师：为什么有些同学的圆片找不到二分之一。生8：没有平均分成两份。
接着，教师引导学生认识分数的写法和读法。
师：平均分可以用一根横线表示，这个横线在分数中叫作分数线。平均分成2份，2写在分数线的正下方，叫作分母。表示其中的一份，1写在分数线的正上方，叫作分子。这个分数读作二分之一。
在上述案例中，教师从问题引入，由现实的问题直接过渡到直观模型，再用数学图形和符号表征到数学模型，不断发展学生的抽象思维。
二、经历数学模型的应用过程
小学生在建立数的认识的模型时，主要是凭借已有的生活经验和依靠一些直观图形。在学生建立数学的模型后，教师就需要引导学生进行应用，通过解决问题，让学生进一步理解数学新知的意义，细化数学模型的理解，实现数学模型的有效建构。
例如，在教学《分数的初步认识》时，在学生已经认识二分之一，初步建立分数的模型的基础上，教师引导学生应用二分之一来拓展，以进一步加深学生认识。
师：刚才，我们帮喜羊羊和美羊羊表示了一个蛋糕的二分之一。在研究时，我们重点是用一个圆片来表示一个蛋糕。想一想，我们除了表示一个蛋糕的二分之一，还可以表示哪些物体的二分之一？
生1：可以表示一个苹果的二分之一。
生2：一个饼干的二分之一。
生3：一个面包的二分之一。
……
师：不管表示什么物体的二分之一，它们都有相似之处？
生4：都是把这个物体平均分成两份，表示其中的一份。
在学生建立分数二分之一的模型后，教师由当前具体的一个蛋糕，引导学生进行拓展“还可以表示哪些物体的二分之一？”由课堂开始的现实问题“怎样表示半个蛋糕？”到直观模型“一个蛋糕的二分之一”，再到“还可以表示哪些物体的二分之一？”的问题，使学生经历数学模型的初建到应用，不断加深数学认知，不断丰富学习经验，在学习过程中不知不觉地增强学习能力。
三、经历数学模型的内化过程
当学生实现了新知的建模后，教师要引导学生进行归纳总结，促使学生主动反思学习过程和学习方法，实现数学模型的内化，使其在学习类似的知识时，能够主动建构数学模型。
例如，在教学《分数的初步认识》一课中，教师在学生认识二分之一的基础上，逐步引导学生认识三分之一、四分之一、五分之一。在认识每个分数时，都让学生进行比较、辨析，说出自己的思考过程，注重学生的数学语言的表达。
师：你是怎么认识三分之一的？生1：比如，把一个长方形平均分成三份，每份就是这个长方形的三分之一。
师：怎样表示出四分之一？生2：可以把一个圆片平均分成四份，每份就是这个圆的四分之一。
师：可以怎样表示出五分之一？生3：把一根线段平均分成五段，每段就是这根线段的五分之一。
师：刚才大家认识了这么多分数，这些分数都有什么相同的地方？生4：都是把一个物体平均分成很多份，其中的一份就是一个物体的几分之一。
……
数学是模式的学科。分数具有特定的数学模型，在建构模型、应用模型和内化模型时，教师可以引导学生应用数学图形和符号来表示。把一个图形或物体按照特定的份数进行平均分，每份就是特定份数的几分之一。在教学时，教师不断通过变换素材，在丰富学生认知的基础上，重点让学生感悟一个物体的几分之一的内在意义，通过调动学生多感官地参与学习过程，提高学生的学习效率，使学生触及数学知识的本质，获得数学思想和数学方法，掌握核心概念，培养思维的深度。
结 语
综上所述，在数学课堂教学中，教师要充分关注数学知识的模型建构，重在过程，使学生经历从“现实的问题—直观的模型—数学的模型—现实的问题”不断循环往复的建模过程，由形象到抽象，逐步加深理解，进而发展学生数学表征語言，提高学生的数学核心素养。
[参考文献]
中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
作者简介：蒋微微（1986.5—），女，贵州贵阳人，中小学二级教师，贵阳市教坛新秀，贵阳市观山湖区优秀教师，2018年获第四届全国小学数学文化优质课大赛说课二等奖，2019年获第五届全国小学数学文化优质课大赛讲课二等奖。