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同学们在训练填空题时并不是没有切入点，你们的错误结果和正确结果之间用集合的观点看，往往是包含和被包含的关系．通俗的说，不是多了就是少了．尽管老师每次评讲时都会就此类问题反复强调注意点，但同学们似乎颇有“逢遇必错”的架势．为此，笔者认为有必要深究其中原因，寻求解决策略．
1.特殊条件缺乏审视，要手眼并用——把好审题关
问题1：集合M={x||x－1|≤2},P={x|5x+1≥1,x∈Z}，则M∩P=__________.
错解：(－1,3］
正解：{0,1,2,3}
问题1在于对特殊条件x∈Z缺乏审视，此类问题往往会是同学多次发生错误但思想上仍然不加重视的，因为平时的训练经常会出现没有特殊条件x∈Z的相应问题，在考试时“抢时间”的心理加上平时做过的习题进行错误迁移，导致漏看特殊条件，从而把某特定范围内的问题扩大到一个较大范围内，出现解答的扩充化当然不可避免，同学在训练中要形成正确的审题习惯，尤其是看到似曾相识的问题不要兴奋过度，不能凭自己的印象匆忙答题，要沉着、冷静、细心、耐心的理清试卷考题和平时训练题的联系和区别，在此基础上圈画出重要信息和特殊条件．
2.相近概念辨别不清，要改变观念——理清概念点
问题2：若函数y=lg(mx2－4mx+m+13)的值域为［1,+∞)，则m的取值范围是__________.
错解：m∈［0,1］
正解：m=1
问题2是因为mx2－4mx+m+13的值域为［10,+∞)与mx2－4mx+m+13≥10恒成立的概念混淆导致解答多出一部分．在中学数学中，有些概念的含义接近，但本质属性有区别．对这类概念，同学们常常容易混淆．同学往往每天都忙于做题，殊不知没有清晰概念的解题恰似为赶工期建造的“危楼”，随时都有倒塌的可能．同学们必须参与到概念的建构和辨析中来，尤其对相近概念，必须把它们加以比较，避免互相干扰．比较，主要是找出它们的相同点和不同点，这就要对进行比较的两个概念加以分析，看各有哪些本质特点．然后把它们的共同点和不同点分别找出来，既看到进行比较对象的内在联系，又看到它们的区别．
3.直观观察一叶障目，要注重思维——练好观察力
问题3：在△ABC，已知2AB·AC=3|AB|·|AC|=3BC2，则角B的大小为________．
错解：π6
正解：π6或2π3
问题3中同学们在算出角A=π6的基础上，由正弦定理，边化角，建立了角B的三角方程sin(2B－π3)=0，继而立刻观察得B=π6，同学们习惯于用观察来解决一些问题，但在有些问题中往往只能管中窥豹，发现其中的部分解答，发现的是正确的，但并不意味着只要正确的就被发现了，这就是导致失根的原因．数学观察是人们对事物的数学特征（空间形式和数量关系）的一种认识活动，它不仅是数学对象在视觉系统上的感觉，还包含着积极的思维活动，如联想、分析、综合等．但并不是所有的观察都能独立的解决问题，要仔细观察各部分的特征，从整体上把握问题的特征，寻求解决问题的策略，切忌孤立地观察问题，满足于观察得到的局部解答．如问题3中如果先得到2B－π3∈(－π3,4π3)，在此基础上观察得2B－π3的值，就不会出现漏解了．同时在解题中要注重对隐性条件的观察和挖掘，联系概念、定义、性质发现题目内在的发散信息．
4.示意图形自加条件，要渗透思想——用好解题宝
问题4：已知向量,与x轴正半轴所成角为α,β（以x轴正半轴为始边），||=||=4
+=(2,23),则sin(α－β)=__________.
错解：32
正解：±32
在很多问题的解答过程中，同学们会根据题意画出示意图形，本来以形助数的思想是有利于解题的，但问题4中的α,β角并没有指定大小关系，而同学们在作图时却会自己设定角的大小，然后仅凭自己的图形作出解答．这个过程相当于人为添加了题设条件，当然会出现漏解情况．数学中众多的思想方法是我们解题的法宝．华罗庚先生一首诗中说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，以“形”助“数”，虽然形有形象、直观的优点，但解题时首先要把问题牵涉到的各种图形都考虑周全，就不同图形对问题的影响加以斟酌，整个过程要既能凸显形的直观示意功能，又要结合数的理性分析．这样才不会被图形蒙蔽视线，失去部分解答．
5.数式变形破坏等价，要加强运算——守好保障门
问题5： △ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且(a2+b2)sin(A－B)=(a2－b2)sinC，试判断三角形的形状为__________.
错解：直角三角形
正解：直角三角形或等腰三角形
同学们对问题5用正、余弦定理进行了角化边的工作，得到(a2－b2)·a2+b2c=(a2－b2)c，左右同时约去了a2－b2的因子，导致失去了等腰三角形的解，功亏一篑，十分可惜．此处的问题关键在于同学们对一些数式变形的条件缺乏重视，遇到字母型的数式变形也随心所欲，出现问题也就在意料之中了．运算是正确结果的最终保障．同学们除了进行思维训练外，对运算也应引起充分的重视．对相关错误运算不要认为只是粗心所致，倘若轻视计算的威力，后果就非常严重了．要加强数式变形的条件意识，尤其是字母型的数式变形，由于字母的可变性导致有些运算操作不能进行，如上述问题中的等式两边同时约去数式a2－b2．同学们要对在平时训练过程中的运算错误经常进行总结和归纳．做到对易错运算心中有数，有的放矢．
（作者：刘素珍，常州市第一中学)
1.特殊条件缺乏审视，要手眼并用——把好审题关
问题1：集合M={x||x－1|≤2},P={x|5x+1≥1,x∈Z}，则M∩P=__________.
错解：(－1,3］
正解：{0,1,2,3}
问题1在于对特殊条件x∈Z缺乏审视，此类问题往往会是同学多次发生错误但思想上仍然不加重视的，因为平时的训练经常会出现没有特殊条件x∈Z的相应问题，在考试时“抢时间”的心理加上平时做过的习题进行错误迁移，导致漏看特殊条件，从而把某特定范围内的问题扩大到一个较大范围内，出现解答的扩充化当然不可避免，同学在训练中要形成正确的审题习惯，尤其是看到似曾相识的问题不要兴奋过度，不能凭自己的印象匆忙答题，要沉着、冷静、细心、耐心的理清试卷考题和平时训练题的联系和区别，在此基础上圈画出重要信息和特殊条件．
2.相近概念辨别不清，要改变观念——理清概念点
问题2：若函数y=lg(mx2－4mx+m+13)的值域为［1,+∞)，则m的取值范围是__________.
错解：m∈［0,1］
正解：m=1
问题2是因为mx2－4mx+m+13的值域为［10,+∞)与mx2－4mx+m+13≥10恒成立的概念混淆导致解答多出一部分．在中学数学中，有些概念的含义接近，但本质属性有区别．对这类概念，同学们常常容易混淆．同学往往每天都忙于做题，殊不知没有清晰概念的解题恰似为赶工期建造的“危楼”，随时都有倒塌的可能．同学们必须参与到概念的建构和辨析中来，尤其对相近概念，必须把它们加以比较，避免互相干扰．比较，主要是找出它们的相同点和不同点，这就要对进行比较的两个概念加以分析，看各有哪些本质特点．然后把它们的共同点和不同点分别找出来，既看到进行比较对象的内在联系，又看到它们的区别．
3.直观观察一叶障目，要注重思维——练好观察力
问题3：在△ABC，已知2AB·AC=3|AB|·|AC|=3BC2，则角B的大小为________．
错解：π6
正解：π6或2π3
问题3中同学们在算出角A=π6的基础上，由正弦定理，边化角，建立了角B的三角方程sin(2B－π3)=0，继而立刻观察得B=π6，同学们习惯于用观察来解决一些问题，但在有些问题中往往只能管中窥豹，发现其中的部分解答，发现的是正确的，但并不意味着只要正确的就被发现了，这就是导致失根的原因．数学观察是人们对事物的数学特征（空间形式和数量关系）的一种认识活动，它不仅是数学对象在视觉系统上的感觉，还包含着积极的思维活动，如联想、分析、综合等．但并不是所有的观察都能独立的解决问题，要仔细观察各部分的特征，从整体上把握问题的特征，寻求解决问题的策略，切忌孤立地观察问题，满足于观察得到的局部解答．如问题3中如果先得到2B－π3∈(－π3,4π3)，在此基础上观察得2B－π3的值，就不会出现漏解了．同时在解题中要注重对隐性条件的观察和挖掘，联系概念、定义、性质发现题目内在的发散信息．
4.示意图形自加条件，要渗透思想——用好解题宝
问题4：已知向量,与x轴正半轴所成角为α,β（以x轴正半轴为始边），||=||=4
+=(2,23),则sin(α－β)=__________.
错解：32
正解：±32
在很多问题的解答过程中，同学们会根据题意画出示意图形，本来以形助数的思想是有利于解题的，但问题4中的α,β角并没有指定大小关系，而同学们在作图时却会自己设定角的大小，然后仅凭自己的图形作出解答．这个过程相当于人为添加了题设条件，当然会出现漏解情况．数学中众多的思想方法是我们解题的法宝．华罗庚先生一首诗中说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，以“形”助“数”，虽然形有形象、直观的优点，但解题时首先要把问题牵涉到的各种图形都考虑周全，就不同图形对问题的影响加以斟酌，整个过程要既能凸显形的直观示意功能，又要结合数的理性分析．这样才不会被图形蒙蔽视线，失去部分解答．
5.数式变形破坏等价，要加强运算——守好保障门
问题5： △ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且(a2+b2)sin(A－B)=(a2－b2)sinC，试判断三角形的形状为__________.
错解：直角三角形
正解：直角三角形或等腰三角形
同学们对问题5用正、余弦定理进行了角化边的工作，得到(a2－b2)·a2+b2c=(a2－b2)c，左右同时约去了a2－b2的因子，导致失去了等腰三角形的解，功亏一篑，十分可惜．此处的问题关键在于同学们对一些数式变形的条件缺乏重视，遇到字母型的数式变形也随心所欲，出现问题也就在意料之中了．运算是正确结果的最终保障．同学们除了进行思维训练外，对运算也应引起充分的重视．对相关错误运算不要认为只是粗心所致，倘若轻视计算的威力，后果就非常严重了．要加强数式变形的条件意识，尤其是字母型的数式变形，由于字母的可变性导致有些运算操作不能进行，如上述问题中的等式两边同时约去数式a2－b2．同学们要对在平时训练过程中的运算错误经常进行总结和归纳．做到对易错运算心中有数，有的放矢．
（作者：刘素珍，常州市第一中学)