论文部分内容阅读
摘要： 常微分方程理论是数学的一个十分重要的学科，其主要任务是研究解的性态，其中平面系统中心与焦点的判定问题是常微分方程定性理论的重要内容之一.对于高维（包括无穷维）系统，在一定条件下可以通过中心流形定理降维至二维自治系统，因此，平面系统中心与焦点的判定问题是最基本的内容.微分方程定性理论著作，都会不同程度地论过这一问题.针对这一问题进行总结、思考和研究， 对已有概念做一些引伸，对已有结果给出新的认识与证明，提出一些新的结论.这些内容都很难在现有文献中找到.
关键词： Poincaré映射； 中心； 可积性； 首次积分； 周期函数
中图分类号： O 175.12文献标识码： A文章编号： 10005137（2013）06056515
收稿日期： 20131012
基金项目： 国家自然科学基金（11271261）
作者简介： 韩茂安（1961-），男，上海师范大学数理学院教授.1Poincaré映射与中心、焦点概念
考虑二维Ck自治系统dxdt=f（x，y），dydt=g（x，y），（1）其中f，g为Ck光滑函数，k≥1.设原点为（1）的孤立奇点，则f（0，0）=g（0，0）=0.如所周知，如果矩阵 （f，g）（x，y）（0，0）有特征值α±β i，β≠0，则原点为（1）的焦点、中心奇点或中心-焦点.对线性系统来说，焦点与中心都有明确的定义，对非线性系统来说，大多常微分方程书中都没有给出明确的定义.如果矩阵 （f，g）（x，y）（0，0）有零特征值，则原点也有可能是焦点或中心，一般是从几何相图上来理解这些概念，但一般书中也没有给出明确的定义.为了引出一般系统（1）以原点为焦点或中心的定义，先从Poincaré映射入手.
设在原点的某邻域内有一条通过原点的Cr上述讨论表明，为了研究函数P在含零的小区间上的光滑性，不妨把光滑曲线L取在x轴上.事实上，情况还不是这么简单，因为还要对（1）引入坐标变换，把（1）化为较标准的形式，这时候曲线L也会随之而变.不过，这些过程都不会引起实质性的麻烦.
下面对初等奇点的情况讨论Poincaré映射的光滑性，本文最后一节作者将对幂零奇点情况讨论Poincaré映射的光滑性及其解析性质，以及涉及幂零焦点稳定性和幂零中心存在性等问题.
设矩阵（f，g）（x，y）（0，0）的特征值为一对共轭复根α± β i，且β≠0.则经过一个线性变换可把（1）化成下述形式：dxdt=α x+β y+f1（x，y），dydt=-β x+α y+g1（x，y），（5）其中f1与g1为非线性项，且为Ck函数.如果对方程（1）来说，把曲线L取在x轴上，由于直线在线性变换之下的像还是直线，那么对方程（5）来说曲线L就位于过原点的某一直线上，又注意到方程（5）的线性部分在任何旋转变换下是不变的，于是（5）的曲线L就不妨取在x轴上，此时，按照定义1.1系统（5）就有一个Poincaré映射P（a），其几何意义就是（5）从点（a，0）出发的正半轨绕原点一周后与x轴交点的横坐标，其中a≠0.此外，补充定义P（0）=0.当然，这个映射P是存在的，利用平面系统有关经典定理可知，利用下面的方法也能独立地获得这一结论.
用极坐标把（5）化为一个一维周期系统，并利用这个周期系统来研究映射P的存在性和光滑性等.
本节之开始已引入了定义于曲线截线上的Poincaré映射，一般教材上都是取直线截线（特别是在焦点型奇点附近）来讨论焦点的稳定性和阶数.因为直线在非线性变换下之像必是曲线，因此取曲线截线是必要的.焦点的稳定性和阶数跟截线的选取无关，它们在变量变换下也不改变.这些证明详见文献[5]和[6].
2初等焦点的稳定性与后继函数的性质
考虑系统（5）.按照定义1.2，如果存在r0>0使对一切a∈（0，r0）有P（a）-a<0（>0或=0），则称原点为系统（5）的稳定焦点（不稳定焦点或中心），其中P为上节所引入的（5）的Poincaré映射.像这种利用Poincaré映射定义的稳定性称为轨道稳定性.另一方面，已知原点又可视为（5）的零解，则可以讨论它在Lyapunov意义下的稳定性.另外，一维周期方程（8）的零解r=0也有Lyapunov意义下的稳定性问题.
这些稳定性之间的关系如下：
定理 2.1设f1，g1为Ck函数，k≥1，则对Ck系统（5）， 下列几点等价：
（1） 原点为（5）的稳定焦点（依照定义1.2的轨道稳定）；
（2） 原点为系统（5）的焦点且是稳定的（在Lyapunov意义下）；
（3） 原点为系统（5）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）；
（4） 解r=0为一维周期系统（8）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）.
文献[4]与[7]详细证明了这一定理.
由上述定理可知，至少有4种方式来定义焦点的稳定性，且这4种方式是彼此等价的.本文作者用的是定理所列的第一种方式.文献[4]用的是第二种方式.
现在，引入后继函数或位移函数，即d（a）=P（a）-a，于是，如果对充分小的a>0有d（a）<0（>0），这等价于原点就是稳定（不稳定）焦点，则利用轨线的不相交性，可知此时对充分小的-a>0应有d（a）>0（<0）.因此，如果原点是焦点，则对充分小的|a|>0函数ad（a）恒正或恒负，也就是说ad（a）是一个定号函数.详之，如果原点是稳定焦点（不稳定焦点），则函数ad（a）是定正的（定负的）.由此可知，如果d（a）=dmam+o（am）， dm≠0，m≤ k，则下标m必为奇数（即m=2l+1），且原点是稳定的当且仅当dm<0.此时称原点是l阶焦点，并称dm为原点的第l个焦点量. 很多系统都含有一个或多个不定常数，称这些常数为参数，而所考虑系统的焦点稳定性可能会随着参数的改变而发生变化.若设（5）的右端函数依赖于参数δ，则自然地，函数P与d都依赖于该参数，可将它们分别写为P（a，δ）与d（a，δ）.现在要考虑函数d（a，δ）关于变量a的在a=0的幂级数的性质，因此， 需要假设（5）是C∞系统，详之，假设（5）的右端函数关于（x，y）是无穷次连续可微的，而关于参数δ是Cr的，其中r≥1.那么函数d（a，δ） 关于a是C∞的，而关于δ是Cr的.从而可将d（a，δ）在a=0展开成下述幂级数： d（a，δ）=∑j≥1vj（δ）aj，（9） 其中每个vj（δ）关于δ都是Cr的.如果（5）的右端函数在原点邻域内是解析的（即它们可展成在原点邻域内收敛的幂级数），则d（a，δ）必为解析函数，即上述级数在a=0的某邻域内收敛.
有关Hopf分支中极限环个数的研究，可参考著作[5，6，11，15-17]等.
3中心、首次积分与周期函数
本节仍研究系统（5），并假设它是解析的.大数学家Poincaré与Lyapunov都曾研究过解析系统出现初等中心的充要条件，并由后来的数学家给出严格的证明或推广.Poincaré获得的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零.Lyapunov得到的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零，且相应的无穷级数V（x，y） 必收敛到一个解析的首次积分.这里，函数V（x，y）称为某系统的首次积分，如果该函数沿着这一系统的解取常数值.于是，有下列结论.
定理3.1解析系统（5）以原点为中心当且仅当它有形如（15）的解析首次积分.
很多著作中称上述定理为 Lyapunov中心定理.然而，大多书中只是叙述该结论而未给出证明.这里参考[13]中对Poincaré定理的证明（根据[13]， 这个证明实际上是Picard于1928年给出的）来给出一个初等证明.这里给出的证明之主要思路与[13]相同，但仔细比较就可发现有些细节是不同的，特别是需要应用引理2.1.
在上述定理的条件下，积分因子μ理论上是一定存在的，而且满足恒等式（μ X）′x+（μ Y）′y≡0，但在实际问题中一般是难于求出的.可以利用上述恒等式给出（5）具有一些特殊形式的积分因子的充要条件和（5）有只与x有关的积分因子的充要条件.利用上述恒等式还可以给出解析系统（5）为可积系统的必要条件.事实上，如果解析系统（5）为可积系统，则利用上述等式就可以求出μ在原点展开式的诸系数（可设μ（0，0）=1）.
上述定理对非解析系统仍类似成立，由上述证明易见下述结论成立.
推论3.1如果（5）是以原点为中心的Ck系统，且存在于原点邻域内为Ck+1的首次积分V（x，y）=x2+y2+h.o.t.，k≥1，则必存在Ck-1的积分因子μ（x，y），且μ（0，0）≠0，使得（25）成立.
文献[8]利用上述定理还研究了极限环在焦点与中心邻域内的分支问题，这里不再给出.
参考文献：
[1]韩茂安，朱德明.微分方程分支理论[M].北京：煤炭工业出版社，1994.
[2]韩茂安.动力系统的周期解与分支理论[M].北京：科学出版社，2002.
[3]HALE J K，KOCAK H.Dynamics and Bifurcations[M].New York：Springer-Verlag，1991.
[4]赵爱民，李美丽，韩茂安.微分方程基本理论[M].北京：科学出版社，2013.
[5]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles[M].Beijing：Science Press，2013.
[6]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles of Planar Systems[M]∥CANADA A，DRABEK P，FONDA A.Handbook of Differential Equations，Ordinary Differential Equations.Elsevier，2006.
[7]韩茂安，周盛凡，邢业朋，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2011.
[8]HAN M A，ROMANOVSKI V G.Limit cycle bifurcations from a nilpotent focus or enter of planar systems[J].Abstract and Applied Analysis，2012，Article ID 720830：28，doi：10.1155/2012/720830.
[9]BAUTIN N N.On the number of limit cycles which appear with the variation of coefficients from an equilibrium position of focus or center type[J].Transl Amer Math Soc，1954，100：397-413.
[10]CHICONE C.Ordinary Differential Equations with Applications[M].Spinger，1999.
[11]ROMANOVSKI V G， SHAFER D S.The Center and Cyclicity Problems：A Computational Algebra Approach[M].Boston，Basel，Berlin：Birkhuser，2009. [12]张芷芬，丁同仁.微分方程定性理论[M].北京：科学出版社，1985.
[13]桑森，康蒂.非线性微分方程[M].黄启昌，译.北京：科学出版社，1983.
[14]韩茂安.中心与焦点判定定理证明之补充[J].大学数学，2011，27（1）：142-147.
[15]CHOW S N，JACK K H.Methods of Bifurcation Theory[M].New York：Springer-Verlag，1982.
[16]HAN M A，YU P.Normal Form，Melnikov Function and bifurcation of Limit Cycles[M].Springer-Verlag，2012.
[17]LIU Y，LI J，HUANG W.Singular Point Values，Center Problem and Bifurcations of Limit Cycles of Two Dimentional Differential Autonomous Systems （二阶非线性系统的奇点量.中心问题与极限环分叉）[M].Science Press，2008.
[18]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2001.
[19]ANDREEV A F.Investigation of the behavior of the integral curves of a system of two differential equations in the neighbourhood of a singular point[J].Transl Amer Math Soc，1958（8）：183-207.
[20]LIAPUNOV A M.Studies of one special case of the problem of stability of motion[J].Mat Sb，1983，17：253-333.
[21]LIU Y，LI J.New study on the center problem and bifurcations of limit cycles for the Lyapunov system （I）[J].Int J Bifurcation and Chaos，2009，19（11）：3791-3801.
Abstract： The center and focus problem is one of the main topics of the qualitative theory of ordinary differential equations.Systems in higher dimensional spaces can be reduced to systems in the plane with the help of the center manifold theorem.Therefore，it is fundamental to study the center and focus problem for planar systems.One can find the materials in related text books for graduate students of mathematics.In this article，we give a survey and present some further studies on the problem.
Key words： Poincarémap； center； integrability； first integral； period function
（责任编辑：冯珍珍）
关键词： Poincaré映射； 中心； 可积性； 首次积分； 周期函数
中图分类号： O 175.12文献标识码： A文章编号： 10005137（2013）06056515
收稿日期： 20131012
基金项目： 国家自然科学基金（11271261）
作者简介： 韩茂安（1961-），男，上海师范大学数理学院教授.1Poincaré映射与中心、焦点概念
考虑二维Ck自治系统dxdt=f（x，y），dydt=g（x，y），（1）其中f，g为Ck光滑函数，k≥1.设原点为（1）的孤立奇点，则f（0，0）=g（0，0）=0.如所周知，如果矩阵 （f，g）（x，y）（0，0）有特征值α±β i，β≠0，则原点为（1）的焦点、中心奇点或中心-焦点.对线性系统来说，焦点与中心都有明确的定义，对非线性系统来说，大多常微分方程书中都没有给出明确的定义.如果矩阵 （f，g）（x，y）（0，0）有零特征值，则原点也有可能是焦点或中心，一般是从几何相图上来理解这些概念，但一般书中也没有给出明确的定义.为了引出一般系统（1）以原点为焦点或中心的定义，先从Poincaré映射入手.
设在原点的某邻域内有一条通过原点的Cr上述讨论表明，为了研究函数P在含零的小区间上的光滑性，不妨把光滑曲线L取在x轴上.事实上，情况还不是这么简单，因为还要对（1）引入坐标变换，把（1）化为较标准的形式，这时候曲线L也会随之而变.不过，这些过程都不会引起实质性的麻烦.
下面对初等奇点的情况讨论Poincaré映射的光滑性，本文最后一节作者将对幂零奇点情况讨论Poincaré映射的光滑性及其解析性质，以及涉及幂零焦点稳定性和幂零中心存在性等问题.
设矩阵（f，g）（x，y）（0，0）的特征值为一对共轭复根α± β i，且β≠0.则经过一个线性变换可把（1）化成下述形式：dxdt=α x+β y+f1（x，y），dydt=-β x+α y+g1（x，y），（5）其中f1与g1为非线性项，且为Ck函数.如果对方程（1）来说，把曲线L取在x轴上，由于直线在线性变换之下的像还是直线，那么对方程（5）来说曲线L就位于过原点的某一直线上，又注意到方程（5）的线性部分在任何旋转变换下是不变的，于是（5）的曲线L就不妨取在x轴上，此时，按照定义1.1系统（5）就有一个Poincaré映射P（a），其几何意义就是（5）从点（a，0）出发的正半轨绕原点一周后与x轴交点的横坐标，其中a≠0.此外，补充定义P（0）=0.当然，这个映射P是存在的，利用平面系统有关经典定理可知，利用下面的方法也能独立地获得这一结论.
用极坐标把（5）化为一个一维周期系统，并利用这个周期系统来研究映射P的存在性和光滑性等.
本节之开始已引入了定义于曲线截线上的Poincaré映射，一般教材上都是取直线截线（特别是在焦点型奇点附近）来讨论焦点的稳定性和阶数.因为直线在非线性变换下之像必是曲线，因此取曲线截线是必要的.焦点的稳定性和阶数跟截线的选取无关，它们在变量变换下也不改变.这些证明详见文献[5]和[6].
2初等焦点的稳定性与后继函数的性质
考虑系统（5）.按照定义1.2，如果存在r0>0使对一切a∈（0，r0）有P（a）-a<0（>0或=0），则称原点为系统（5）的稳定焦点（不稳定焦点或中心），其中P为上节所引入的（5）的Poincaré映射.像这种利用Poincaré映射定义的稳定性称为轨道稳定性.另一方面，已知原点又可视为（5）的零解，则可以讨论它在Lyapunov意义下的稳定性.另外，一维周期方程（8）的零解r=0也有Lyapunov意义下的稳定性问题.
这些稳定性之间的关系如下：
定理 2.1设f1，g1为Ck函数，k≥1，则对Ck系统（5）， 下列几点等价：
（1） 原点为（5）的稳定焦点（依照定义1.2的轨道稳定）；
（2） 原点为系统（5）的焦点且是稳定的（在Lyapunov意义下）；
（3） 原点为系统（5）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）；
（4） 解r=0为一维周期系统（8）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）.
文献[4]与[7]详细证明了这一定理.
由上述定理可知，至少有4种方式来定义焦点的稳定性，且这4种方式是彼此等价的.本文作者用的是定理所列的第一种方式.文献[4]用的是第二种方式.
现在，引入后继函数或位移函数，即d（a）=P（a）-a，于是，如果对充分小的a>0有d（a）<0（>0），这等价于原点就是稳定（不稳定）焦点，则利用轨线的不相交性，可知此时对充分小的-a>0应有d（a）>0（<0）.因此，如果原点是焦点，则对充分小的|a|>0函数ad（a）恒正或恒负，也就是说ad（a）是一个定号函数.详之，如果原点是稳定焦点（不稳定焦点），则函数ad（a）是定正的（定负的）.由此可知，如果d（a）=dmam+o（am）， dm≠0，m≤ k，则下标m必为奇数（即m=2l+1），且原点是稳定的当且仅当dm<0.此时称原点是l阶焦点，并称dm为原点的第l个焦点量. 很多系统都含有一个或多个不定常数，称这些常数为参数，而所考虑系统的焦点稳定性可能会随着参数的改变而发生变化.若设（5）的右端函数依赖于参数δ，则自然地，函数P与d都依赖于该参数，可将它们分别写为P（a，δ）与d（a，δ）.现在要考虑函数d（a，δ）关于变量a的在a=0的幂级数的性质，因此， 需要假设（5）是C∞系统，详之，假设（5）的右端函数关于（x，y）是无穷次连续可微的，而关于参数δ是Cr的，其中r≥1.那么函数d（a，δ） 关于a是C∞的，而关于δ是Cr的.从而可将d（a，δ）在a=0展开成下述幂级数： d（a，δ）=∑j≥1vj（δ）aj，（9） 其中每个vj（δ）关于δ都是Cr的.如果（5）的右端函数在原点邻域内是解析的（即它们可展成在原点邻域内收敛的幂级数），则d（a，δ）必为解析函数，即上述级数在a=0的某邻域内收敛.
有关Hopf分支中极限环个数的研究，可参考著作[5，6，11，15-17]等.
3中心、首次积分与周期函数
本节仍研究系统（5），并假设它是解析的.大数学家Poincaré与Lyapunov都曾研究过解析系统出现初等中心的充要条件，并由后来的数学家给出严格的证明或推广.Poincaré获得的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零.Lyapunov得到的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零，且相应的无穷级数V（x，y） 必收敛到一个解析的首次积分.这里，函数V（x，y）称为某系统的首次积分，如果该函数沿着这一系统的解取常数值.于是，有下列结论.
定理3.1解析系统（5）以原点为中心当且仅当它有形如（15）的解析首次积分.
很多著作中称上述定理为 Lyapunov中心定理.然而，大多书中只是叙述该结论而未给出证明.这里参考[13]中对Poincaré定理的证明（根据[13]， 这个证明实际上是Picard于1928年给出的）来给出一个初等证明.这里给出的证明之主要思路与[13]相同，但仔细比较就可发现有些细节是不同的，特别是需要应用引理2.1.
在上述定理的条件下，积分因子μ理论上是一定存在的，而且满足恒等式（μ X）′x+（μ Y）′y≡0，但在实际问题中一般是难于求出的.可以利用上述恒等式给出（5）具有一些特殊形式的积分因子的充要条件和（5）有只与x有关的积分因子的充要条件.利用上述恒等式还可以给出解析系统（5）为可积系统的必要条件.事实上，如果解析系统（5）为可积系统，则利用上述等式就可以求出μ在原点展开式的诸系数（可设μ（0，0）=1）.
上述定理对非解析系统仍类似成立，由上述证明易见下述结论成立.
推论3.1如果（5）是以原点为中心的Ck系统，且存在于原点邻域内为Ck+1的首次积分V（x，y）=x2+y2+h.o.t.，k≥1，则必存在Ck-1的积分因子μ（x，y），且μ（0，0）≠0，使得（25）成立.
文献[8]利用上述定理还研究了极限环在焦点与中心邻域内的分支问题，这里不再给出.
参考文献：
[1]韩茂安，朱德明.微分方程分支理论[M].北京：煤炭工业出版社，1994.
[2]韩茂安.动力系统的周期解与分支理论[M].北京：科学出版社，2002.
[3]HALE J K，KOCAK H.Dynamics and Bifurcations[M].New York：Springer-Verlag，1991.
[4]赵爱民，李美丽，韩茂安.微分方程基本理论[M].北京：科学出版社，2013.
[5]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles[M].Beijing：Science Press，2013.
[6]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles of Planar Systems[M]∥CANADA A，DRABEK P，FONDA A.Handbook of Differential Equations，Ordinary Differential Equations.Elsevier，2006.
[7]韩茂安，周盛凡，邢业朋，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2011.
[8]HAN M A，ROMANOVSKI V G.Limit cycle bifurcations from a nilpotent focus or enter of planar systems[J].Abstract and Applied Analysis，2012，Article ID 720830：28，doi：10.1155/2012/720830.
[9]BAUTIN N N.On the number of limit cycles which appear with the variation of coefficients from an equilibrium position of focus or center type[J].Transl Amer Math Soc，1954，100：397-413.
[10]CHICONE C.Ordinary Differential Equations with Applications[M].Spinger，1999.
[11]ROMANOVSKI V G， SHAFER D S.The Center and Cyclicity Problems：A Computational Algebra Approach[M].Boston，Basel，Berlin：Birkhuser，2009. [12]张芷芬，丁同仁.微分方程定性理论[M].北京：科学出版社，1985.
[13]桑森，康蒂.非线性微分方程[M].黄启昌，译.北京：科学出版社，1983.
[14]韩茂安.中心与焦点判定定理证明之补充[J].大学数学，2011，27（1）：142-147.
[15]CHOW S N，JACK K H.Methods of Bifurcation Theory[M].New York：Springer-Verlag，1982.
[16]HAN M A，YU P.Normal Form，Melnikov Function and bifurcation of Limit Cycles[M].Springer-Verlag，2012.
[17]LIU Y，LI J，HUANG W.Singular Point Values，Center Problem and Bifurcations of Limit Cycles of Two Dimentional Differential Autonomous Systems （二阶非线性系统的奇点量.中心问题与极限环分叉）[M].Science Press，2008.
[18]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2001.
[19]ANDREEV A F.Investigation of the behavior of the integral curves of a system of two differential equations in the neighbourhood of a singular point[J].Transl Amer Math Soc，1958（8）：183-207.
[20]LIAPUNOV A M.Studies of one special case of the problem of stability of motion[J].Mat Sb，1983，17：253-333.
[21]LIU Y，LI J.New study on the center problem and bifurcations of limit cycles for the Lyapunov system （I）[J].Int J Bifurcation and Chaos，2009，19（11）：3791-3801.
Abstract： The center and focus problem is one of the main topics of the qualitative theory of ordinary differential equations.Systems in higher dimensional spaces can be reduced to systems in the plane with the help of the center manifold theorem.Therefore，it is fundamental to study the center and focus problem for planar systems.One can find the materials in related text books for graduate students of mathematics.In this article，we give a survey and present some further studies on the problem.
Key words： Poincarémap； center； integrability； first integral； period function
（责任编辑：冯珍珍）