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摘要：在大学物理教学中加强高等数学知识与物理知识的融合是非常必要的。教学中，一方面教师可结合具体物理情境，实现数学符号从抽象化到具体化的转变;另一方面教师可将物理概念和规律抽象化，帮助学生完成形象思维到抽象思维的进阶。
关键词：高等数学;大学物理;教学效果
高等数学知识是大学物理学习的重要基础和工具，尽管高等数学课程开设在大学物理课程之前，然而在实际教学中发现，很多同学都不能很好地将高等数学知识运用到物理知识的学习中，似乎在这两个之间存在一堵无形的墙，直接影响着大学物理教学的效果。所以，如何加强高等数学知识与物理知识的融合，提高大学物理教学效果是一个值得探讨的问题。本文首先阐述高等數学知识与物理知识融合的必要性，然后阐述了两者有效融合的方法，以期对同仁提供借鉴。
一、加强高等数学知识与物理知识融合的必要性
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学[1]。物理学是研究物质运动最一般的规律和物质的基本结构的科学[2]。尽管它们为不同的学科，各自有其自身严密的理论体系，但是数学却是物理学基本概念和规律的表达形式，也是进行逻辑推演和定量计算的工具。物理学的发展离不开数学的支持。正如马克思所指出的：“一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步[3]。”
与中学物理相比，引入高等数学知识后的大学物理的基本概念、基本规律得到进一步加深和拓宽，更加规范、准确和一般化。所以，加强高等数学知识与大学物理知识的融合，有利于学生更好地理解大学物理概念和规律，提高大学物理学习效果。
二、高等数学知识与大学物理知识融合的途径
高等数学知识与大学物理知识的融合体现为两个层面：第一就是结合具体情境，赋予数学符号物理意义，使其生动起来;第二就是运用数学符号更简洁、更广泛地去表达物理的基本概念和规律。
（一）将数学符号情境化，实现数学符号从抽象化到具体化的转变
1、对△、d符号的讨论
△、d符号在数学中有特定的含义，但却是抽象的，当这些符号出现在大学物理的基本概念、规律中时，很多同学不能进行很好的迁移，导致无法准确地理解这些物理概念和规律。所以在大学物理教学中，教师要注重将这些抽象的数学符号直观化，情景化，帮助学生深刻理解物理概念及规律。比如热力学第一定律的数学表达式很多教材表示为：△U=Q+W（1），其中W表示外界对系统所做的功，Q表示系统从外界吸收的热量，那△U该如何理解了？此时教师可以请同学们回忆高等数学中有关△符号的含义，即Δ代表的运算法则是“进行一个量的变化或者是它的增量计算”[4]，在物理学中，一般定义为某个物理量的后来时刻的值减去之前时刻的值。如果用U1表示系统初态的内能，U2表示系统末态的内能，则△U=U2-U1代表的是，热力学系统从初态变化到末态的过程中内能的增量或变化量。如果△U>0，则系统在该过程中内能增加，反之，减小;由此可以得到（1）式的物理意义即热力学系统从初态变化到末态的过程中，其内能的增量等于系统从外界吸收的热量和外界对系统所做的功。对于无限小的过程，（1）式可表示为dU=dQ+dW（2）。为什么对于无限小的过程，△U就写成了dU呢？这就涉及到d 符号的含义。在高等数学中d的含义是指：微分算子。在物理中通常代表一个物理量的微小变化或者是它的微小增量。所以dU代表的是系统经历一个无限小过程后内能的一个变化量，这个内能变化量是微小的，具体是多少了？没有确切的值，仅代表一个理论上的一个微小量。这里（2）式中dQ、dW分别表示系统经历一个无限小过程后，从外界吸收的热量以及外界对系统所做的功，这里的热量和功都代表一个微小量，也是一个理论上的意义，不代表具体的数值。那Δ和d这两个运算符有什么联系？以（1）和（2）式来说。△U代表热力学系统从初态变化到末态的过程中内能的增量或变化量。针对该过程，从数学的极限思想来说，可以把△U这个变化量进一步细分成无限多个dU。每一个dU都是极小的一份。反过来说，无限多个dU组成了△U，即对这些dU的求和就是△U。同理dQ、dW也可以这样理解，相当于从初态到终态的过程可以被分成无限个微小过程。
2、对符号的讨论
大学物理中还经常用到符号。比如运用麦克斯韦速率分布函数来求解理想气体分子的平均速率时采用的是如下这个公式：（1）。学生们很难理解。教师可先请同学们回忆符号的数学含义即求和，当作用到某个物理量上时，则代表对该物理量的各个取值进行累加。就单个气体分子而言，每个分子的速率是不同的，假设现在有N个气体分子，其中分子速率为V1的分子数是n1，分子速率为V2的分子数是n2，分子速率为V3的分子数是n3，分子速率为Vi的分子数是ni，则分子平均速率可以这样求解：（2）当N∞时，（2）式就可写成：=（3）。其中（3）式中的Pi代表分子速率取Vi的概率。当分子速率取连续值时，其概率也取连续值，（3）式就写成（4）。（1）式中的f（v）dv是麦克斯韦速率分布函数，相当于（4）式中P函数。将f（v）dv代入（4）即可得到（1）。在这个过程中，学生不仅理解了（1）式的物理意义，同时也明白了、符号的区别与联系，即对某个物理量离散的取值进行求和时可使用。当该物理量取值是连续时，所需要累加的项就会趋于无穷多，则就需要积分符号来求和。
（二）将物理概念和规律抽象化，引导学生完成形象思维到抽象思维的进阶
1、△、d符号的抽象
与中学物理相比，大学物理中很多概念和规律都使用高等数学来表达，其抽象层次更高。在大学物理教学中教师要善于引导学生提高逻辑思维的层次，提升学生思维能力。比如大学物理教材中平均速度的定义为：位移与发生这个位移所用时间的比值，称为物体在这段时间内的平均速度。其数学表达式该怎么写呢？教师可这样引导：假设一个质点在t1时刻的位矢为，在t2时刻的位矢为，根据△符号的含义（即进行一个量的变化或者它的增量计算），则代表这段时间的间隔，代表对应这段时间内质点所发生的位移，则质点在这段时间内的平均速度可表达为：（1）。平均速度反映的是质点在某一段时间内的运动快慢。如果要反映质点某个瞬间的快慢，该怎么办？是不是应该缩短时间间隔△t，让t2接近t1。当t2无限接近t1时，△t就趋于0，此时可以使用dt来表示无限小的一个时间间隔，而质点位矢增量就可以用来表示无限小的一个位矢变化量。则可得：
（2）由此得到瞬时速度的数学表达式：（3）。若已知质点位矢随时间变化的函数关系，则借助（3）式可求出质点瞬时速度随时间的变化规律。诸如此类的物理概念还有很多，比如：等。由此可实现学生抽象思维层次的提升。
2、符号的抽象
物理学在处理实际问题时，有无限分割然后再积分的逻辑思维方法，这就需要运用、符号来进行抽象表达。比如求解一个体积为V，电荷连续分布的均匀带电体在空间P点的电场强度时，首先请同学们回忆电场强度的叠加原理：点电荷系所激发的电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独存在时对该点所激起的电场强度的矢量和。根据数学中符号的含义，可将电场强度叠加原理表述为：（1）然后引导学生，将这个均匀带电体分成很多很多无限小的电荷元dq，每个电荷元都可以作为一个点电荷对待，则该电荷元在P点的电场强度是：（2），式中为由dq直线点P的单位矢量。根据（1）式，n个电荷元dq在点P的电场强度为 （3）。由于带电体的电荷量分布是连续的，所以（3）式的求和就变成了积分，即 。通过这个过程，学生不仅理解了求和与积分之间的差异，而且感受到了无限细分再求和的物理思维方法，提高了学生抽象思维水平。
高等数学知识与物理知识的有效融合能帮助学生深入理解物理概念和规律，提升学生抽象思维水平，促进大学物理教学效果的提高。
参考文献
[1][2][3] 朱玉华等. 高等数学和大学物理课程的认知学习过程比较[J]. 北京航空航天大学学报（社会科学版）， 2001年12月第14卷第4期61页。
[4] 郭纪源. 大学物理学习中微积分教学策略研究与应用[J]. 邵阳学院学报（ 自然科学版） ，2020第12月68页。
（成都师范学院 物理与工程技术学院 610041）
关键词：高等数学;大学物理;教学效果
高等数学知识是大学物理学习的重要基础和工具，尽管高等数学课程开设在大学物理课程之前，然而在实际教学中发现，很多同学都不能很好地将高等数学知识运用到物理知识的学习中，似乎在这两个之间存在一堵无形的墙，直接影响着大学物理教学的效果。所以，如何加强高等数学知识与物理知识的融合，提高大学物理教学效果是一个值得探讨的问题。本文首先阐述高等數学知识与物理知识融合的必要性，然后阐述了两者有效融合的方法，以期对同仁提供借鉴。
一、加强高等数学知识与物理知识融合的必要性
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学[1]。物理学是研究物质运动最一般的规律和物质的基本结构的科学[2]。尽管它们为不同的学科，各自有其自身严密的理论体系，但是数学却是物理学基本概念和规律的表达形式，也是进行逻辑推演和定量计算的工具。物理学的发展离不开数学的支持。正如马克思所指出的：“一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步[3]。”
与中学物理相比，引入高等数学知识后的大学物理的基本概念、基本规律得到进一步加深和拓宽，更加规范、准确和一般化。所以，加强高等数学知识与大学物理知识的融合，有利于学生更好地理解大学物理概念和规律，提高大学物理学习效果。
二、高等数学知识与大学物理知识融合的途径
高等数学知识与大学物理知识的融合体现为两个层面：第一就是结合具体情境，赋予数学符号物理意义，使其生动起来;第二就是运用数学符号更简洁、更广泛地去表达物理的基本概念和规律。
（一）将数学符号情境化，实现数学符号从抽象化到具体化的转变
1、对△、d符号的讨论
△、d符号在数学中有特定的含义，但却是抽象的，当这些符号出现在大学物理的基本概念、规律中时，很多同学不能进行很好的迁移，导致无法准确地理解这些物理概念和规律。所以在大学物理教学中，教师要注重将这些抽象的数学符号直观化，情景化，帮助学生深刻理解物理概念及规律。比如热力学第一定律的数学表达式很多教材表示为：△U=Q+W（1），其中W表示外界对系统所做的功，Q表示系统从外界吸收的热量，那△U该如何理解了？此时教师可以请同学们回忆高等数学中有关△符号的含义，即Δ代表的运算法则是“进行一个量的变化或者是它的增量计算”[4]，在物理学中，一般定义为某个物理量的后来时刻的值减去之前时刻的值。如果用U1表示系统初态的内能，U2表示系统末态的内能，则△U=U2-U1代表的是，热力学系统从初态变化到末态的过程中内能的增量或变化量。如果△U>0，则系统在该过程中内能增加，反之，减小;由此可以得到（1）式的物理意义即热力学系统从初态变化到末态的过程中，其内能的增量等于系统从外界吸收的热量和外界对系统所做的功。对于无限小的过程，（1）式可表示为dU=dQ+dW（2）。为什么对于无限小的过程，△U就写成了dU呢？这就涉及到d 符号的含义。在高等数学中d的含义是指：微分算子。在物理中通常代表一个物理量的微小变化或者是它的微小增量。所以dU代表的是系统经历一个无限小过程后内能的一个变化量，这个内能变化量是微小的，具体是多少了？没有确切的值，仅代表一个理论上的一个微小量。这里（2）式中dQ、dW分别表示系统经历一个无限小过程后，从外界吸收的热量以及外界对系统所做的功，这里的热量和功都代表一个微小量，也是一个理论上的意义，不代表具体的数值。那Δ和d这两个运算符有什么联系？以（1）和（2）式来说。△U代表热力学系统从初态变化到末态的过程中内能的增量或变化量。针对该过程，从数学的极限思想来说，可以把△U这个变化量进一步细分成无限多个dU。每一个dU都是极小的一份。反过来说，无限多个dU组成了△U，即对这些dU的求和就是△U。同理dQ、dW也可以这样理解，相当于从初态到终态的过程可以被分成无限个微小过程。
2、对符号的讨论
大学物理中还经常用到符号。比如运用麦克斯韦速率分布函数来求解理想气体分子的平均速率时采用的是如下这个公式：（1）。学生们很难理解。教师可先请同学们回忆符号的数学含义即求和，当作用到某个物理量上时，则代表对该物理量的各个取值进行累加。就单个气体分子而言，每个分子的速率是不同的，假设现在有N个气体分子，其中分子速率为V1的分子数是n1，分子速率为V2的分子数是n2，分子速率为V3的分子数是n3，分子速率为Vi的分子数是ni，则分子平均速率可以这样求解：（2）当N∞时，（2）式就可写成：=（3）。其中（3）式中的Pi代表分子速率取Vi的概率。当分子速率取连续值时，其概率也取连续值，（3）式就写成（4）。（1）式中的f（v）dv是麦克斯韦速率分布函数，相当于（4）式中P函数。将f（v）dv代入（4）即可得到（1）。在这个过程中，学生不仅理解了（1）式的物理意义，同时也明白了、符号的区别与联系，即对某个物理量离散的取值进行求和时可使用。当该物理量取值是连续时，所需要累加的项就会趋于无穷多，则就需要积分符号来求和。
（二）将物理概念和规律抽象化，引导学生完成形象思维到抽象思维的进阶
1、△、d符号的抽象
与中学物理相比，大学物理中很多概念和规律都使用高等数学来表达，其抽象层次更高。在大学物理教学中教师要善于引导学生提高逻辑思维的层次，提升学生思维能力。比如大学物理教材中平均速度的定义为：位移与发生这个位移所用时间的比值，称为物体在这段时间内的平均速度。其数学表达式该怎么写呢？教师可这样引导：假设一个质点在t1时刻的位矢为，在t2时刻的位矢为，根据△符号的含义（即进行一个量的变化或者它的增量计算），则代表这段时间的间隔，代表对应这段时间内质点所发生的位移，则质点在这段时间内的平均速度可表达为：（1）。平均速度反映的是质点在某一段时间内的运动快慢。如果要反映质点某个瞬间的快慢，该怎么办？是不是应该缩短时间间隔△t，让t2接近t1。当t2无限接近t1时，△t就趋于0，此时可以使用dt来表示无限小的一个时间间隔，而质点位矢增量就可以用来表示无限小的一个位矢变化量。则可得：
（2）由此得到瞬时速度的数学表达式：（3）。若已知质点位矢随时间变化的函数关系，则借助（3）式可求出质点瞬时速度随时间的变化规律。诸如此类的物理概念还有很多，比如：等。由此可实现学生抽象思维层次的提升。
2、符号的抽象
物理学在处理实际问题时，有无限分割然后再积分的逻辑思维方法，这就需要运用、符号来进行抽象表达。比如求解一个体积为V，电荷连续分布的均匀带电体在空间P点的电场强度时，首先请同学们回忆电场强度的叠加原理：点电荷系所激发的电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独存在时对该点所激起的电场强度的矢量和。根据数学中符号的含义，可将电场强度叠加原理表述为：（1）然后引导学生，将这个均匀带电体分成很多很多无限小的电荷元dq，每个电荷元都可以作为一个点电荷对待，则该电荷元在P点的电场强度是：（2），式中为由dq直线点P的单位矢量。根据（1）式，n个电荷元dq在点P的电场强度为 （3）。由于带电体的电荷量分布是连续的，所以（3）式的求和就变成了积分，即 。通过这个过程，学生不仅理解了求和与积分之间的差异，而且感受到了无限细分再求和的物理思维方法，提高了学生抽象思维水平。
高等数学知识与物理知识的有效融合能帮助学生深入理解物理概念和规律，提升学生抽象思维水平，促进大学物理教学效果的提高。
参考文献
[1][2][3] 朱玉华等. 高等数学和大学物理课程的认知学习过程比较[J]. 北京航空航天大学学报（社会科学版）， 2001年12月第14卷第4期61页。
[4] 郭纪源. 大学物理学习中微积分教学策略研究与应用[J]. 邵阳学院学报（ 自然科学版） ，2020第12月68页。
（成都师范学院 物理与工程技术学院 610041）