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一、难点——在试教中发现
赛课教学“解决问题的策略——还原”之前，我作了些备课思考。
例1：两杯果汁共400毫升，从甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯果汁同样多，原来两杯果汁各有多少毫升？
例2：小明原有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张后，还剩52张。小明原有多少张邮票？
练一练：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张，小军原来有多少张画片？
开始我认为这节课主要是让学生学会如何倒推，于是在读题后直接呈现数学模型，让学生去感悟倒推的策略。
经过进一步学习，我发现解决问题的策略要经历解题的全过程，不应只教给学生基本技能和提供过分简单化的问题；相反，应鼓励学生面对复杂的学习环境，其中包含“含糊的”和不良结构的问题。本着这样的思想再次研读教材，我认为，例1可以借助有效整理条件——列表来进行还原思考；例2可以借助有效整理条件——摘录进行还原思考；“练一练”可以借助有效整理条件——画线段图进行还原思考。于是例1展示列表过程，学生填表，因为列表比较难；例2和“练一练”的整理条件采用放手的方法。试教时，例2和“练一练”，学生总是不能进行有效的整理条件，引导矫正时间比较长，导致拖堂。
怎样才不拖堂？我想：（1）指明方向，如“你能用摘录条件的方法整理题意吗”“你能用画线段图的方法整理题意吗”。（2）选择方向，如“以前我们学过整理题意的方法有列表、摘录、画线段图等，这题你认为选择哪种比较合适”。（3）让学生预习本课，课本上有整理的方法，这样上课就不会卡住了。但想法（3）有作弊的嫌疑，况且赛课前不允许和学生见面，被否定；想法（1）和（2）在后来的试教中学生还是不能有效的整理条件，花费了很多时间，结果还是拖堂。这时我意识到这是教学的难点，虽然整理题意是四年级学习过的解决问题策略。
于是，我和同事讨论，整理题意本不是这节课的教学重点，要不要花这么大力气？同事有的说：“要！因为条件整理有效时，后面的列式自然就有了。”有的说：“没必要！”显然，本节课的重点是还原的策略，目标分解开来是感受还原的优越性、明了还原的条件、学会如何还原及其还原思想的深入领会。如果要使学生熟练整理题意，不是这一节课所能解决的问题，需要教师长期的训练。
二、突破——在设计中落实
难点不能回避，如何突破呢？
策略（一）：先声夺人，难点提前突破
难点也需要调动学生的经验去化解、去分解，在例题前出示整理条件的数学原形，让学生在完成中进行感悟，学会迁移。
如：
通过试教，发现用多种方式表征教学内容集中铺垫，优于分散铺垫。这样让学生自己选择、比较，哪怕是失败，也能感悟到策略的多样性，及具体情境下策略的优劣。认知策略是对内调控的技能，只能在认知者的内部滋生，所以认知策略教学的一个难点是教师如何通过具体实例向学生示范策略的应用。如果学生对复杂的教学内容只能获得一种模型、一种类比或一种理解方式，那么当他们运用这种单一的表征方式于不同的情境时，他们常常会遇到困难。
策略（二）：后发制人，难点后置
难点放在课堂的后面，当教学重点被学生感悟、内化了，难点自然就得到了解决，或容易得到解决。
策略性知识学习的最高水平是学习者不仅能在训练过的情境中应用某种学习过程的策略，而且能把习得的策略迁移到未训练的情境中。因此课堂总结时，让学生反思所学习的策略是什么，它所适用的范围以及怎样和什么时候应用，可以解决这4个问题。显然，认知策略的训练必须与反省认知相结合。像例1，用列表来表示变化过程很清晰，然后从结果出发一步一步推回去；像例2那样用算式能够把变化过程表达得很清晰，用算式，像列方程一样；像例3那样拿走几分之几又多少的，用线段图比较清晰、有效。
三、深入——在原点处追问
1.怎样确定教学难点？
（1）角色换位。过去主要将难度聚焦于“教”字上，即教师如何突破讲解难点以便学生听懂。现在则要首先关注“学”的难度，即从为学生自主突破难点的角度来创设教学情境，设计教学流程。由于师生数学认知结构的差异，备课时，我们要站在学生的角度去研究教材，就会比较准确地发现教学难点。
（2）寻找重建处。从发生认识论的角度看，教学难点来源于认知冲突。在学习新的数学知识的过程中，学生需要把新知识纳入原有的知觉理解和思考方式中，使之融会贯通，这就是同化的过程。当不能用原有知觉理解和思考方式来同化新的知识时，便要对其加以修改或重建以适应新知识的需要，这就是顺应的过程。在顺应的过程中往往会遇到各种障碍和困惑，这时就会形成教学难点。例2的有效整理，学生可以同化得到；而“练一练”的整理很容易出错，如，这里25是剩下的，不是拿走的，这种整理需要画线段图重建，使知识得到内化。
2.怎样产生教学难点？
有效的整理条件四年级已学过，为什么学生还感到困难？结合我的观察，大概是教师把解决问题的策略当成了传统应用题来教学，呈现形式比较单一，答案确定，只见解题，不见策略，剥夺了学生从纷乱的实际问题中获取有用信息从而抽象成数学问题的机会，不利于他们把所学的数学知识应用到实际生活中去；教学方法以模仿为主，“一例一类型，照葫芦画瓢”，过多安排模仿性练习，思路训练模式化，很大程度上影响了学生创新意识的培养和发展。
而解决问题是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决实际问题和源于数学内部的问题，并非练习题式的问题。除了教学策略的章节外，我们在日常的教学中也应该强化一种策略意识，抓住教学中的细微之处，有意识地引导学生逐步体会这些方法的实用性以及创造出的价值，培养良好的使用策略的能力。解决问题的策略，要结合解题活动，既利用策略解决问题，又通过解决问题体验策略。
3.怎样突破难点？
（1）帮助学生寻找“固着点”。要想突破难点，首先需要努力寻找学生认知结构中某个与教学难点最接近的知识或经验作为“固着点”。由于数学内容是按一定的逻辑顺序展开的，因此，总可找到合适的“固着点”作为学生学习的支撑，以有效地实现顺应或同化。
（2）引导学生在反思中感悟。有些教师为了突破教学难点，常常煞费苦心，习惯于将教学难点分解成一个个小问题，这样步子小、难度小、台阶多，到最后总能在教师的精心设计安排下“水到渠成”。这样看起来很完美，可细想一下，到底有多少学生真正领悟了？他们的思维过程是否和我们教师的一模一样？他们就没有一点自己的主见与想法吗？在提倡教育“以发展学生为本”的今天，我们更应该提倡、鼓励他们自己去想、去思索，去建构自己的知识体系。
可见，用新课程理念武装头脑，转变固有的思维定式，使教学中的“难点”成为学生探究知识的契机，实施多元化的教学策略，激活已有经验作为“固着点”，引导学生自主选择、比较，甚至“犯错误”，从而达到感悟策略，最后以反思归纳的方式掌握难点，彻底解决问题。如此这般，教学中的“难点”这块“石头”，就能激起学生知识与智慧海洋中的波浪。
（责编黄桂坚）
赛课教学“解决问题的策略——还原”之前，我作了些备课思考。
例1：两杯果汁共400毫升，从甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯果汁同样多，原来两杯果汁各有多少毫升？
例2：小明原有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张后，还剩52张。小明原有多少张邮票？
练一练：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张，小军原来有多少张画片？
开始我认为这节课主要是让学生学会如何倒推，于是在读题后直接呈现数学模型，让学生去感悟倒推的策略。
经过进一步学习，我发现解决问题的策略要经历解题的全过程，不应只教给学生基本技能和提供过分简单化的问题；相反，应鼓励学生面对复杂的学习环境，其中包含“含糊的”和不良结构的问题。本着这样的思想再次研读教材，我认为，例1可以借助有效整理条件——列表来进行还原思考；例2可以借助有效整理条件——摘录进行还原思考；“练一练”可以借助有效整理条件——画线段图进行还原思考。于是例1展示列表过程，学生填表，因为列表比较难；例2和“练一练”的整理条件采用放手的方法。试教时，例2和“练一练”，学生总是不能进行有效的整理条件，引导矫正时间比较长，导致拖堂。
怎样才不拖堂？我想：（1）指明方向，如“你能用摘录条件的方法整理题意吗”“你能用画线段图的方法整理题意吗”。（2）选择方向，如“以前我们学过整理题意的方法有列表、摘录、画线段图等，这题你认为选择哪种比较合适”。（3）让学生预习本课，课本上有整理的方法，这样上课就不会卡住了。但想法（3）有作弊的嫌疑，况且赛课前不允许和学生见面，被否定；想法（1）和（2）在后来的试教中学生还是不能有效的整理条件，花费了很多时间，结果还是拖堂。这时我意识到这是教学的难点，虽然整理题意是四年级学习过的解决问题策略。
于是，我和同事讨论，整理题意本不是这节课的教学重点，要不要花这么大力气？同事有的说：“要！因为条件整理有效时，后面的列式自然就有了。”有的说：“没必要！”显然，本节课的重点是还原的策略，目标分解开来是感受还原的优越性、明了还原的条件、学会如何还原及其还原思想的深入领会。如果要使学生熟练整理题意，不是这一节课所能解决的问题，需要教师长期的训练。
二、突破——在设计中落实
难点不能回避，如何突破呢？
策略（一）：先声夺人，难点提前突破
难点也需要调动学生的经验去化解、去分解，在例题前出示整理条件的数学原形，让学生在完成中进行感悟，学会迁移。
如：
通过试教，发现用多种方式表征教学内容集中铺垫，优于分散铺垫。这样让学生自己选择、比较，哪怕是失败，也能感悟到策略的多样性，及具体情境下策略的优劣。认知策略是对内调控的技能，只能在认知者的内部滋生，所以认知策略教学的一个难点是教师如何通过具体实例向学生示范策略的应用。如果学生对复杂的教学内容只能获得一种模型、一种类比或一种理解方式，那么当他们运用这种单一的表征方式于不同的情境时，他们常常会遇到困难。
策略（二）：后发制人，难点后置
难点放在课堂的后面，当教学重点被学生感悟、内化了，难点自然就得到了解决，或容易得到解决。
策略性知识学习的最高水平是学习者不仅能在训练过的情境中应用某种学习过程的策略，而且能把习得的策略迁移到未训练的情境中。因此课堂总结时，让学生反思所学习的策略是什么，它所适用的范围以及怎样和什么时候应用，可以解决这4个问题。显然，认知策略的训练必须与反省认知相结合。像例1，用列表来表示变化过程很清晰，然后从结果出发一步一步推回去；像例2那样用算式能够把变化过程表达得很清晰，用算式，像列方程一样；像例3那样拿走几分之几又多少的，用线段图比较清晰、有效。
三、深入——在原点处追问
1.怎样确定教学难点？
（1）角色换位。过去主要将难度聚焦于“教”字上，即教师如何突破讲解难点以便学生听懂。现在则要首先关注“学”的难度，即从为学生自主突破难点的角度来创设教学情境，设计教学流程。由于师生数学认知结构的差异，备课时，我们要站在学生的角度去研究教材，就会比较准确地发现教学难点。
（2）寻找重建处。从发生认识论的角度看，教学难点来源于认知冲突。在学习新的数学知识的过程中，学生需要把新知识纳入原有的知觉理解和思考方式中，使之融会贯通，这就是同化的过程。当不能用原有知觉理解和思考方式来同化新的知识时，便要对其加以修改或重建以适应新知识的需要，这就是顺应的过程。在顺应的过程中往往会遇到各种障碍和困惑，这时就会形成教学难点。例2的有效整理，学生可以同化得到；而“练一练”的整理很容易出错，如，这里25是剩下的，不是拿走的，这种整理需要画线段图重建，使知识得到内化。
2.怎样产生教学难点？
有效的整理条件四年级已学过，为什么学生还感到困难？结合我的观察，大概是教师把解决问题的策略当成了传统应用题来教学，呈现形式比较单一，答案确定，只见解题，不见策略，剥夺了学生从纷乱的实际问题中获取有用信息从而抽象成数学问题的机会，不利于他们把所学的数学知识应用到实际生活中去；教学方法以模仿为主，“一例一类型，照葫芦画瓢”，过多安排模仿性练习，思路训练模式化，很大程度上影响了学生创新意识的培养和发展。
而解决问题是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决实际问题和源于数学内部的问题，并非练习题式的问题。除了教学策略的章节外，我们在日常的教学中也应该强化一种策略意识，抓住教学中的细微之处，有意识地引导学生逐步体会这些方法的实用性以及创造出的价值，培养良好的使用策略的能力。解决问题的策略，要结合解题活动，既利用策略解决问题，又通过解决问题体验策略。
3.怎样突破难点？
（1）帮助学生寻找“固着点”。要想突破难点，首先需要努力寻找学生认知结构中某个与教学难点最接近的知识或经验作为“固着点”。由于数学内容是按一定的逻辑顺序展开的，因此，总可找到合适的“固着点”作为学生学习的支撑，以有效地实现顺应或同化。
（2）引导学生在反思中感悟。有些教师为了突破教学难点，常常煞费苦心，习惯于将教学难点分解成一个个小问题，这样步子小、难度小、台阶多，到最后总能在教师的精心设计安排下“水到渠成”。这样看起来很完美，可细想一下，到底有多少学生真正领悟了？他们的思维过程是否和我们教师的一模一样？他们就没有一点自己的主见与想法吗？在提倡教育“以发展学生为本”的今天，我们更应该提倡、鼓励他们自己去想、去思索，去建构自己的知识体系。
可见，用新课程理念武装头脑，转变固有的思维定式，使教学中的“难点”成为学生探究知识的契机，实施多元化的教学策略，激活已有经验作为“固着点”，引导学生自主选择、比较，甚至“犯错误”，从而达到感悟策略，最后以反思归纳的方式掌握难点，彻底解决问题。如此这般，教学中的“难点”这块“石头”，就能激起学生知识与智慧海洋中的波浪。
（责编黄桂坚）