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摘要：利用导数的几何意义求函数的切线方程，以及利用切线方程解决函数相关问题，是高考中的热点问题。如何高效地解决相关问题，并达到事半功倍的效果，就要求我们掌握解题的规律，提升分析问题、解决问题的能力，培养创新、探究的能力。
关键词：函数；切线方程；问题探究
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0080
在本文中，笔者通过我们学习中常遇到的数学题型，加以分析、归纳，一起来探究、总结规律，掌握解题方法。
题目：已知曲线y= x2
①求曲线在点p（2，4）处的切线方程。
②斜率为4的曲线的切线方程。
分析：①曲线在点p（2，4）处的切线方程，点p即为切点。下面只需利用导数求函数的斜率，再运用点斜式即可以求出切线方程。②斜率为4的曲线的切线方程，则需要求出切点，导数的几何意义就是斜率，我们可以利用导数求出切点坐标，再运用点斜式即可以求出切线方程。
解①∵P（2，4）在曲线y= x2 上，且x′=x2
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=4.
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0.
②设切点为（x0，y0），则切线的斜率k=x20=4，x0=±2
切点为（2，4）或-2，- ，
∴切线方程为y-4=4（x-2）或y =4（x 2），
即4x-y-4=0或12x-3y 20=0.
评析：本题主要考查了切线方程的求解。①是已知切点缺斜率，②是已知斜率缺切点。只需求出所缺量，利用直线方程公式求出即可。
变式1：探究：若将本例①中“在点P（2，4）”改为“过点P（2，4）”如何求解？
分析：虽然此时点P（2，4）在曲线上，但要注意过点P（2，4），此点就不一定为切点，所以求切线方程就需确定切点和斜率。设切点，求切线方程，在将点代入求解。
解：设曲线y= x3 与过点P（2，4）的切线相切于点Ax0， x30
则切线的斜率k=x30
∴切线方程为y- x30 =x30（x-x0），即y=x20·x- x30 .
∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x20- x30 ，即x30-3x20 4=0
∴x30 x20-4x20 4=0.
∴x20（x0 1）-4（x0 1）（x0-1）=0
∴（x0 1）（x0-2）2=0.解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y 2=0。
评析：本题主要考查了切线方程的求解。当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解。此处，为什么不设斜率呢？因为设斜率，运算较为复杂，不易求解。
通过原题及变式1，我们可以进行探究：
1. 曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线与过点P（x0，y0）的切线，两种说法有无区别？
（1）曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P点为切点，斜率为k=f′（x0）的切线，是惟一的一条切线。
（2）曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点。点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条。
2. 求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y=f（x）在点x=x0处的导数，即曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f′（x0）·（x-x0）。
3. 对于一道数学问题，如果我们将其中某些确定的数字改为参数，原曲线就变为动曲线，就将原问题置于开放的、具有动感的系统中，就像赋予新的生命一样，下面我们来看变式：
变式2：已知a为常数，若曲线y=ax3 ，直线4x-y-4=0与曲线相切，则实数a的值？
分析：本题已知切线方程，求a的值。同样切点不知道，所以我们可以通过设出切点，再根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率，构造方程组求解。
解：设切点为（x0，y0），
由题意可知ax20 =4x0-44x20=4
解得x0=2a=
评析：本题利用切线方程，求参量的值。
变式2使曲线动了，如果我们再赋直线于动态之中，又将如何呢？
变式3：已知a为常数，若曲线y=ax2 3x-lnx存在与直线4x-y-4=0平行的直线与曲线相切，求实数a的取值范围？
分析：存在斜率为4的直线与曲线相切，即曲线上某点的导数等于4方程有解。
解：由题意知曲线上存在某点的导数为4，
所以y′=2ax 3- =4有正根，
即2ax2-x-1=0有正根.
当a>0时，曲线过定点（0，-1）显然满足题意；
当a=0时，x=-1显然不满足题意
当a<0时，对称轴x= <0，过点（0，-1）此时无正根。
综上，a>0。
评析：本题考查了利用切线斜率求参量的范围。曲线、直线都是动的，在动中要抓住定。解决本题的关键就是曲线过定点（0，-1），切线的斜率为定值。定点问题是高考考查的热点问题，定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。
前面介绍的是一条直线和一个曲线相切的变化关系，如果是一条直线与两个曲线都相切，那又将如何呢？下面我们继续来看变式。 变式4：若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2 x-9都相切，则a等？
分析：由过点（1，0）且与曲线y=x3相切，可以求出切线方程，再由切线方程求出参量a的值。
解：设过（1，0）的直线与y=x3相切于点（x0，x30），所以切线方程为y-x30=3x30（x-x0），即y=3x30x-2x30，又（1，0）在切线上，则x0=0或x0= ，
当x0=0时，由y=0与y=ax2 x-9相切可得a=- ；
当x0= 时，由y= x- 与y=ax2 x-9相切可得a=-1；
评析：本题主要考查了切线方程的求解，利用切线方程，求参量的值。可以看成是变式1与变式2的综合。
前面介绍的只有一个参量，如果有两个参量，那又将如何呢？探究到这里，是不是很有意思，下面我们继续来看变式。
变式5：若直线y= x b是曲线y=alnx（x>0）的切线，则当a>0时，实数b的最小值？
分析：直线与方程相切不知切点，设切点，根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率，构造方程组求出b。再构造函数，利用导数求最值。
解：设切点为（x0，y0），
由题意可知 x0 b=alnx0 =
∴b=alnx0- x0= x0lnx0- x0
令f（x）= xlnx- x
f′（x）= （lnx 1）- = lnx
令f′（x）=0 则x=1
当x∈（0，1）时f′（x）<0 ，f（x）在（0，1）上单调递减
当x∈（1， ∞）时f′（x）>0 ，f（x）在（1， ∞）上单调递增
∴f（x）的最小值为- ，即实数b的最小值为-
评析：本题主要考查了切线方程，函数最值，导数的几何意义及运用。
规律探究：解决切线方程有关的问题时，应重点注意以下几点：
①首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；
②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.
③抓住题目的关键点是解决此类问题的保证；
④熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提。
当然，我们还有许多其他的变形方式，进行进一步探究。有兴趣的，可以进一步尝试。
我们通过不断的变化、探究，逐步深入地解决函数切线的相关问题，并引入参量，把原题不断地升华。以这样的方式学习，不但可以激发学习的兴趣，而且学习的效果一定是高效的。
（作者单位：江苏省兴化市周庄高级中学 225700）
关键词：函数；切线方程；问题探究
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0080
在本文中，笔者通过我们学习中常遇到的数学题型，加以分析、归纳，一起来探究、总结规律，掌握解题方法。
题目：已知曲线y= x2
①求曲线在点p（2，4）处的切线方程。
②斜率为4的曲线的切线方程。
分析：①曲线在点p（2，4）处的切线方程，点p即为切点。下面只需利用导数求函数的斜率，再运用点斜式即可以求出切线方程。②斜率为4的曲线的切线方程，则需要求出切点，导数的几何意义就是斜率，我们可以利用导数求出切点坐标，再运用点斜式即可以求出切线方程。
解①∵P（2，4）在曲线y= x2 上，且x′=x2
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=4.
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0.
②设切点为（x0，y0），则切线的斜率k=x20=4，x0=±2
切点为（2，4）或-2，- ，
∴切线方程为y-4=4（x-2）或y =4（x 2），
即4x-y-4=0或12x-3y 20=0.
评析：本题主要考查了切线方程的求解。①是已知切点缺斜率，②是已知斜率缺切点。只需求出所缺量，利用直线方程公式求出即可。
变式1：探究：若将本例①中“在点P（2，4）”改为“过点P（2，4）”如何求解？
分析：虽然此时点P（2，4）在曲线上，但要注意过点P（2，4），此点就不一定为切点，所以求切线方程就需确定切点和斜率。设切点，求切线方程，在将点代入求解。
解：设曲线y= x3 与过点P（2，4）的切线相切于点Ax0， x30
则切线的斜率k=x30
∴切线方程为y- x30 =x30（x-x0），即y=x20·x- x30 .
∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x20- x30 ，即x30-3x20 4=0
∴x30 x20-4x20 4=0.
∴x20（x0 1）-4（x0 1）（x0-1）=0
∴（x0 1）（x0-2）2=0.解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y 2=0。
评析：本题主要考查了切线方程的求解。当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解。此处，为什么不设斜率呢？因为设斜率，运算较为复杂，不易求解。
通过原题及变式1，我们可以进行探究：
1. 曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线与过点P（x0，y0）的切线，两种说法有无区别？
（1）曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P点为切点，斜率为k=f′（x0）的切线，是惟一的一条切线。
（2）曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点。点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条。
2. 求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y=f（x）在点x=x0处的导数，即曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f′（x0）·（x-x0）。
3. 对于一道数学问题，如果我们将其中某些确定的数字改为参数，原曲线就变为动曲线，就将原问题置于开放的、具有动感的系统中，就像赋予新的生命一样，下面我们来看变式：
变式2：已知a为常数，若曲线y=ax3 ，直线4x-y-4=0与曲线相切，则实数a的值？
分析：本题已知切线方程，求a的值。同样切点不知道，所以我们可以通过设出切点，再根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率，构造方程组求解。
解：设切点为（x0，y0），
由题意可知ax20 =4x0-44x20=4
解得x0=2a=
评析：本题利用切线方程，求参量的值。
变式2使曲线动了，如果我们再赋直线于动态之中，又将如何呢？
变式3：已知a为常数，若曲线y=ax2 3x-lnx存在与直线4x-y-4=0平行的直线与曲线相切，求实数a的取值范围？
分析：存在斜率为4的直线与曲线相切，即曲线上某点的导数等于4方程有解。
解：由题意知曲线上存在某点的导数为4，
所以y′=2ax 3- =4有正根，
即2ax2-x-1=0有正根.
当a>0时，曲线过定点（0，-1）显然满足题意；
当a=0时，x=-1显然不满足题意
当a<0时，对称轴x= <0，过点（0，-1）此时无正根。
综上，a>0。
评析：本题考查了利用切线斜率求参量的范围。曲线、直线都是动的，在动中要抓住定。解决本题的关键就是曲线过定点（0，-1），切线的斜率为定值。定点问题是高考考查的热点问题，定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。
前面介绍的是一条直线和一个曲线相切的变化关系，如果是一条直线与两个曲线都相切，那又将如何呢？下面我们继续来看变式。 变式4：若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2 x-9都相切，则a等？
分析：由过点（1，0）且与曲线y=x3相切，可以求出切线方程，再由切线方程求出参量a的值。
解：设过（1，0）的直线与y=x3相切于点（x0，x30），所以切线方程为y-x30=3x30（x-x0），即y=3x30x-2x30，又（1，0）在切线上，则x0=0或x0= ，
当x0=0时，由y=0与y=ax2 x-9相切可得a=- ；
当x0= 时，由y= x- 与y=ax2 x-9相切可得a=-1；
评析：本题主要考查了切线方程的求解，利用切线方程，求参量的值。可以看成是变式1与变式2的综合。
前面介绍的只有一个参量，如果有两个参量，那又将如何呢？探究到这里，是不是很有意思，下面我们继续来看变式。
变式5：若直线y= x b是曲线y=alnx（x>0）的切线，则当a>0时，实数b的最小值？
分析：直线与方程相切不知切点，设切点，根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率，构造方程组求出b。再构造函数，利用导数求最值。
解：设切点为（x0，y0），
由题意可知 x0 b=alnx0 =
∴b=alnx0- x0= x0lnx0- x0
令f（x）= xlnx- x
f′（x）= （lnx 1）- = lnx
令f′（x）=0 则x=1
当x∈（0，1）时f′（x）<0 ，f（x）在（0，1）上单调递减
当x∈（1， ∞）时f′（x）>0 ，f（x）在（1， ∞）上单调递增
∴f（x）的最小值为- ，即实数b的最小值为-
评析：本题主要考查了切线方程，函数最值，导数的几何意义及运用。
规律探究：解决切线方程有关的问题时，应重点注意以下几点：
①首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；
②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.
③抓住题目的关键点是解决此类问题的保证；
④熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提。
当然，我们还有许多其他的变形方式，进行进一步探究。有兴趣的，可以进一步尝试。
我们通过不断的变化、探究，逐步深入地解决函数切线的相关问题，并引入参量，把原题不断地升华。以这样的方式学习，不但可以激发学习的兴趣，而且学习的效果一定是高效的。
（作者单位：江苏省兴化市周庄高级中学 225700）