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摘要： 由于制造、安装误差和轮齿变形等因素，齿轮在啮合过程中难免产生振动、冲击和噪声，对斜齿轮齿廓进行适当修形可以有效改善啮合状态，提升传动的平稳性。基于轮齿承载接触分析理论提出含齿顶修形和齿向修形两种方式的斜齿轮混合修形方法，建立计算考虑混合修形的斜齿轮时变啮合刚度模型，并通过ANSYS验证了该模型的有效性;基于提出的模型分析了不同修形参数对时变啮合刚度的影响;在啮合特性模型的基础上建立斜齿轮副动力学模型，考虑混合修形齿轮副啮合刚度的时变性，分析不同修形方式及修形量对齿轮转子系统振动响应的影响。研究表明，齿顶修形不仅可以避免齿轮边缘接触，而且在特定的频段范围内可大幅减小齿轮转子系统的振动，并为斜齿轮副的修形优化设计提供了理论依据。
关键词： 转子系统; 斜齿轮; 动力学特性; 轮齿修形; 啮合特性
引 言
齿轮在传動时啮合齿对数交替造成齿轮啮合刚度的时变性，交替的临界区会发生啮入和啮出冲击，加剧系统的振动及噪声[1];同时齿轮受载后会产生弯曲变形和扭转变形以及安装不对中等造成啮合不对中，齿轮沿齿宽方向会造成接触不均匀产生偏载现象[2?3]。通过去除沿齿轮齿廓和齿宽方向的一部分材料，减小齿轮传动的啮合冲击而导致的齿轮系统的振动和噪声。齿轮的修形方法主要有齿顶修形、鼓向修形、齿根修形等[4?7]。
国内外学者在齿轮修形及啮合刚度计算[8?14]和修形齿轮动力学[15?17]领域做了许多理论研究。Rincon等[8]基于承载接触理论建立直齿轮啮合刚度模型。Ma等[9]基于势能法提出考虑齿顶修形的直齿轮时变啮合刚度计算模型，考虑延长啮合、基体修正、非线性接触等的影响，并采用有限元方法验证了解析模型的有效性。Rincon等[10]基于承载接触方法建立直齿轮时变啮合刚度计算模型，突出了其方法降低了计算量、高效率的优点。Chen等[11]提出内啮合直齿轮副啮合刚度计算模型，考虑了变位的影响并分析了变位系数对齿柔度和啮合刚度的影响。Diez Ibarbia等[12]考虑直齿轮变位和齿顶修形并引入摩擦系数的影响，考虑齿变形、齿顶修形以及摩擦对系统响应的影响。Wang等[13]基于切片理论和能量法建立修形斜齿轮时变啮合刚度计算模型，分析了齿顶修形、鼓向修形和不对中对斜齿轮啮合特性的影响。Andersson等[14]基于解析有限元建立修形斜齿轮时变啮合刚度模型，轮齿及基体的弯曲和扭转刚度通过有限元求解，轮齿接触刚度采用赫兹接触理论求解。Kubur等[15]建立了多轴斜齿轮动力学模型，并用实验进行了验证。Wei等[16]建立了修形斜齿轮非线性动力学模型，分析了不同修形量下的系统动力学特性，并通过实验进行验证。Yuan等[17]建立了考虑时变啮合刚度和啮合误差的斜齿轮系统的有限元动力学模型，基于系统动力学特性对齿轮修形量进行优化。
现有的文献大都研究修形直齿轮副啮合特性及动力学特性，对斜齿轮副的研究相对较少;且目前大多数文献聚焦在齿顶修形齿轮副的动力学特性，对于齿顶和鼓向混合修形齿轮副的研究较少。本文重点讨论了混合修形对于斜齿轮动力学响应特性的影响。基于承载接触理论分析混合修形斜齿轮啮合特性，考虑转轴柔性影响，将时变啮合刚度引入齿轮?转子系统动力学模型，分析不同修形量对系统振动特性的影响。
1 修形斜齿轮副啮合模型
1.1 斜齿轮承载接触分析方法
对齿面上节点采用循环加载法施加单位力获得啮合齿面柔度矩阵。柔度矩阵形成过程如图1所示。
式中 n为啮合位置潜在接触点的数目;ubi，uci分别为剪切变形和接触变形;Fi，Fj为接触点载荷;为接触点j对接触点i的弯曲剪切柔度，为i点的接触柔度。
1.2 混合修形斜齿轮副啮合模型
斜齿轮齿顶修形端面示意图如图2所示，阴影部分为齿顶修形量。DC表示理论齿廓;MC表示齿顶修形实际齿廓;γC，γD和γ分别为修形起始点、齿顶以及渐开线任意点对应的啮合压力角。C点为齿顶修形起始点，Ca和La分别表示齿顶修形量和修形长度，Sa和Sr表示齿轮啮合过程中轮齿之间的接近和分离距离[9]，包含在齿廓偏差矩阵ε的计算中。齿顶修形是最常用的齿廓修正方法，根据参考文献[10]，齿顶修形曲线表达式为
齿顶修形可以降低齿轮系统的振动和噪声，而鼓向修形可以避免边缘接触，对齿轮副同时进行两种修形即混合修形并对其进行啮合特性分析非常必要。混合修形示意图如图3所示，图中绿色点划线表示齿顶修形曲线，红色虚线表示鼓向修形曲线。鼓向修形的修形量为Cβ，鼓向修形曲线为圆弧曲线，圆弧半径R和鼓向修形曲线的表达式Cc分别为：
对于任意位置的修形量Ct和Cc，分别将Ct和Cc沿啮合线方向投影确定齿顶修形引起的齿轮副的齿廓偏差Ept，鼓向修形引起的齿轮副的齿廓偏差Epc，齿廓偏差均表示啮合齿轮对主、从动轮沿啮合线方向的齿廓偏差之和。则混合修形引起的轮齿齿廓偏差可以表示为
2 混合修形斜齿轮副啮合特性分析
2.1 齿顶修形斜齿轮副啮合特性
本节仅考虑齿顶修形并利用有限元方法进行验证本文方法的准确性，齿轮的基本参数如表1所示。
取齿顶修形长度La=1.42 mm，分别利用本文承载接触分析方法和有限元方法计算齿顶修形量0 和3 μm的刚度。对比两种求解方法的结果，验证求解准确性。有限元方法采用Solid185实体单元、Conta170和Conta174接触单元建立啮合齿轮副的三维有限元接触模型，对齿轮内孔节点刚性耦合取内孔中心点为主节点，再对主节点进行约束并只保留主动轮绕轴向的转动自由度，从动轮全约束，如图4所示。有限元方法与本文LTCA方法的刚度结果对比如图5所示，随着修形量的增大，斜齿轮啮合刚度值逐渐减小，两种方法呈现相同的趋势。图中本文方法与有限元方法的结果对比中出现的最大误差约为3.88%，验证了本文方法的准确性。同时相比有限元方法具有较高的求解效率，有限元方法与本文方法求解时间分别为150 min和100 s。 2.2 混合修形斜齒轮副啮合特性
如图6和7所示分别为混合修形不同齿顶修形量Ca下的时变啮合刚度（TVMS）对比和传递误差（STE），取齿顶修形长度La=2.7 mm，鼓向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形量Ca分别取2.0，2.5，3.3，3.6和4.0 μm。如图8和9所示为不同齿顶修形长度La下的时变啮合刚度对比和传递误差，取齿顶修形量Ca=3.3 mm，鼓向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形长度La分别取1.42，2.0，2.7和3.0 mm。如图10和11所示为不同鼓向修形量Cβ下的时变啮合刚度对比和传递误差，取齿顶修形量Ca=3.3 mm，齿顶修形长度La=2.7 mm，鼓向修形量Cβ分别取1.5，1.8，2.1，2.5和2.8 μm。从图中可以看出，适当的混合修形不仅减小了齿轮啮合过程中的时变啮合刚度，而且使刚度和传递误差变化更加平缓。同时可以看出修形过大会起到相反的效果。
3 混合修形斜齿轮系统动力学响应分析
建立平行轴斜齿轮啮合系统有限元模型如图12所示，轴系采用Timoshenko梁模型并结合齿轮副的集中质量模型。建立如下系统动力学方程[15]
式中 M为系统质量矩阵;G为陀螺力矩;C为系统阻尼矩阵，采用瑞利黏性阻尼;K为系统总刚矩阵，包括转轴刚度、齿轮啮合刚度以及轴承刚度;u为系统广义坐标，Fu为激振力矢量。
根据参考文献[15]，假设齿轮在啮合力作用线方向上所产生的相对位移完全转变为接触齿面的弹性变形，以保证齿面在啮合过程中的相互接触。设两齿轮在啮合线方向上的相对位移为p12（t），对于相对位移在这里假定压为正、拉为负，则有在扭矩T1=100 N·m的情况下，考虑混合修形状态下（齿顶修形和鼓向修形）齿轮的时变啮合刚度进行斜齿轮系统的动力学响应分析。提取输入轴轴承处沿竖直方向的位移幅频响应作为研究对象。本文采用均方根来衡量系统振动水平[17]。
齿轮副修形量采用与2.2节相同的修形量组合。齿顶修形长度La=2.7 mm，齿向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形量Ca分别取2.0，2.5，3.3，3.6和4.0 μm下主动轴右端轴承处的竖直方向位移的幅频响应如图13所示。由图可见，在任一转速下，随着Ca的增大，振动幅值都有一个减小?增大的过程，且在Ca=3.3 μm时振动幅值最小;同时非线性啮合刚度激励会引发谐波振动现象。齿顶修形量Ca=3.3 mm，齿向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形长度La分别取1.42，2.0，2.7和3.0 mm下的主动轴右端轴承处的竖直方向位移的幅频响应如图14所示，与Ca的影响规律类似，La=2.7 mm时振动幅值最小。当啮合频率fm等于齿轮系统第1阶 （f1=329.6 Hz）、第11阶（f11=1565.1 Hz）和第16阶（f16=2133.6 Hz）固有频率时出现共振峰，当啮合频率fm等于f1/2和f11/2时出现超谐波共振峰。在Ca，La和Cβ分别取3.3，2.7和2.5 μm，啮合频率fm等于f11/2时的频谱图如图15所示。不同的修形参数对系统响应的影响较大，对于一个特定的扭矩工况，对齿轮进行合理修形可以改善齿轮啮合特性，有效降低共振峰幅值，提升齿轮系统动力学特性。
4 结 论
本文采用承载接触分析方法建立了考虑混合修形斜齿轮副的啮合刚度模型，采用有限元方法验证了本文方法的有效性，探讨不同修形量下的齿轮副啮合特性。首先建立了混合修形斜齿轮啮合模型，引入求得的时变啮合刚度进一步建立了斜齿轮转子系统的动力学模型，对比了不同混合修形下转子系统的动力学响应。本文得到以下结论：
（1）本文斜齿轮承载接触分析方法考虑了解析能量法很难考虑的轴向以及延长啮合效应的影响，同时在用ANSYS验证本文方法的准确性，啮合刚度最大误差约为3.88%，并且相比有限元方法具有较高的求解效率，有限元与本文方法求解时间分别为150 min和100 s。
（2）齿顶修形对降低啮合振动的影响非常明显，主要用于提升啮合平稳性，改善系统振动。随着齿顶修形量的增大，啮合刚度的波动整体呈现先减小达到较平稳再增大的趋势，修形很好地改善了齿轮副啮合刚度的波动，进而改善系统的振动。但修形量也不宜过大，修形量过大会加剧系统的振动。
（3）通过动力学特性和啮合特性的对比，可以看出修形量对时变啮合刚度的波动和系统振动的影响呈现一致的趋势，验证了动力学模型的准确性;同时也说明了修形对于改善系统振动、提升平稳性具有积极作用。工程上可以根据实际的工作转速选取该转速下较佳的修形量，降低共振峰幅值，提升动力学性能。
参考文献：
[1] 李润方. 齿轮传动的刚度分析和修形方法[M]. 重庆：重庆大学出版社， 1998： 262-286.
Li Runfang. Stiffness Analysis and Modification of Gear Transmission[M]. Chongqing： Chongqing University Press， 1998： 262-286.
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Ma Hui， Pang Xu， Song Rongze， et al. Vibration response analysis of a geared rotor system considering the tip relief[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50（7）： 39-45.
[6] 杜 飞. 两级行星齿轮箱的轮齿修形方法研究[D]. 重庆： 重庆大学， 2015.
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[16] Wei J， Zhang A Q， Wang G Q， et al. A study of nonlinear excitation modeling of helical gears with modification： Theoretical analysis and experiments[J]. Mechanism and Machine Theory， 2018， 128： 314-335.
[17] Yuan B， Shan C， Geng L， et al. Optimization of bias modification and dynamic behavior analysis of helical gear system[J]. Advances in Mechanical Engineering， 2017， 9（11）： 1-14.
关键词： 转子系统; 斜齿轮; 动力学特性; 轮齿修形; 啮合特性
引 言
齿轮在传動时啮合齿对数交替造成齿轮啮合刚度的时变性，交替的临界区会发生啮入和啮出冲击，加剧系统的振动及噪声[1];同时齿轮受载后会产生弯曲变形和扭转变形以及安装不对中等造成啮合不对中，齿轮沿齿宽方向会造成接触不均匀产生偏载现象[2?3]。通过去除沿齿轮齿廓和齿宽方向的一部分材料，减小齿轮传动的啮合冲击而导致的齿轮系统的振动和噪声。齿轮的修形方法主要有齿顶修形、鼓向修形、齿根修形等[4?7]。
国内外学者在齿轮修形及啮合刚度计算[8?14]和修形齿轮动力学[15?17]领域做了许多理论研究。Rincon等[8]基于承载接触理论建立直齿轮啮合刚度模型。Ma等[9]基于势能法提出考虑齿顶修形的直齿轮时变啮合刚度计算模型，考虑延长啮合、基体修正、非线性接触等的影响，并采用有限元方法验证了解析模型的有效性。Rincon等[10]基于承载接触方法建立直齿轮时变啮合刚度计算模型，突出了其方法降低了计算量、高效率的优点。Chen等[11]提出内啮合直齿轮副啮合刚度计算模型，考虑了变位的影响并分析了变位系数对齿柔度和啮合刚度的影响。Diez Ibarbia等[12]考虑直齿轮变位和齿顶修形并引入摩擦系数的影响，考虑齿变形、齿顶修形以及摩擦对系统响应的影响。Wang等[13]基于切片理论和能量法建立修形斜齿轮时变啮合刚度计算模型，分析了齿顶修形、鼓向修形和不对中对斜齿轮啮合特性的影响。Andersson等[14]基于解析有限元建立修形斜齿轮时变啮合刚度模型，轮齿及基体的弯曲和扭转刚度通过有限元求解，轮齿接触刚度采用赫兹接触理论求解。Kubur等[15]建立了多轴斜齿轮动力学模型，并用实验进行了验证。Wei等[16]建立了修形斜齿轮非线性动力学模型，分析了不同修形量下的系统动力学特性，并通过实验进行验证。Yuan等[17]建立了考虑时变啮合刚度和啮合误差的斜齿轮系统的有限元动力学模型，基于系统动力学特性对齿轮修形量进行优化。
现有的文献大都研究修形直齿轮副啮合特性及动力学特性，对斜齿轮副的研究相对较少;且目前大多数文献聚焦在齿顶修形齿轮副的动力学特性，对于齿顶和鼓向混合修形齿轮副的研究较少。本文重点讨论了混合修形对于斜齿轮动力学响应特性的影响。基于承载接触理论分析混合修形斜齿轮啮合特性，考虑转轴柔性影响，将时变啮合刚度引入齿轮?转子系统动力学模型，分析不同修形量对系统振动特性的影响。
1 修形斜齿轮副啮合模型
1.1 斜齿轮承载接触分析方法
对齿面上节点采用循环加载法施加单位力获得啮合齿面柔度矩阵。柔度矩阵形成过程如图1所示。
式中 n为啮合位置潜在接触点的数目;ubi，uci分别为剪切变形和接触变形;Fi，Fj为接触点载荷;为接触点j对接触点i的弯曲剪切柔度，为i点的接触柔度。
1.2 混合修形斜齿轮副啮合模型
斜齿轮齿顶修形端面示意图如图2所示，阴影部分为齿顶修形量。DC表示理论齿廓;MC表示齿顶修形实际齿廓;γC，γD和γ分别为修形起始点、齿顶以及渐开线任意点对应的啮合压力角。C点为齿顶修形起始点，Ca和La分别表示齿顶修形量和修形长度，Sa和Sr表示齿轮啮合过程中轮齿之间的接近和分离距离[9]，包含在齿廓偏差矩阵ε的计算中。齿顶修形是最常用的齿廓修正方法，根据参考文献[10]，齿顶修形曲线表达式为
齿顶修形可以降低齿轮系统的振动和噪声，而鼓向修形可以避免边缘接触，对齿轮副同时进行两种修形即混合修形并对其进行啮合特性分析非常必要。混合修形示意图如图3所示，图中绿色点划线表示齿顶修形曲线，红色虚线表示鼓向修形曲线。鼓向修形的修形量为Cβ，鼓向修形曲线为圆弧曲线，圆弧半径R和鼓向修形曲线的表达式Cc分别为：
对于任意位置的修形量Ct和Cc，分别将Ct和Cc沿啮合线方向投影确定齿顶修形引起的齿轮副的齿廓偏差Ept，鼓向修形引起的齿轮副的齿廓偏差Epc，齿廓偏差均表示啮合齿轮对主、从动轮沿啮合线方向的齿廓偏差之和。则混合修形引起的轮齿齿廓偏差可以表示为
2 混合修形斜齿轮副啮合特性分析
2.1 齿顶修形斜齿轮副啮合特性
本节仅考虑齿顶修形并利用有限元方法进行验证本文方法的准确性，齿轮的基本参数如表1所示。
取齿顶修形长度La=1.42 mm，分别利用本文承载接触分析方法和有限元方法计算齿顶修形量0 和3 μm的刚度。对比两种求解方法的结果，验证求解准确性。有限元方法采用Solid185实体单元、Conta170和Conta174接触单元建立啮合齿轮副的三维有限元接触模型，对齿轮内孔节点刚性耦合取内孔中心点为主节点，再对主节点进行约束并只保留主动轮绕轴向的转动自由度，从动轮全约束，如图4所示。有限元方法与本文LTCA方法的刚度结果对比如图5所示，随着修形量的增大，斜齿轮啮合刚度值逐渐减小，两种方法呈现相同的趋势。图中本文方法与有限元方法的结果对比中出现的最大误差约为3.88%，验证了本文方法的准确性。同时相比有限元方法具有较高的求解效率，有限元方法与本文方法求解时间分别为150 min和100 s。 2.2 混合修形斜齒轮副啮合特性
如图6和7所示分别为混合修形不同齿顶修形量Ca下的时变啮合刚度（TVMS）对比和传递误差（STE），取齿顶修形长度La=2.7 mm，鼓向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形量Ca分别取2.0，2.5，3.3，3.6和4.0 μm。如图8和9所示为不同齿顶修形长度La下的时变啮合刚度对比和传递误差，取齿顶修形量Ca=3.3 mm，鼓向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形长度La分别取1.42，2.0，2.7和3.0 mm。如图10和11所示为不同鼓向修形量Cβ下的时变啮合刚度对比和传递误差，取齿顶修形量Ca=3.3 mm，齿顶修形长度La=2.7 mm，鼓向修形量Cβ分别取1.5，1.8，2.1，2.5和2.8 μm。从图中可以看出，适当的混合修形不仅减小了齿轮啮合过程中的时变啮合刚度，而且使刚度和传递误差变化更加平缓。同时可以看出修形过大会起到相反的效果。
3 混合修形斜齿轮系统动力学响应分析
建立平行轴斜齿轮啮合系统有限元模型如图12所示，轴系采用Timoshenko梁模型并结合齿轮副的集中质量模型。建立如下系统动力学方程[15]
式中 M为系统质量矩阵;G为陀螺力矩;C为系统阻尼矩阵，采用瑞利黏性阻尼;K为系统总刚矩阵，包括转轴刚度、齿轮啮合刚度以及轴承刚度;u为系统广义坐标，Fu为激振力矢量。
根据参考文献[15]，假设齿轮在啮合力作用线方向上所产生的相对位移完全转变为接触齿面的弹性变形，以保证齿面在啮合过程中的相互接触。设两齿轮在啮合线方向上的相对位移为p12（t），对于相对位移在这里假定压为正、拉为负，则有在扭矩T1=100 N·m的情况下，考虑混合修形状态下（齿顶修形和鼓向修形）齿轮的时变啮合刚度进行斜齿轮系统的动力学响应分析。提取输入轴轴承处沿竖直方向的位移幅频响应作为研究对象。本文采用均方根来衡量系统振动水平[17]。
齿轮副修形量采用与2.2节相同的修形量组合。齿顶修形长度La=2.7 mm，齿向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形量Ca分别取2.0，2.5，3.3，3.6和4.0 μm下主动轴右端轴承处的竖直方向位移的幅频响应如图13所示。由图可见，在任一转速下，随着Ca的增大，振动幅值都有一个减小?增大的过程，且在Ca=3.3 μm时振动幅值最小;同时非线性啮合刚度激励会引发谐波振动现象。齿顶修形量Ca=3.3 mm，齿向修形量Cβ=2.5 μm，齿顶修形长度La分别取1.42，2.0，2.7和3.0 mm下的主动轴右端轴承处的竖直方向位移的幅频响应如图14所示，与Ca的影响规律类似，La=2.7 mm时振动幅值最小。当啮合频率fm等于齿轮系统第1阶 （f1=329.6 Hz）、第11阶（f11=1565.1 Hz）和第16阶（f16=2133.6 Hz）固有频率时出现共振峰，当啮合频率fm等于f1/2和f11/2时出现超谐波共振峰。在Ca，La和Cβ分别取3.3，2.7和2.5 μm，啮合频率fm等于f11/2时的频谱图如图15所示。不同的修形参数对系统响应的影响较大，对于一个特定的扭矩工况，对齿轮进行合理修形可以改善齿轮啮合特性，有效降低共振峰幅值，提升齿轮系统动力学特性。
4 结 论
本文采用承载接触分析方法建立了考虑混合修形斜齿轮副的啮合刚度模型，采用有限元方法验证了本文方法的有效性，探讨不同修形量下的齿轮副啮合特性。首先建立了混合修形斜齿轮啮合模型，引入求得的时变啮合刚度进一步建立了斜齿轮转子系统的动力学模型，对比了不同混合修形下转子系统的动力学响应。本文得到以下结论：
（1）本文斜齿轮承载接触分析方法考虑了解析能量法很难考虑的轴向以及延长啮合效应的影响，同时在用ANSYS验证本文方法的准确性，啮合刚度最大误差约为3.88%，并且相比有限元方法具有较高的求解效率，有限元与本文方法求解时间分别为150 min和100 s。
（2）齿顶修形对降低啮合振动的影响非常明显，主要用于提升啮合平稳性，改善系统振动。随着齿顶修形量的增大，啮合刚度的波动整体呈现先减小达到较平稳再增大的趋势，修形很好地改善了齿轮副啮合刚度的波动，进而改善系统的振动。但修形量也不宜过大，修形量过大会加剧系统的振动。
（3）通过动力学特性和啮合特性的对比，可以看出修形量对时变啮合刚度的波动和系统振动的影响呈现一致的趋势，验证了动力学模型的准确性;同时也说明了修形对于改善系统振动、提升平稳性具有积极作用。工程上可以根据实际的工作转速选取该转速下较佳的修形量，降低共振峰幅值，提升动力学性能。
参考文献：
[1] 李润方. 齿轮传动的刚度分析和修形方法[M]. 重庆：重庆大学出版社， 1998： 262-286.
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Ma Hui， Pang Xu， Song Rongze， et al. Vibration response analysis of a geared rotor system considering the tip relief[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50（7）： 39-45.
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