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题目：
问题1 （造桥选址问题）：如下图13.4-6，A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
一、审题分析
（一）题目背景
1.题材背景：本题出自新人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题的问题2。
2.知识背景：（1）平移变换的相关知识。
（2）两点之间，线段最短。 图13.4-6
3.方法背景：（1）会用平移的方法对一个图形进行变换。
（2）会求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小问题。
4.思想背景：化归思想.
（二）学情分析
1.学生特点：学生已在课本第85页的问题1学习了最短路径问题，本题是对最短路径问题的进一步探究。
2.估计学生会遇到的困难和解决策略：
（1）忽略条件“桥与河垂直”
策略：给学生机会犯错，直接连接AB分别交两直线于M和N两点，即为所求. 再引导学生发现问题。
（2）对桥的长度固定不变的理解
策略：利用几何画板进行探究，通过观察数据的变化，可知动点N在移动过程中，线段MN的长度始终不变，再结合题中给的条件：“两岸平行”和“桥与河垂直”进一步理解.
（3）如何确定线段MN的位置
策略：引导学生通过平移，将问题转化为求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题。
（4）如何证明线段MN的位置即为所求
策略：引導学生任取异于MN的线段GH，使GH⊥ ，GH ⊥b，则利用三角形三边关系进行证明。
（三）重、难点
重点：探究利用平移性质和两点之间线段最短解决最短路径问题.
难点：1.如何将实际问题转化为数学问题
2.如何确定线段MN的位置
3..如何证明线段MN的位置即为所求
（四）教学方法 启发式教学
（五）分析题意
本题属于最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大，首先引导学生通过多次读题理解题意，已知A、B两地在一条河的两岸，且河的两岸可以看成是平行的直线，则可画出两条平行的直线a和b，点A和点B是定点，分别位于两直线的两侧.现要建一座桥MN，要求桥与河垂直，即线段MN与直线a，b垂直。所要求的问题是桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短，即线段MN位于何处时，可使AM+MN+NB最小，从而将实际问题转化为数学问题，如图1所示。
二、探究过程
（一）探究线段MN的大致位置
学生在自主探究时，根据两点之间，线段最短，容易想到连接AB分别交直线a，b于M和N两点，则线段MN即为所求。如图2所示，引导学生思考这种作法是否可行，从而发现与题目中的条件“桥与河垂直”相矛盾。
利用几何画板进行探究，当动点N在直线b上移动时，这三条线段的长度之和在不断跟着改变，而线段MN的长度始终是不变的，故只需确定另外两条线段的长度之和最小即可。 点N在移动过程中，通过观察具体数据的变化可知， AM+NB对应的数值先变大后变小（或先变小后变大），从而可以初步得到线段MN的大致位置。进而引导学生思考如何确定线段MN的准确位置。
（二）探究线段MN的准确位置
引导学生复习前面学过的求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小问题，已知A、B两个定点分别位于一条直线 的两侧，要在直线上找到一点使得它到这两个定点的距离之和最小，根据两点之间，线段最短，连接AB与直线 交于一点，即为所求。引导学生对比本题，思考能否通过某种途径将直线a和直线b重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，学生会想到利用平移的方法，从而得到作图思路。
作图步骤：
（1）同时将直线a和点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽。使直线a与直线b重合，点A移动到A′。
（2）连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥ ，垂足为M，连接AM则线段MN即为所求。
（3）如图3所示.从而得到最短路径为：A→M→N→B
（三）证明线段MN的位置即为所求
引导学生在直线b上异于点N任取一点G，过点G作GH⊥ ，垂足为H，连接AH，GB ，A′G，如图4所示，则只需证明AM+ MN +NB 证明：在直线b上异于点N任取一点G，过点G作GH⊥ ，垂足为H，连接AH， NB，A′G，则由平移性质得AM= A′N， AH=A′G∴AM+NB= A′N+NB= A′B，AH+GB= A′G+GB
在△A′BG中，根据三边关系得：A′B ∴AM+NB < AH+GB又∵MN = HG ∴ AM+NB+MN < AH+GB+ HG从而证明线段MN的位置即为所求。.故从A到B的最短路径为：A→M→N→B.线段MN即为所要建的桥的位置。
（四）多种作图方法
学生在自主探究时，可能会出现以下的作图方法：
作法二：如图5所示，同时将直线 b 和点B沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线b与直线 重合，点B移动到B′ ，连接B′A交直线 于点M，过点M作MN⊥b，垂足为N，则线段MN即为所求.
作法三：如图6所示，将点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.点A移动到A′，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥ ，垂足为M，连接AM，则线段MN即为所求.
点评：作法三与作法一本质上是相同的.
作法归纳：
明确平移的目的是使两条直线重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，即转化成求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小的问题。从而得到一般作法：沿与河岸垂直的方向分别同时平移点A和直线 ，点B和直线b到某个位置，使直线 和直线b重合，点A移动到A′，点B移动到B′，则同样也可以进行求解，留给学有余力的同学课后继续探究。
三、解题反思
1.利用几何画板进行观察数据的变化，探究线段MN位置的变化情况，初步得到建桥的位置。
2.通过平移的方法，可以将所求问题转化为求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题。
3.整个题目的探究过程，化归思想起着主导性的作用，充分体现数学思想的重要指导意义。.
问题1 （造桥选址问题）：如下图13.4-6，A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
一、审题分析
（一）题目背景
1.题材背景：本题出自新人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题的问题2。
2.知识背景：（1）平移变换的相关知识。
（2）两点之间，线段最短。 图13.4-6
3.方法背景：（1）会用平移的方法对一个图形进行变换。
（2）会求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小问题。
4.思想背景：化归思想.
（二）学情分析
1.学生特点：学生已在课本第85页的问题1学习了最短路径问题，本题是对最短路径问题的进一步探究。
2.估计学生会遇到的困难和解决策略：
（1）忽略条件“桥与河垂直”
策略：给学生机会犯错，直接连接AB分别交两直线于M和N两点，即为所求. 再引导学生发现问题。
（2）对桥的长度固定不变的理解
策略：利用几何画板进行探究，通过观察数据的变化，可知动点N在移动过程中，线段MN的长度始终不变，再结合题中给的条件：“两岸平行”和“桥与河垂直”进一步理解.
（3）如何确定线段MN的位置
策略：引导学生通过平移，将问题转化为求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题。
（4）如何证明线段MN的位置即为所求
策略：引導学生任取异于MN的线段GH，使GH⊥ ，GH ⊥b，则利用三角形三边关系进行证明。
（三）重、难点
重点：探究利用平移性质和两点之间线段最短解决最短路径问题.
难点：1.如何将实际问题转化为数学问题
2.如何确定线段MN的位置
3..如何证明线段MN的位置即为所求
（四）教学方法 启发式教学
（五）分析题意
本题属于最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大，首先引导学生通过多次读题理解题意，已知A、B两地在一条河的两岸，且河的两岸可以看成是平行的直线，则可画出两条平行的直线a和b，点A和点B是定点，分别位于两直线的两侧.现要建一座桥MN，要求桥与河垂直，即线段MN与直线a，b垂直。所要求的问题是桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短，即线段MN位于何处时，可使AM+MN+NB最小，从而将实际问题转化为数学问题，如图1所示。
二、探究过程
（一）探究线段MN的大致位置
学生在自主探究时，根据两点之间，线段最短，容易想到连接AB分别交直线a，b于M和N两点，则线段MN即为所求。如图2所示，引导学生思考这种作法是否可行，从而发现与题目中的条件“桥与河垂直”相矛盾。
利用几何画板进行探究，当动点N在直线b上移动时，这三条线段的长度之和在不断跟着改变，而线段MN的长度始终是不变的，故只需确定另外两条线段的长度之和最小即可。 点N在移动过程中，通过观察具体数据的变化可知， AM+NB对应的数值先变大后变小（或先变小后变大），从而可以初步得到线段MN的大致位置。进而引导学生思考如何确定线段MN的准确位置。
（二）探究线段MN的准确位置
引导学生复习前面学过的求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小问题，已知A、B两个定点分别位于一条直线 的两侧，要在直线上找到一点使得它到这两个定点的距离之和最小，根据两点之间，线段最短，连接AB与直线 交于一点，即为所求。引导学生对比本题，思考能否通过某种途径将直线a和直线b重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，学生会想到利用平移的方法，从而得到作图思路。
作图步骤：
（1）同时将直线a和点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽。使直线a与直线b重合，点A移动到A′。
（2）连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥ ，垂足为M，连接AM则线段MN即为所求。
（3）如图3所示.从而得到最短路径为：A→M→N→B
（三）证明线段MN的位置即为所求
引导学生在直线b上异于点N任取一点G，过点G作GH⊥ ，垂足为H，连接AH，GB ，A′G，如图4所示，则只需证明AM+ MN +NB
在△A′BG中，根据三边关系得：A′B
（四）多种作图方法
学生在自主探究时，可能会出现以下的作图方法：
作法二：如图5所示，同时将直线 b 和点B沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线b与直线 重合，点B移动到B′ ，连接B′A交直线 于点M，过点M作MN⊥b，垂足为N，则线段MN即为所求.
作法三：如图6所示，将点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.点A移动到A′，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥ ，垂足为M，连接AM，则线段MN即为所求.
点评：作法三与作法一本质上是相同的.
作法归纳：
明确平移的目的是使两条直线重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，即转化成求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小的问题。从而得到一般作法：沿与河岸垂直的方向分别同时平移点A和直线 ，点B和直线b到某个位置，使直线 和直线b重合，点A移动到A′，点B移动到B′，则同样也可以进行求解，留给学有余力的同学课后继续探究。
三、解题反思
1.利用几何画板进行观察数据的变化，探究线段MN位置的变化情况，初步得到建桥的位置。
2.通过平移的方法，可以将所求问题转化为求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题。
3.整个题目的探究过程，化归思想起着主导性的作用，充分体现数学思想的重要指导意义。.