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摘 要：发车时刻表的编制是公交运营调度中的重要工作，为简化公交公司设计发车时刻表的过程与难度，平衡发车运营过程中公交公司与乘客的利益，提出了考虑运营与服务平衡的单线公交时刻表优化方法，将时刻表的制定流程简化为每班车发车时刻的确定。分别建立模型计算发车运营成本与期望服务价值，模型中对各站点乘客累计等待时间的计算考虑了车辆到达各站时刻滞后于发车时刻的情况，以两者加权后的值相等为目标，迭代求解各班车的发车时刻;以佛山公交309线路高峰时段为例进行求解，所得优化后的时刻表与现状运行时刻表相比，公交公司运营成本降低了3.65%，乘客等车时间成本降低了3.53%，且公交公司与乘客成本均衡，定量验证了方法的可行性和有效性。
关键词：公交调度;公交时刻表;迭代求解;发车时刻
中图分类号：U491
文献标志码：A
公交时刻表编制是公交调度中一项关键性工作，既关系到乘客对公交服务的满意度，也关系到公交公司的运营效益。时刻表编制的目的是以客流信息为基础，从优化目标出发，确定公交线路发车间隔，并根据发车间隔制定各班次的发车时间。传统的公交时刻表的编制一般以乘客出行成本最小为主要目标，根据日最大客流断面、小时最大客流断面需求、基于行业服务标准确定行车间隔[1]。不同的发车时刻表对运营结果影响显著，但是由于各地区各城市乃至各个街区的情况均具有不同程度的差异性，很难使用同一套排班方案，往往是由经验丰富的决策者制定相对可靠的初步方案，随着运营过程获得的反馈逐步调整。
从20世纪80年代起，学者们对于公交发车间隔和时刻表编制优化提出了各种优化方法，CEDER[2]根据客流数据调查方法的不同，提出了确定发车频率的四种方法：每日客流最大法、站点最大客流法、断面客流法，以及保证服务水平的改进断面客流法。2003年，牛学勤[3]等人以乘客满意度和企业满意度加权平均值最大为目标，建立公交线路发车频率规划模型，采用一维搜索方法进行求解;近年来，国内外对于单线公交时刻表优化问题的研究多延续了使得公交公司与乘客双方受益最大的方法，2010年，郭淑霞[4]基于时变二源数据，建立了考虑运營商成本、拥挤里程比例和换乘乘客平均候车时间3个目标的公交调度协调模型，采用NSGA-Ⅱ算法求解模型;2015年，HERBON[5]建立了考虑公交公司成本和乘客成本的报童模型来优化公交时刻表;牛帅[6]、许梦菲[7]、张腾飞[8]均以乘客出行成本及公交公司运营成本最小为目标，建立时刻表优化模型，采用一维搜索法或遗传算法进行求解。方雅君等[9]将交叉口的等待延误时间纳入乘客总成本的计算中，建立乘客与公交公司加权总成本最小的发车频率模型进行求解。
总的来说，近年来学者构建的公交时刻表优化模型多为双层规划模型或多目标优化模型，均以乘客及公交公司总成本最小为目标，并未考虑最终公交公司成本与乘客成本的平衡，可能导致追求服务水平的提升而造成公交线网运力结构失衡、车型资源浪费等问题[10]。且求解方法多为启发式算法，在实际使用中较为复杂，所得结果可能并非全局最优解。此外，上述研究在计算站点乘客累计候车时间时，多假设乘客到达率服从均匀分布，与实际情况存在出入。为使公交时刻表的制定步骤简化，更好地适用于公交公司自我调整，本文建立了综合考虑发车后运营成本及服务价值的时刻表优化模型，判断并确定各班车的发车时刻，并对站点乘客候车时间的计算进行优化，编制出更高效可行的公交发车时刻表，具体流程图如下（图1）。
1 发车综合效益模型的建立
1.1 模型的假设
由于公交行驶过程中受多种环境因素的影响，因此，在进行模型的建立时，需要对外部的环境进行部分理想化的概括。因此，参照相关文献[3，6，7，11]，做出如下假设：
1）线路上的公交车型一致，站点上的候车环境基本相同，模型只考虑单向情况;
2）道路环境畅通，无交通事故的发生，公交车按时刻表依次发车，依次到达;
3）仅考虑计划阶段的时刻表设计问题，在计划时间段内车辆在站点间的运行时间是固定的，不考虑随机的车辆行驶时间;
4）所有在站点等车的乘客均上车，且乘客都上车后车辆立刻离站;
5）线路运营完全独立，不受相邻线路的影响，只针对单一的公交线路，不存在公交换乘现象。
1.2 模型建立
1.2.1 期望服务价值
对于供给方公交企业来说，运营车辆后所产生的服务价值来源于需求方乘客为乘坐车辆所付出的成本，即为乘客的等待时间成本与票价支出。其中，由于票价支出既可看做乘客付出的成本，也可看做公交公司的运营利润，两者抵消，因此，模型中未将票价这一变量表现出来[7]。
由于公交车从发车到行驶至各站所需时间不同，因此将各站乘客等待时间的计算区间选做为前后两班车的发车间隔是不准确的，模型在此进行了优化，选取前后两班车到达各站的时间间隔作为站点乘客累计等待时间的计算区间。对于站点j，该站乘客预计等待第i班车辆的时间成本Wj可表示为，
2.1 数据分析
调取309线路2019年12月客流数据，利用Python软件，对客流数据进行初步时空特征分析，得到上行方向（顺德客运总站——羊额官沙村）时间空间特征分布图，如图3和图4所示。
由分布图可知，309线路各站点上车人数差异较大，其中多数站点日均上车人数低于100人，线路客流日分布特性呈典型的双峰型，早高峰时段为7：00—10：00，晚高峰时段为14：00—18：00。为了简化计算，结合线路时空特征分析结果，研究时段选取309路公交工作日高峰时段（7：00—10：00），研究站点选取其中上车人数较多的9个站点（站点1、2、3、4、6、8、9、13、20）。以0.5 h为一时段对各站点高峰期客流情况进行统计，统计结果及各站站间距和站间平均行驶时间如表1所示。 为得到各站点乘客到达率函数表达式，需要通过上车人数反推乘客的到达规律[12]，即拟合线路 的公交客流期望到达率曲线[13]，运用MATLAB软件对7：00—11：00各站点客流到达率进行多项式拟合，以可决系数R2≥0.8为目标进行拟合，得到拟合结果如表2表示。
2.2 基本参数设置
根据国家统计局和广东省统计局公布的数据，取佛山市2019年城镇就业人员年平均工资为72 000 元，按照一年工作时间250日×8 h/日计算，乘客的单位时间候车成本γ为0.6元/min。其余各项参数值依据佛山市公交企业相关规定并参考相关文献[7，13]，具体的设置值如表3。
2.3 优化结果
将7：00定为早高峰第一班公交车的发车时间，时刻定为0，即t1=0，随后将参数及整理数据代入所建模型，依次迭代求解出t2，t3，t4……ti（ti≤180），得到各个可作为发车时刻的时间点，结果如下表4所示。
优化后高峰时段（7：00—10：00）共计发车28班次，预计总服务人次703人，采用公交企业运营总成本及乘客等待时间成本两项指标衡量优化后对公交企业和乘客雙方的影响效果，各项数值及变化率结果如表5所示。
结果显示，相比现状时刻表方案，优化后的时刻表方案在公交公司运营成本方面，降低了3.65%，在乘客等待时间成本上，降低了3.53%，证明了模型的有效性。且乘客成本与公交公司成本一致，达到了平衡企业与乘客双方利益的目标。模型求解过程中，均采用方程迭代求解，直接得出各班车发车时刻，形成时刻表，步骤过程简便，验证了模型的可行性。
3 结论
本文研究了考虑运营与服务平衡的单线公交时刻表优化方法，从公交公司的角度出发，以每次发车的预期效果能够平衡公交公司运营成本与服务乘客水平为目标，优化公交发车时刻表。研究的主要结论包括以下几个方面：
1）建立了考虑运营与服务平衡的公交时刻表优化模型，模型中在计算乘客累计候车时间这一问题上，考虑将车辆的预计到站间隔作为乘客候车时间的计算区间，使得预测结果更加贴近实际。
2）设计了较为简便的时刻表制作方法，相较于传统时刻表先确定班次数，再确定发车间隔的“两步走”制定方法，本文方法在步骤上进行了简化，可直接迭代求解出各班车的发车时刻;相较于以公交公司与乘客总成本最小为目标的优化方法，本文方法更加注重公交公司与乘客双方的利益平衡，避免了一味追求服务水平而造成的公交公司成本过高情况，同时，迭代求解算法相比于遗传算法更加易于操作，便于企业内部对时刻表进行自我调整和优化。
3）利用佛山公交309路的实例数据，使用本文方法对时刻表进行优化，验证了文中模型在简化计算步骤、降低公交公司和乘客成本方面的效果。
综上，本文设计了考虑运营与服务平衡的单线公交时刻表优化方法，以每次发车均都能达到公交公司与乘客利益的平衡为目标，简化发车时刻表计算步骤、降低成本。本研究为公交发车时刻表的设计提供优化方案，促进公交公司提升运营效率。
参考文献：
[1]SALICRU M， FLEURENT C， ARMENGOL J M. Timetable-based operation in urban transport： run-time optimisation and improvements in the operating process[J]. Transportation Research Part A： 2011， 45（8）： 721-740.
[2]CEDER A. Bus frequency determination using passenger count data[J]. Transportation Research Part A： General， 1984， 18（5）： 439-453.
[3]牛学勤， 陈茜， 王炜. 城市公交线路调度发车频率优化模型[J]. 交通运输工程学报， 2003（4）： 68-72.
[4]郭淑霞. 基于时变二源数据的城市公交调度协调模型与算法[D]. 北京： 北京交通大学， 2010.
[5]HERBON A， HADAS Y. Determining optimal frequency and vehicle capacity for public transit routes： a generalized newsvendor model[J]. Transportation Research Part B： Methodological， 2015， 71： 85-99.
[6]牛帅. 基于公交客流分布特性的弹性发车间隔优化研究[D]. 大连： 大连交通大学， 2018.
[7]许梦菲. 单线公交发车频率优化及行车时刻表编制研究[D]. 武汉： 华中科技大学， 2013.
[8]张腾飞. 基于非均衡客流的公交发车时刻表优化研究[D]. 大连： 大连交通大学， 2019.
[9]方雅君， 郑长江， 马庚华， 等. 公交发车频率优化研究[J]. 贵州大学学报（自然科学版）， 2017， 34（6）： 132-135.
[10]姚恩建， 刘彤， 郇宁， 等. 常规公交线路发车间隔及车型配置优化[J]. 北京交通大学学报， 2020， 44（4）： 86-93.
[11]吴影辉， 唐加福. 考虑不均匀发车间隔的公交网络时刻表优化模型[J]. 东北大学学报（自然科学版）， 2016， 37（4）： 461-466.
[12]李孟洋， 李胜利， 贾宁. 基于客流大数据的公交发车班次仿真优化[J]. 综合运输， 2020， 42（12）： 81-85，138. [13]岳大振. 基于乘客到站率的公交發车时刻表优化研究[D]. 济南： 山东大学， 2014.
（责任编辑：于慧梅）
Abstract：
Designing bus timetable is an important work in bus operation and dispatching. To simplify the process and difficulty of designing timetable for bus companies， and balance the benefits of the company and passengers in the process of departure operation， a single line bus schedule optimization method considering the balance of operation and service is proposed， which simplifies the schedule formulation process into the determination of departure time of each bus. The model is established to calculate the departure operation cost and expected service value respectively. In the model， the situation that the arrival time of vehicles at each station lags behind the departure time is considered during the calculation of the cumulative waiting time of passengers at each station. With the weighted value of the two being equal as the goal， the departure time of each bus is solved iteratively. Taking Foshan Bus Line 309 during the peak time as an example， and the optimized timetable is analyzed and solved by using the model. Compared with the current operation timetable， the operation cost of bus company is reduced by 3.65%， the waiting time cost of passengers is reduced by 3.53%， and the cost of bus company and passengers is balanced， which quantitatively verifies the feasibility and effectiveness of the method.
Key words：
bus dispatching; bus timetable; iterative solution; departure time
关键词：公交调度;公交时刻表;迭代求解;发车时刻
中图分类号：U491
文献标志码：A
公交时刻表编制是公交调度中一项关键性工作，既关系到乘客对公交服务的满意度，也关系到公交公司的运营效益。时刻表编制的目的是以客流信息为基础，从优化目标出发，确定公交线路发车间隔，并根据发车间隔制定各班次的发车时间。传统的公交时刻表的编制一般以乘客出行成本最小为主要目标，根据日最大客流断面、小时最大客流断面需求、基于行业服务标准确定行车间隔[1]。不同的发车时刻表对运营结果影响显著，但是由于各地区各城市乃至各个街区的情况均具有不同程度的差异性，很难使用同一套排班方案，往往是由经验丰富的决策者制定相对可靠的初步方案，随着运营过程获得的反馈逐步调整。
从20世纪80年代起，学者们对于公交发车间隔和时刻表编制优化提出了各种优化方法，CEDER[2]根据客流数据调查方法的不同，提出了确定发车频率的四种方法：每日客流最大法、站点最大客流法、断面客流法，以及保证服务水平的改进断面客流法。2003年，牛学勤[3]等人以乘客满意度和企业满意度加权平均值最大为目标，建立公交线路发车频率规划模型，采用一维搜索方法进行求解;近年来，国内外对于单线公交时刻表优化问题的研究多延续了使得公交公司与乘客双方受益最大的方法，2010年，郭淑霞[4]基于时变二源数据，建立了考虑运營商成本、拥挤里程比例和换乘乘客平均候车时间3个目标的公交调度协调模型，采用NSGA-Ⅱ算法求解模型;2015年，HERBON[5]建立了考虑公交公司成本和乘客成本的报童模型来优化公交时刻表;牛帅[6]、许梦菲[7]、张腾飞[8]均以乘客出行成本及公交公司运营成本最小为目标，建立时刻表优化模型，采用一维搜索法或遗传算法进行求解。方雅君等[9]将交叉口的等待延误时间纳入乘客总成本的计算中，建立乘客与公交公司加权总成本最小的发车频率模型进行求解。
总的来说，近年来学者构建的公交时刻表优化模型多为双层规划模型或多目标优化模型，均以乘客及公交公司总成本最小为目标，并未考虑最终公交公司成本与乘客成本的平衡，可能导致追求服务水平的提升而造成公交线网运力结构失衡、车型资源浪费等问题[10]。且求解方法多为启发式算法，在实际使用中较为复杂，所得结果可能并非全局最优解。此外，上述研究在计算站点乘客累计候车时间时，多假设乘客到达率服从均匀分布，与实际情况存在出入。为使公交时刻表的制定步骤简化，更好地适用于公交公司自我调整，本文建立了综合考虑发车后运营成本及服务价值的时刻表优化模型，判断并确定各班车的发车时刻，并对站点乘客候车时间的计算进行优化，编制出更高效可行的公交发车时刻表，具体流程图如下（图1）。
1 发车综合效益模型的建立
1.1 模型的假设
由于公交行驶过程中受多种环境因素的影响，因此，在进行模型的建立时，需要对外部的环境进行部分理想化的概括。因此，参照相关文献[3，6，7，11]，做出如下假设：
1）线路上的公交车型一致，站点上的候车环境基本相同，模型只考虑单向情况;
2）道路环境畅通，无交通事故的发生，公交车按时刻表依次发车，依次到达;
3）仅考虑计划阶段的时刻表设计问题，在计划时间段内车辆在站点间的运行时间是固定的，不考虑随机的车辆行驶时间;
4）所有在站点等车的乘客均上车，且乘客都上车后车辆立刻离站;
5）线路运营完全独立，不受相邻线路的影响，只针对单一的公交线路，不存在公交换乘现象。
1.2 模型建立
1.2.1 期望服务价值
对于供给方公交企业来说，运营车辆后所产生的服务价值来源于需求方乘客为乘坐车辆所付出的成本，即为乘客的等待时间成本与票价支出。其中，由于票价支出既可看做乘客付出的成本，也可看做公交公司的运营利润，两者抵消，因此，模型中未将票价这一变量表现出来[7]。
由于公交车从发车到行驶至各站所需时间不同，因此将各站乘客等待时间的计算区间选做为前后两班车的发车间隔是不准确的，模型在此进行了优化，选取前后两班车到达各站的时间间隔作为站点乘客累计等待时间的计算区间。对于站点j，该站乘客预计等待第i班车辆的时间成本Wj可表示为，
2.1 数据分析
调取309线路2019年12月客流数据，利用Python软件，对客流数据进行初步时空特征分析，得到上行方向（顺德客运总站——羊额官沙村）时间空间特征分布图，如图3和图4所示。
由分布图可知，309线路各站点上车人数差异较大，其中多数站点日均上车人数低于100人，线路客流日分布特性呈典型的双峰型，早高峰时段为7：00—10：00，晚高峰时段为14：00—18：00。为了简化计算，结合线路时空特征分析结果，研究时段选取309路公交工作日高峰时段（7：00—10：00），研究站点选取其中上车人数较多的9个站点（站点1、2、3、4、6、8、9、13、20）。以0.5 h为一时段对各站点高峰期客流情况进行统计，统计结果及各站站间距和站间平均行驶时间如表1所示。 为得到各站点乘客到达率函数表达式，需要通过上车人数反推乘客的到达规律[12]，即拟合线路 的公交客流期望到达率曲线[13]，运用MATLAB软件对7：00—11：00各站点客流到达率进行多项式拟合，以可决系数R2≥0.8为目标进行拟合，得到拟合结果如表2表示。
2.2 基本参数设置
根据国家统计局和广东省统计局公布的数据，取佛山市2019年城镇就业人员年平均工资为72 000 元，按照一年工作时间250日×8 h/日计算，乘客的单位时间候车成本γ为0.6元/min。其余各项参数值依据佛山市公交企业相关规定并参考相关文献[7，13]，具体的设置值如表3。
2.3 优化结果
将7：00定为早高峰第一班公交车的发车时间，时刻定为0，即t1=0，随后将参数及整理数据代入所建模型，依次迭代求解出t2，t3，t4……ti（ti≤180），得到各个可作为发车时刻的时间点，结果如下表4所示。
优化后高峰时段（7：00—10：00）共计发车28班次，预计总服务人次703人，采用公交企业运营总成本及乘客等待时间成本两项指标衡量优化后对公交企业和乘客雙方的影响效果，各项数值及变化率结果如表5所示。
结果显示，相比现状时刻表方案，优化后的时刻表方案在公交公司运营成本方面，降低了3.65%，在乘客等待时间成本上，降低了3.53%，证明了模型的有效性。且乘客成本与公交公司成本一致，达到了平衡企业与乘客双方利益的目标。模型求解过程中，均采用方程迭代求解，直接得出各班车发车时刻，形成时刻表，步骤过程简便，验证了模型的可行性。
3 结论
本文研究了考虑运营与服务平衡的单线公交时刻表优化方法，从公交公司的角度出发，以每次发车的预期效果能够平衡公交公司运营成本与服务乘客水平为目标，优化公交发车时刻表。研究的主要结论包括以下几个方面：
1）建立了考虑运营与服务平衡的公交时刻表优化模型，模型中在计算乘客累计候车时间这一问题上，考虑将车辆的预计到站间隔作为乘客候车时间的计算区间，使得预测结果更加贴近实际。
2）设计了较为简便的时刻表制作方法，相较于传统时刻表先确定班次数，再确定发车间隔的“两步走”制定方法，本文方法在步骤上进行了简化，可直接迭代求解出各班车的发车时刻;相较于以公交公司与乘客总成本最小为目标的优化方法，本文方法更加注重公交公司与乘客双方的利益平衡，避免了一味追求服务水平而造成的公交公司成本过高情况，同时，迭代求解算法相比于遗传算法更加易于操作，便于企业内部对时刻表进行自我调整和优化。
3）利用佛山公交309路的实例数据，使用本文方法对时刻表进行优化，验证了文中模型在简化计算步骤、降低公交公司和乘客成本方面的效果。
综上，本文设计了考虑运营与服务平衡的单线公交时刻表优化方法，以每次发车均都能达到公交公司与乘客利益的平衡为目标，简化发车时刻表计算步骤、降低成本。本研究为公交发车时刻表的设计提供优化方案，促进公交公司提升运营效率。
参考文献：
[1]SALICRU M， FLEURENT C， ARMENGOL J M. Timetable-based operation in urban transport： run-time optimisation and improvements in the operating process[J]. Transportation Research Part A： 2011， 45（8）： 721-740.
[2]CEDER A. Bus frequency determination using passenger count data[J]. Transportation Research Part A： General， 1984， 18（5）： 439-453.
[3]牛学勤， 陈茜， 王炜. 城市公交线路调度发车频率优化模型[J]. 交通运输工程学报， 2003（4）： 68-72.
[4]郭淑霞. 基于时变二源数据的城市公交调度协调模型与算法[D]. 北京： 北京交通大学， 2010.
[5]HERBON A， HADAS Y. Determining optimal frequency and vehicle capacity for public transit routes： a generalized newsvendor model[J]. Transportation Research Part B： Methodological， 2015， 71： 85-99.
[6]牛帅. 基于公交客流分布特性的弹性发车间隔优化研究[D]. 大连： 大连交通大学， 2018.
[7]许梦菲. 单线公交发车频率优化及行车时刻表编制研究[D]. 武汉： 华中科技大学， 2013.
[8]张腾飞. 基于非均衡客流的公交发车时刻表优化研究[D]. 大连： 大连交通大学， 2019.
[9]方雅君， 郑长江， 马庚华， 等. 公交发车频率优化研究[J]. 贵州大学学报（自然科学版）， 2017， 34（6）： 132-135.
[10]姚恩建， 刘彤， 郇宁， 等. 常规公交线路发车间隔及车型配置优化[J]. 北京交通大学学报， 2020， 44（4）： 86-93.
[11]吴影辉， 唐加福. 考虑不均匀发车间隔的公交网络时刻表优化模型[J]. 东北大学学报（自然科学版）， 2016， 37（4）： 461-466.
[12]李孟洋， 李胜利， 贾宁. 基于客流大数据的公交发车班次仿真优化[J]. 综合运输， 2020， 42（12）： 81-85，138. [13]岳大振. 基于乘客到站率的公交發车时刻表优化研究[D]. 济南： 山东大学， 2014.
（责任编辑：于慧梅）
Abstract：
Designing bus timetable is an important work in bus operation and dispatching. To simplify the process and difficulty of designing timetable for bus companies， and balance the benefits of the company and passengers in the process of departure operation， a single line bus schedule optimization method considering the balance of operation and service is proposed， which simplifies the schedule formulation process into the determination of departure time of each bus. The model is established to calculate the departure operation cost and expected service value respectively. In the model， the situation that the arrival time of vehicles at each station lags behind the departure time is considered during the calculation of the cumulative waiting time of passengers at each station. With the weighted value of the two being equal as the goal， the departure time of each bus is solved iteratively. Taking Foshan Bus Line 309 during the peak time as an example， and the optimized timetable is analyzed and solved by using the model. Compared with the current operation timetable， the operation cost of bus company is reduced by 3.65%， the waiting time cost of passengers is reduced by 3.53%， and the cost of bus company and passengers is balanced， which quantitatively verifies the feasibility and effectiveness of the method.
Key words：
bus dispatching; bus timetable; iterative solution; departure time