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对称问题是高中数学中的基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求直线对称的例题、习题,而求直线中的对称问题的方法也很少。鉴于此,本文结合自己的教学实践,谈一下求直线中的对称问题的方法,权作抛砖引玉吧。
直线中的对称问题可以分为四类,即点关点对称、直线关于点对称、点关于直线对称和直线关于直线对称。下面将依次将这四种对称问题的解题方法总结如下。
1 点关于点对称
此类问题可用中点坐标公式求解。解题方法:已知点A(x1,y1),B(x0,y0)求A点关于点B的对称点C
解:令C点坐标(x,y),则可由中点坐标公式得x=2x0-x1,y=2y0-y1所以点C(2x0-x1,2y0-y1)
例1:求点A(2,2)关于点B(-2,-3)的对称点C,答案:(-6,-8)
2 直线关于点对称
此类问题可用距离公式或点关于点对称知识求解。解题方法:已知直线l1:Ax+By+C=0,点P(x0,y0),求直线l1关于点p的对称直线l2的直线方程。
方法一:解:令所求对称直线l2的方程为:Ax+By+C1=0(C1≠C),则由两条平行线之间的距离公式可得直线l1,l2间距离d1=■,又由点P(x0,y0)可得点P到l1的距离d2=■,由对称知识知d1=2d2即■=2■,∴ C-C1=2Ax0+By0+C0(去掉绝对值符号,根据对称知识排除一个C1值)
例2:求直线2x+3y-6=0关于点A(1,-1)对称的直线方程,答案:2x+3y+8=0
例3:求直线l:x-y-2=0关于点B(1,-4)对称的直线方程,答案:x-y-8=0
方法二:解:在所求对称直线l2上任取一点Q(x,y),则点Q关于点P的对称点A(x1,y1),其中x1=2x0-x,y1=2y0-y,由对称知识知点A必在直线l1上,即满足A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0即所求对称直线方程为:-Ax-By+2Ax0+2By0+C=0
例4:求直线l:y=■x-1关于点A(2,3)对称的直线方程,答案:x-2y+10=0
例5:求直线y=x+1关于原点对称的直线方程,答案:x-y-1=0
3 点关于直线对称
此类问题可用直线垂直及中点公式求得。解题方法:已知点P(x1,y1),直线l:Ax+By+C=0,点P关于直线l的对称点Q(x,y)
方法一:解:由P(x1,y1),Q(x,y)可得PQ连线的中点M(■,■),由对称知识知M点在直线上,所以A■+B■+C ①,又由直线PQ⊥l可得■·(-■)=-1即B(x-x1)-A(y-y1)=0 ②,联立①②即可得对称点Q的坐标。
例6:求点(3,9)关于直线x+3y-10=0的对称点坐标,答案:(-1,-3)
例7:求点(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点坐标,答案:(-6,-8)
方法二:由直线PQ⊥l可令直线PQ的方程为Bx-Ay+C1=0,因点P在直线PQ 上,则满足Bx1-Ay1+C1=0,∴C1=Ay1-Bx1,故直线PQ的方程为:Bx-Ay+Ay1-Bx1=0,由对称知识知PQ与l交点必为PQ中点MAx+By+C=0Bx-Ay+Ay1-Bx1=0得M(■,■),则由点关于点对称知识可得P点关于M的对称点Q(■,■)
例8:求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标,答案:(1,4)
例9:求点P(1,3)关于直线x-y-1=0的对称点坐标,答案:(2,2)
4 直线关于直线对称
此类问题可分为两种情形:两对称直线相交和两对称直线平行。对于第一种情形,可用点关于直线对称知识求解。而后一种情形可用两平行直线之间的距离公式求解。
情形一:两对称直线相交。解题方法:已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B2-A2B1≠0),求直线l1关于直线l2的对称直线l3的方程。
解:由对称知识知l1,l2,l3三条直线必交于一点,即l1,l2 的交点必在直线l3上,联立方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0解得l1,l2的交点M,在直线l1上任取一点P(x0,y0),则利用点关于直线对称知识求出点P关于l2的对称点N,由M,N利用两点式即可求得直线l3的方程。
例10:求直线x-y+1=0关于直线2x-y=0对称的直线方程,答案:7x-y-5=0
情形二:两对称直线平行。解题方法:已知直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线l3的方程。
解:由对称知识知l1,l3平行,则令直线l3的方程为:Ax+By+C3=0,由两平行直线间距离公式可得l1,l2间距离d1=■,l2,l3间距离d2=■,由对称知识知d1=d2即■=■,∴ C2-C1=C3-C1(利用对称知识舍去一个C值)
例11:求直线2x+y-1=0关于直线2x+y+1=0的对称直线方程,答案:2x+y+3=0
以上是在求直线中的对称问题时的常用方法,粗陋之处,敬请方家指正。
直线中的对称问题可以分为四类,即点关点对称、直线关于点对称、点关于直线对称和直线关于直线对称。下面将依次将这四种对称问题的解题方法总结如下。
1 点关于点对称
此类问题可用中点坐标公式求解。解题方法:已知点A(x1,y1),B(x0,y0)求A点关于点B的对称点C
解:令C点坐标(x,y),则可由中点坐标公式得x=2x0-x1,y=2y0-y1所以点C(2x0-x1,2y0-y1)
例1:求点A(2,2)关于点B(-2,-3)的对称点C,答案:(-6,-8)
2 直线关于点对称
此类问题可用距离公式或点关于点对称知识求解。解题方法:已知直线l1:Ax+By+C=0,点P(x0,y0),求直线l1关于点p的对称直线l2的直线方程。
方法一:解:令所求对称直线l2的方程为:Ax+By+C1=0(C1≠C),则由两条平行线之间的距离公式可得直线l1,l2间距离d1=■,又由点P(x0,y0)可得点P到l1的距离d2=■,由对称知识知d1=2d2即■=2■,∴ C-C1=2Ax0+By0+C0(去掉绝对值符号,根据对称知识排除一个C1值)
例2:求直线2x+3y-6=0关于点A(1,-1)对称的直线方程,答案:2x+3y+8=0
例3:求直线l:x-y-2=0关于点B(1,-4)对称的直线方程,答案:x-y-8=0
方法二:解:在所求对称直线l2上任取一点Q(x,y),则点Q关于点P的对称点A(x1,y1),其中x1=2x0-x,y1=2y0-y,由对称知识知点A必在直线l1上,即满足A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0即所求对称直线方程为:-Ax-By+2Ax0+2By0+C=0
例4:求直线l:y=■x-1关于点A(2,3)对称的直线方程,答案:x-2y+10=0
例5:求直线y=x+1关于原点对称的直线方程,答案:x-y-1=0
3 点关于直线对称
此类问题可用直线垂直及中点公式求得。解题方法:已知点P(x1,y1),直线l:Ax+By+C=0,点P关于直线l的对称点Q(x,y)
方法一:解:由P(x1,y1),Q(x,y)可得PQ连线的中点M(■,■),由对称知识知M点在直线上,所以A■+B■+C ①,又由直线PQ⊥l可得■·(-■)=-1即B(x-x1)-A(y-y1)=0 ②,联立①②即可得对称点Q的坐标。
例6:求点(3,9)关于直线x+3y-10=0的对称点坐标,答案:(-1,-3)
例7:求点(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点坐标,答案:(-6,-8)
方法二:由直线PQ⊥l可令直线PQ的方程为Bx-Ay+C1=0,因点P在直线PQ 上,则满足Bx1-Ay1+C1=0,∴C1=Ay1-Bx1,故直线PQ的方程为:Bx-Ay+Ay1-Bx1=0,由对称知识知PQ与l交点必为PQ中点MAx+By+C=0Bx-Ay+Ay1-Bx1=0得M(■,■),则由点关于点对称知识可得P点关于M的对称点Q(■,■)
例8:求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标,答案:(1,4)
例9:求点P(1,3)关于直线x-y-1=0的对称点坐标,答案:(2,2)
4 直线关于直线对称
此类问题可分为两种情形:两对称直线相交和两对称直线平行。对于第一种情形,可用点关于直线对称知识求解。而后一种情形可用两平行直线之间的距离公式求解。
情形一:两对称直线相交。解题方法:已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B2-A2B1≠0),求直线l1关于直线l2的对称直线l3的方程。
解:由对称知识知l1,l2,l3三条直线必交于一点,即l1,l2 的交点必在直线l3上,联立方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0解得l1,l2的交点M,在直线l1上任取一点P(x0,y0),则利用点关于直线对称知识求出点P关于l2的对称点N,由M,N利用两点式即可求得直线l3的方程。
例10:求直线x-y+1=0关于直线2x-y=0对称的直线方程,答案:7x-y-5=0
情形二:两对称直线平行。解题方法:已知直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线l3的方程。
解:由对称知识知l1,l3平行,则令直线l3的方程为:Ax+By+C3=0,由两平行直线间距离公式可得l1,l2间距离d1=■,l2,l3间距离d2=■,由对称知识知d1=d2即■=■,∴ C2-C1=C3-C1(利用对称知识舍去一个C值)
例11:求直线2x+y-1=0关于直线2x+y+1=0的对称直线方程,答案:2x+y+3=0
以上是在求直线中的对称问题时的常用方法,粗陋之处,敬请方家指正。