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摘 要 利用传输矩阵的方法，研究一维光子晶体基本周期的介质排列顺序对光子禁带的影响以及光波入射角度对禁带宽度和禁带中心波长的影响。通过MATLAB仿真，结果表明，在入射角一定的情况下，光子晶体的介质排列顺序对光子禁带的宽度和中心波长没有影响。在入射角从0°-85°的变化过程中，禁带的宽度由514 nm增加到614 nm，禁带的中心位置由1593 nm减小到1411 nm。
关键词 一维光子晶体；传输矩阵；基本周期；禁带宽度；禁带中心波长
中图分类号：O734 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2013）21-0049-02
光子晶体由S.John和E.Yablonovitch独立提出，它是由不同折射率的介质周期性排列而成的人工微结构。在一定频率范围内的光波能通过光子晶体，形成光子导带。另一些频率光波不能通过，形成光子禁带。自从提出光子晶体概念以来，光子晶体的理论得到迅速发展。王旭东等人研究了带隙相对宽度随介质折射率比值变化的规律，认为在结构及折射率一定的情况下，调整介质的大小，不能改变带隙的相对宽度。刘启能研究了一维光子晶体禁带的全貌结构，为设计一光子晶体全能反射器提供了理论依据。舒森等人对一维光子晶体滤波器进行了研究，设计出了水下激光通信的窄带滤光片。
笔者是在光子晶体折射率取定的情况下，改变基本周期内介质的排列顺序，进而分析其对一维光子晶体禁带的影响。利用传输矩阵的方法，分析并讨论了光子禁带宽度及禁带中心波长随入射光波角度的变化。
1 传输矩阵
折射率n1、n2，厚度为a、b的两种介质交替周期排列即可组成一维光子晶体结构，周期厚度即为d=a+b，这一结构与多层介质膜相同，空气折射率为n0=1。
根据薄膜光学理论，光在每层介质中的传输特性可用一个的特征矩阵表示，对于第j层介质，其特征矩阵为：
（1）
式中，
（2）
nj、dj为该介质层的光学厚度，θj为光线在该介质层中与界面法线方向的夹角，λ为入射光的波长。由两层介质组成的一个基本周期单元，其特征矩阵为：
（3）
=
N个基本周期组成的光子晶体总特征矩阵为：
（4）
则光子晶体对光波的反射系数为：
（5）
透射率为： （6）
反射率T=O时形成光子禁带。
2 数值计算结果与讨论
2.1 基本周期内介质排列顺序对光子禁带的影响
每个基本由两层介质组成，介质的折射率分别为n1=2.822，n2=1.655，中心波长λ=1550nm。每层介质的光学厚度n1a=n2b=λ/4，周期层数N=20，入射角θ=0°作出两层介质排列顺序不同时一维光子晶体的透射谱（图1（a）、（b））。
（a） （b）
图1 入射角为0°时两种介质不同排列顺序的透射谱：
（a）AB排列；（b）BA排列
图1（a）图和（b）中的禁带宽度都是533 nm，禁带的中心位置都在1595.5 nm处。图1表明，在入射角为0°时，改变基本周期内介质的排列顺序，禁带宽度和禁带中心波长并没有发生变化。把入射角改为45°。经过仿真，禁带宽度都是569 nm，禁带的中心位置都在1507.5 nm处。这表明入射角为45°时，改变基本周期内介质的排列顺序不影响禁带宽度和禁带中心波长。经过多次仿真，只要角度取定，改变基本周期内两层介质的排列顺序不影响禁带宽度和禁带中心波长。
如果基本周期由A、B、C三层介质组成，介质C的折射率为n3，光学厚度n1a=n2b=n3c=λ/4，在入射角为0°时，分别做出三层介质排列顺序不同时的一维光子晶体的透射谱（图2）。
（a） （b）
（c） （d）
图2 入射谱角为0°时三种介质不同排列顺序的透射谱：
（a）ABC排列；（b） BAC排列； （c）CBA排列；（d） CAB排列
图2表明，在入射角为0°时，图（a）的禁带上限是2828 nm，下限是1998 nm。图（b）的禁带上限是2830 nm，下限是2000nm。图（b）的禁带上限是2829 nm，下限是1999 nm。图（d）的禁带上限是2830 nm，下限是2000 nm。由于取数存在误差，我们可以认为在入射角一定情况下改变基本周期内三层介质的排列顺序不影响禁带宽度和禁带中心波长。经过多次仿真，无论基本周期的内的介质是多少层，改变其排列顺序，不影响禁带宽度和禁带中心波长。对比图1与图2可以发现，三元光子晶体与二元光子晶体的禁带特征有所不同，波长为300 nm至2000 nm的范围内三元光子晶体具有4个禁带，最宽的禁带是840 nm。而二元光子晶体具有两个禁带，较宽的禁带是530 nm。所以三元光子晶体的禁带宽度大于二元光子晶体。
2.2 光波入射角对光子禁带宽度及禁带中心波长的影响
在2.1节的基础上，本节重点分析光波入射角θ对光子禁带宽度及禁带中心波长的影响。一个基本周期是由两层介质A、B组成，排列顺序为AB，光学厚度、折射率和周期层数N均与2.1节相同。利用MATLAB软件，入射角在0°到90°变化过程中，每隔5°作出不同入射角下一维光子晶体的透射谱。通过仿真表明入射角不同时禁带的中心波长和禁带宽度发生了变化。（图3）
图3 禁带宽度和禁带中心波长随入射角的变化
图3表明，入射角从0°到85°的变化过程中，禁带的中心波长由1593 nm逐渐减小到1443.5 nm。禁带宽度从526 nm逐渐增加到593 nm。入射角在0°到20°变化的过程中，禁带宽度增加的较慢，禁带的中心波长减少的也比较慢。θ在20°到70°变化的过程中，禁带宽度增加较快，禁带的中心波长呈线性迅速下降。θ在70°到85°变化的过程中，禁带宽度增速减慢，禁带中心波长增速也减慢。 3 结论
本文利用传输矩阵法，研究了基本周期单元内介质排列顺序对光子禁带的影响以及光波入射角对光子禁带宽度及禁带中心波长的影响。选取基本周期单元的折射率n1=2.822，n2=1.655，周期数N=20。数值计算结果表明，在入射角一定的情况下，基本周期内介质的排列顺序AB，BA不影响一维光子晶体的禁带宽度和禁带的中心波长，如果基本周期的介质是三层，排列顺序也不影响禁带宽度与中心波长，而且三元光子晶体的禁带宽度大于二元光子晶体。此外，在其他条件不变时，随着光波入射角在0°到85°的变化过程中，光子禁带宽度，禁带的宽度由514 nm增加到614 nm，禁带的中心波长由1593 nm减小到1411 nm。利用这个结论，我们可以通过调节光波的入射角来控制我们所要滤除的波段。
参考文献
[1]Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics [J].Phys. Rev. Lett.，1987，58：2059-2062.
[2]Chen Lixue， Kim Dalwoo， Song Yinglin et al. Localization and threshold of bistable switching by gap-edge shifting[J].Chin. Phys.Lett.，2003，20（9）：1514-1516.
[3]王旭东，闫珂柱，刘芳.光子晶体带隙随介质折射率变化规律的研究[J].光电子.激光，2003，3（10）：1064-1065.
[4]刘启能 一维光子晶体禁带的全貌结构[J].光子晶体，2007，44（1）：65-68.
[5]舒森，陈明松.一维光子晶体滤波器的设计[J].桂林电子科技大学学报，2008，28（3）：111-112.
[6]马科斯.波恩，埃米尔.沃尔夫.光学原理（第七版）[M].北京：电子工业出版社，2005：49-54.
作者简介
刘岳飞，西南民族大学电气信息工程学院2011届本科，专业方向：光子晶体。
注：作者肖峻为本文指导老师。
关键词 一维光子晶体；传输矩阵；基本周期；禁带宽度；禁带中心波长
中图分类号：O734 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2013）21-0049-02
光子晶体由S.John和E.Yablonovitch独立提出，它是由不同折射率的介质周期性排列而成的人工微结构。在一定频率范围内的光波能通过光子晶体，形成光子导带。另一些频率光波不能通过，形成光子禁带。自从提出光子晶体概念以来，光子晶体的理论得到迅速发展。王旭东等人研究了带隙相对宽度随介质折射率比值变化的规律，认为在结构及折射率一定的情况下，调整介质的大小，不能改变带隙的相对宽度。刘启能研究了一维光子晶体禁带的全貌结构，为设计一光子晶体全能反射器提供了理论依据。舒森等人对一维光子晶体滤波器进行了研究，设计出了水下激光通信的窄带滤光片。
笔者是在光子晶体折射率取定的情况下，改变基本周期内介质的排列顺序，进而分析其对一维光子晶体禁带的影响。利用传输矩阵的方法，分析并讨论了光子禁带宽度及禁带中心波长随入射光波角度的变化。
1 传输矩阵
折射率n1、n2，厚度为a、b的两种介质交替周期排列即可组成一维光子晶体结构，周期厚度即为d=a+b，这一结构与多层介质膜相同，空气折射率为n0=1。
根据薄膜光学理论，光在每层介质中的传输特性可用一个的特征矩阵表示，对于第j层介质，其特征矩阵为：
（1）
式中，
（2）
nj、dj为该介质层的光学厚度，θj为光线在该介质层中与界面法线方向的夹角，λ为入射光的波长。由两层介质组成的一个基本周期单元，其特征矩阵为：
（3）
=
N个基本周期组成的光子晶体总特征矩阵为：
（4）
则光子晶体对光波的反射系数为：
（5）
透射率为： （6）
反射率T=O时形成光子禁带。
2 数值计算结果与讨论
2.1 基本周期内介质排列顺序对光子禁带的影响
每个基本由两层介质组成，介质的折射率分别为n1=2.822，n2=1.655，中心波长λ=1550nm。每层介质的光学厚度n1a=n2b=λ/4，周期层数N=20，入射角θ=0°作出两层介质排列顺序不同时一维光子晶体的透射谱（图1（a）、（b））。
（a） （b）
图1 入射角为0°时两种介质不同排列顺序的透射谱：
（a）AB排列；（b）BA排列
图1（a）图和（b）中的禁带宽度都是533 nm，禁带的中心位置都在1595.5 nm处。图1表明，在入射角为0°时，改变基本周期内介质的排列顺序，禁带宽度和禁带中心波长并没有发生变化。把入射角改为45°。经过仿真，禁带宽度都是569 nm，禁带的中心位置都在1507.5 nm处。这表明入射角为45°时，改变基本周期内介质的排列顺序不影响禁带宽度和禁带中心波长。经过多次仿真，只要角度取定，改变基本周期内两层介质的排列顺序不影响禁带宽度和禁带中心波长。
如果基本周期由A、B、C三层介质组成，介质C的折射率为n3，光学厚度n1a=n2b=n3c=λ/4，在入射角为0°时，分别做出三层介质排列顺序不同时的一维光子晶体的透射谱（图2）。
（a） （b）
（c） （d）
图2 入射谱角为0°时三种介质不同排列顺序的透射谱：
（a）ABC排列；（b） BAC排列； （c）CBA排列；（d） CAB排列
图2表明，在入射角为0°时，图（a）的禁带上限是2828 nm，下限是1998 nm。图（b）的禁带上限是2830 nm，下限是2000nm。图（b）的禁带上限是2829 nm，下限是1999 nm。图（d）的禁带上限是2830 nm，下限是2000 nm。由于取数存在误差，我们可以认为在入射角一定情况下改变基本周期内三层介质的排列顺序不影响禁带宽度和禁带中心波长。经过多次仿真，无论基本周期的内的介质是多少层，改变其排列顺序，不影响禁带宽度和禁带中心波长。对比图1与图2可以发现，三元光子晶体与二元光子晶体的禁带特征有所不同，波长为300 nm至2000 nm的范围内三元光子晶体具有4个禁带，最宽的禁带是840 nm。而二元光子晶体具有两个禁带，较宽的禁带是530 nm。所以三元光子晶体的禁带宽度大于二元光子晶体。
2.2 光波入射角对光子禁带宽度及禁带中心波长的影响
在2.1节的基础上，本节重点分析光波入射角θ对光子禁带宽度及禁带中心波长的影响。一个基本周期是由两层介质A、B组成，排列顺序为AB，光学厚度、折射率和周期层数N均与2.1节相同。利用MATLAB软件，入射角在0°到90°变化过程中，每隔5°作出不同入射角下一维光子晶体的透射谱。通过仿真表明入射角不同时禁带的中心波长和禁带宽度发生了变化。（图3）
图3 禁带宽度和禁带中心波长随入射角的变化
图3表明，入射角从0°到85°的变化过程中，禁带的中心波长由1593 nm逐渐减小到1443.5 nm。禁带宽度从526 nm逐渐增加到593 nm。入射角在0°到20°变化的过程中，禁带宽度增加的较慢，禁带的中心波长减少的也比较慢。θ在20°到70°变化的过程中，禁带宽度增加较快，禁带的中心波长呈线性迅速下降。θ在70°到85°变化的过程中，禁带宽度增速减慢，禁带中心波长增速也减慢。 3 结论
本文利用传输矩阵法，研究了基本周期单元内介质排列顺序对光子禁带的影响以及光波入射角对光子禁带宽度及禁带中心波长的影响。选取基本周期单元的折射率n1=2.822，n2=1.655，周期数N=20。数值计算结果表明，在入射角一定的情况下，基本周期内介质的排列顺序AB，BA不影响一维光子晶体的禁带宽度和禁带的中心波长，如果基本周期的介质是三层，排列顺序也不影响禁带宽度与中心波长，而且三元光子晶体的禁带宽度大于二元光子晶体。此外，在其他条件不变时，随着光波入射角在0°到85°的变化过程中，光子禁带宽度，禁带的宽度由514 nm增加到614 nm，禁带的中心波长由1593 nm减小到1411 nm。利用这个结论，我们可以通过调节光波的入射角来控制我们所要滤除的波段。
参考文献
[1]Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics [J].Phys. Rev. Lett.，1987，58：2059-2062.
[2]Chen Lixue， Kim Dalwoo， Song Yinglin et al. Localization and threshold of bistable switching by gap-edge shifting[J].Chin. Phys.Lett.，2003，20（9）：1514-1516.
[3]王旭东，闫珂柱，刘芳.光子晶体带隙随介质折射率变化规律的研究[J].光电子.激光，2003，3（10）：1064-1065.
[4]刘启能 一维光子晶体禁带的全貌结构[J].光子晶体，2007，44（1）：65-68.
[5]舒森，陈明松.一维光子晶体滤波器的设计[J].桂林电子科技大学学报，2008，28（3）：111-112.
[6]马科斯.波恩，埃米尔.沃尔夫.光学原理（第七版）[M].北京：电子工业出版社，2005：49-54.
作者简介
刘岳飞，西南民族大学电气信息工程学院2011届本科，专业方向：光子晶体。
注：作者肖峻为本文指导老师。