论文部分内容阅读
摘要：新数学课程标准指出，数学教学应通过启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。而深度学习则是激发学生学习兴趣，促进学生数学素养提升的方式之一。本文将从变式教学角度，通过案例分析，将深度学习落实到中学课堂中。
关键词：变式教学;深度学习;引导
《普通高中数学课程标准（2017年版）》认为通过数学教育，要帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识、技能、思想和方法;提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界;促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任;促进学生形成正确人生观、价值观、世界观。由此可见，在数学基础知识的获得之后，现代教育学者们更为注重学生在获得知识的过程中思维、能力、品德的发展。这就要求学生不再只是单一的接受教师所教授的知识，而是能够以批判性的思维去深入思考所学的新知识、新思想，而后将其吸收、纳入自身认知结构中，形成自己的知识网络结构。当遇到新的情境时时，能够有发现问题、提出问题的能力，能够在分析问题的过程中将所学知识迁移至新情境中，进而能够有解决问题的能力。而这，恰巧是深度学习的过程。因此，如何将深度学习落实到课堂是现代教育工作者极其关注的一个问题。
近年来，许多一线教育工作中都曾尝试将深度学习代入了课堂， 他们主要采取以问题导向的教学方式， 通过问题从单一到综合， 从结果指向到多维探究， 启发学生的深层思考，帮助学生在自己的认知环境下积极探寻概念的深层内涵。而我认为，能够引导学生对数学知识、数学问题形成循序渐进的思考方式，一题多变、一题多解、多题一解等都是可以用以实施的教学手段。将其作进一步的概括，它们指向的就是变式教学。
顾泠沅教授认为变式教学可分为概念性变式和过程性变式两种。概念性变式主要是说明如何使学生理解一个概念本质属性的教学方式，是围绕一个概念的理解的教学方式。过程性变式是将概念形成和解决问题过程分解为一系列过程，从而帮助学生形成概念和解决问题。而我认为，为了使学生在变式的过程中对数学有更深层次的认识，“变式”应更具广泛性，不能仅限于单个概念的理解或单个问题的解决，还应包括从一个概念通过变式去生成多个概念，由一个命题通过变式去生成多个命题。因此，变式教学就是要教师设计恰当的问题情境，提供概念或命题可能会如何变式的诱因，引导学生主动探究去发现新概念或新命题的过程。显然，在这个过程中，学生对所学的概念或命题的内涵理解的更为透彻，对命题间的关系能够以批判性的眼光进行辨析，最终以知识链的形式纳入其认知结构，丰富其知识网络，从而促进了学生的深度学习。
一般说来，对概念或命题的变式，可以通过改变命题的条件、变化图形的位置、设置不同的情境等方式来实现。
案例1：“函数的周期性”变式教学
启发引导1：在学习了函数周期性的定义后，引导学生思考：定义中的条件是什么？能否把条件作一些变化？
变式1：若函数f （x）满足f （x+a）=-f （x）（a≠0），f （x）是周期函数吗？
变式2：若函数f （x）满足f （x+a）= （a≠0），f （x）是周期函数吗？
启发引导2：还能进一步改变条件吗？如果改变了条件，发现它不再是周期函数了，你能否采用添加条件的办法，使它变为周期函数？
变式3：若函数f （x）满足f （x+a）=f （x-a）（a≠0），f （x）是周期函数吗？
变式4：若函数f （x）满足f （x+a）=f （a-x）（a≠0）且f （x）为奇函数，f （x）是周期函数吗？
启发引导3：刚才我们是从改变定义的条件去思考问题的，现在从图象来分析，你能得到一些什么猜想？
变式5：若函数f （x）的图像关于直线x=a和直线x=b对称，f （x）是周期函数吗？
变式6：若函数f （x）的图像关于点（a，0）和点（b，0）对称，f （x）是周期函数吗？
这样的教学设计，通过引导学生对所学概念中的关键性条件进行分析并变式，并对不同条件予以批判性的思维进行思考，能够帮助学生从多个角度深入理解函数周期性的概念，使学生头脑中形成函数周期性概念的体系，从而能应对涉及函数周期性的不同问题解决。同时，在引导过程中不仅使学生对“函数的周期性”这一概念进行了深度学习，也在引导中渗透了学生应当如何去进行数学概念的深度学习。
案例2：一道几何问题的变式教学
题1：如图1，已知：AB=AC，P是BC边的中点。PE⊥AB，PF⊥AC。求证：PF=PE。
启发引导1：解决了这样一个简单的问题之后，引导学生观察题目中的条件是什么，结论是什么。如果将条件的特殊性减弱，引导学生思考，结论还是否成立。
变式1：若P是在△ABC高AP上任意一点，结论还成立吗？
启发引导2：还能换一种方式改变条件吗？如果结论不成立了，那是否会有新的结论呢？引导学生探索发现更为一般的结论。
变式2：如图2，已知：AB=AC，P是BC边上的任意一点。PE⊥AB，PF⊥AC。求证：PF+PE=常数。
启发引导3：还能再进一步减弱条件的特殊性吗？如果改变它条件，结论是否随之改变？引导学生继续探索发现。
变式3：若P是直线BC上任意一点，你能得到类似的结论并证明吗？
启发引导4：能否让条件的范围更广泛呢？如果改变条件，不在具有类似结论，你能否添加一些条件，使得结论再次呈现呢？
变式4：如图3，已知：AB=AC=BC，P是三角形内的任意一点。PE⊥AB，PF⊥AC.求证：PF+PE+PG=常数。
变式5：若P在△ABC外部运动，你能得到类似的结论并证明吗？
启发引导5：如果能将条件彻底一般化，你能发现什么结论呢？引导学生通过之前的探索方式，继续深入挖掘题目背后的思想。
变式6：△ABC中，三边AB，BC，AC上的高分别为h1，h2，h3。P是三角形内任一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为d1，d2，d3。求证： 。
这样的教学设计，从一个简单的问题，通过对条件的限制程度从而变化图形位置进行变式，从多个维度思考其一般性规律，即探索产生数学规律的本质原因。在对问题一般化的过程中，引导学生思考解决数学问题的方法，其渗透的数学思想;对问题的结论进行反思，对数学的本质进行顿悟。这也就是，引导、促使学生在遇到问题时，联想新的情境，从而去经历发现问题、提出问题、分析问题、最终解决问题的过程，以达到数学的深度学习。
由此可见，教师能够通过变式教学的方式，将深度学习落实到数学教学中，引导学生对数学知识进行深度的理解;引导学生对数学问题进行深度的探索、反思;引导对知识间的关系进行批判性的认识;引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。
参考文献：
[1]普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社.2018.
[2]刘晓玫.数学深度学习的教学理解与策略[J].基础教育课程，2019（08）：33-38.
[3]屈佳芬.引領学生深度学习：路径与策略[J].江苏教育研究.2017（28）：72-75.
[4]鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究[J].数学教学.2003（01）：11-12
[5]吴存明.为学生的“深度学习”而教[J].中小学教师培.2019（05）：1-11.
关键词：变式教学;深度学习;引导
《普通高中数学课程标准（2017年版）》认为通过数学教育，要帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识、技能、思想和方法;提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界;促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任;促进学生形成正确人生观、价值观、世界观。由此可见，在数学基础知识的获得之后，现代教育学者们更为注重学生在获得知识的过程中思维、能力、品德的发展。这就要求学生不再只是单一的接受教师所教授的知识，而是能够以批判性的思维去深入思考所学的新知识、新思想，而后将其吸收、纳入自身认知结构中，形成自己的知识网络结构。当遇到新的情境时时，能够有发现问题、提出问题的能力，能够在分析问题的过程中将所学知识迁移至新情境中，进而能够有解决问题的能力。而这，恰巧是深度学习的过程。因此，如何将深度学习落实到课堂是现代教育工作者极其关注的一个问题。
近年来，许多一线教育工作中都曾尝试将深度学习代入了课堂， 他们主要采取以问题导向的教学方式， 通过问题从单一到综合， 从结果指向到多维探究， 启发学生的深层思考，帮助学生在自己的认知环境下积极探寻概念的深层内涵。而我认为，能够引导学生对数学知识、数学问题形成循序渐进的思考方式，一题多变、一题多解、多题一解等都是可以用以实施的教学手段。将其作进一步的概括，它们指向的就是变式教学。
顾泠沅教授认为变式教学可分为概念性变式和过程性变式两种。概念性变式主要是说明如何使学生理解一个概念本质属性的教学方式，是围绕一个概念的理解的教学方式。过程性变式是将概念形成和解决问题过程分解为一系列过程，从而帮助学生形成概念和解决问题。而我认为，为了使学生在变式的过程中对数学有更深层次的认识，“变式”应更具广泛性，不能仅限于单个概念的理解或单个问题的解决，还应包括从一个概念通过变式去生成多个概念，由一个命题通过变式去生成多个命题。因此，变式教学就是要教师设计恰当的问题情境，提供概念或命题可能会如何变式的诱因，引导学生主动探究去发现新概念或新命题的过程。显然，在这个过程中，学生对所学的概念或命题的内涵理解的更为透彻，对命题间的关系能够以批判性的眼光进行辨析，最终以知识链的形式纳入其认知结构，丰富其知识网络，从而促进了学生的深度学习。
一般说来，对概念或命题的变式，可以通过改变命题的条件、变化图形的位置、设置不同的情境等方式来实现。
案例1：“函数的周期性”变式教学
启发引导1：在学习了函数周期性的定义后，引导学生思考：定义中的条件是什么？能否把条件作一些变化？
变式1：若函数f （x）满足f （x+a）=-f （x）（a≠0），f （x）是周期函数吗？
变式2：若函数f （x）满足f （x+a）= （a≠0），f （x）是周期函数吗？
启发引导2：还能进一步改变条件吗？如果改变了条件，发现它不再是周期函数了，你能否采用添加条件的办法，使它变为周期函数？
变式3：若函数f （x）满足f （x+a）=f （x-a）（a≠0），f （x）是周期函数吗？
变式4：若函数f （x）满足f （x+a）=f （a-x）（a≠0）且f （x）为奇函数，f （x）是周期函数吗？
启发引导3：刚才我们是从改变定义的条件去思考问题的，现在从图象来分析，你能得到一些什么猜想？
变式5：若函数f （x）的图像关于直线x=a和直线x=b对称，f （x）是周期函数吗？
变式6：若函数f （x）的图像关于点（a，0）和点（b，0）对称，f （x）是周期函数吗？
这样的教学设计，通过引导学生对所学概念中的关键性条件进行分析并变式，并对不同条件予以批判性的思维进行思考，能够帮助学生从多个角度深入理解函数周期性的概念，使学生头脑中形成函数周期性概念的体系，从而能应对涉及函数周期性的不同问题解决。同时，在引导过程中不仅使学生对“函数的周期性”这一概念进行了深度学习，也在引导中渗透了学生应当如何去进行数学概念的深度学习。
案例2：一道几何问题的变式教学
题1：如图1，已知：AB=AC，P是BC边的中点。PE⊥AB，PF⊥AC。求证：PF=PE。
启发引导1：解决了这样一个简单的问题之后，引导学生观察题目中的条件是什么，结论是什么。如果将条件的特殊性减弱，引导学生思考，结论还是否成立。
变式1：若P是在△ABC高AP上任意一点，结论还成立吗？
启发引导2：还能换一种方式改变条件吗？如果结论不成立了，那是否会有新的结论呢？引导学生探索发现更为一般的结论。
变式2：如图2，已知：AB=AC，P是BC边上的任意一点。PE⊥AB，PF⊥AC。求证：PF+PE=常数。
启发引导3：还能再进一步减弱条件的特殊性吗？如果改变它条件，结论是否随之改变？引导学生继续探索发现。
变式3：若P是直线BC上任意一点，你能得到类似的结论并证明吗？
启发引导4：能否让条件的范围更广泛呢？如果改变条件，不在具有类似结论，你能否添加一些条件，使得结论再次呈现呢？
变式4：如图3，已知：AB=AC=BC，P是三角形内的任意一点。PE⊥AB，PF⊥AC.求证：PF+PE+PG=常数。
变式5：若P在△ABC外部运动，你能得到类似的结论并证明吗？
启发引导5：如果能将条件彻底一般化，你能发现什么结论呢？引导学生通过之前的探索方式，继续深入挖掘题目背后的思想。
变式6：△ABC中，三边AB，BC，AC上的高分别为h1，h2，h3。P是三角形内任一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为d1，d2，d3。求证： 。
这样的教学设计，从一个简单的问题，通过对条件的限制程度从而变化图形位置进行变式，从多个维度思考其一般性规律，即探索产生数学规律的本质原因。在对问题一般化的过程中，引导学生思考解决数学问题的方法，其渗透的数学思想;对问题的结论进行反思，对数学的本质进行顿悟。这也就是，引导、促使学生在遇到问题时，联想新的情境，从而去经历发现问题、提出问题、分析问题、最终解决问题的过程，以达到数学的深度学习。
由此可见，教师能够通过变式教学的方式，将深度学习落实到数学教学中，引导学生对数学知识进行深度的理解;引导学生对数学问题进行深度的探索、反思;引导对知识间的关系进行批判性的认识;引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。
参考文献：
[1]普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社.2018.
[2]刘晓玫.数学深度学习的教学理解与策略[J].基础教育课程，2019（08）：33-38.
[3]屈佳芬.引領学生深度学习：路径与策略[J].江苏教育研究.2017（28）：72-75.
[4]鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究[J].数学教学.2003（01）：11-12
[5]吴存明.为学生的“深度学习”而教[J].中小学教师培.2019（05）：1-11.