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摘要：点的合成运动在理论力学中是非常重要的内容，也是学生普遍反应较难掌握的部分。原因是对于点的合成运动中动点和动系的选取感到无从下手。本文论述了点的合成运动中动点和动系的选取原则及常用的方法，并通过典型的例题进行分析说明，旨在帮助学生正确选取动点动系，解决点的合成运动的相关问题。
关键词：合成运动；动点；动系
中图分类号：G642.4 文献标识码： A
Abstract： Composite motion of a particle is a very important content in theoretical mechanics，and it is a hard part to grasp for the students. The reason is that they have no idea to choose moving point and moving coordinate. The paper stated the selecting principle and the commonly used method on selecting method of moving point and moving coordinate in composite motion of a particle，and the typical examples were analyzed. In order to help students correctly select moving point and moving coordinate correctly，and solve the related problems of composite motion of a particle .
Keywords： composite motion； moving point； moving coordinate
1引言
理論力学是机械、土木类专业的专业基础课。包括静力学、运动学和动力学三大部分。运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。其中点的合成运动是运动学的重点内容。此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。
2点的合成运动概述
在日常生活中，会经常遇到这样的情况。当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。
举个最常见的例子，如图1。人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。而以公共汽车为参考物，则人静止的。可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。再引申一个例子，如图2。沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。
车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。
于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
3一点二系三运动
研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。
3.1两个参考坐标系
研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。
（1）定参考系
建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。 一般将定系固结在地面上，以oxyz坐标系表示。
（2）动参考系
建立在相对于定系（地面）运动着的物体上的坐标系，简称动系。 以o’x’y’z’坐标系表示。
3.2一个研究对象——动点
动点，顾名思义，是作运动的点，但是要明确相对于定系和动系均有运动的点，才能选为动点。
3.3三种运动
（1）动点的绝对运动
动点相对于定参考系的运动成为动点的绝对运动。动点在绝对运动中的速度，称为绝对速度，用 va来表示，动点在绝对运动中的加速度称为绝对加速度，用 aa来表示
（2）动点的相对运动
动点相对于动参考系的运动称为动点的相对运动。动点的相对速度是指动点在相对运动中的速度，用 vr来表示。。动点的相对加速度为动点在绝对运动中的加速度，用 ar来表示。
（3）牵连运动
确定牵连运动是研究点的合成运动的关键环节。牵连运动是动系相对于定系的运动。在这里要特别注意的是动系作为一个整体运动着，因此牵连运动具有刚体运动的特点，如平动或定轴转动。确定牵连运动的前提是找到牵连点。任意瞬时，动系与动点重合的点即为此瞬时动点的牵连点。因此，牵连点是指动系上的点，动点运动到动系上哪一点，该点就是动点的牵连点。某瞬时牵连点的速度称为动点的牵连速度。用ve表示。某瞬时牵连点的加速度称为动点的牵连加速度，用ae表示。
4典型例题分析
理解一点二系三运动定义之后，重点是应用到具体的例题上。下面举两个典型例子说明具体选取的过程。 如图3为凸轮顶杆机构，明白这种机构中主要有两个运动的构件，一个是顶杆AB，在作平行移动，一个是凸轮O，在作定轴转动。在此类机构中，一般是要计算顶杆AB的速度和加速度。顶杆在作平行移动，根据平动的特点，上面各点的速度和加速度都是相同的。所以选择与凸轮接触的点A为动点，动点选定之后，定系一般固结在地面上，以后不用特别说明，关键是选择正确的动系。首先明确动系一定要建立在相对于地面运动着的物体上。在此机构中，顶杆AB和凸轮O均在运动，究竟动系建在哪个构件上？这里要注意到选取动点动系一个非常重要的原则，就是动点和动系不能在同一个物体上。既然动点为AB上的A点，显然动系只能建在凸轮上。分析动点A的三种运动，不难得出以下结论，A点的绝对运动是沿AB的直线运动，相对运动是曲线（凸轮的轮廓线）运动，而牽连运动是绕O点的定轴转动。
图4依然为凸轮顶杆机构，其运动的传递形式与图3完全相同。那么是否可以仍然选择顶杆和凸轮的接触点为动点，动系建立在凸轮上？相信会有很多同学会做出这样的选择。但是，只要稍加推敲，就会发现问题所在。我们选择的动点，一定是一个确定的点。而在图4所示的凸轮顶杆机构中，凸轮与顶杆的接触点会随着机构的运动不断的变化，显然选择接触点是不合适的。在这种情况下，我们要做出另外的选择。此时，通常选择凸轮的轮心C为动点，动系则建在顶杆上。分析一下三种运动，轮心C的绝对运动是绕O点的圆周运动，C点的相对运动是与顶杆的平底相距为半径R的直线运动，因为在机构运动的任意瞬时，C点到平底的距离永远是半径R。牵连运动则是顶杆的平行移动。三种运动分析出来以后，不管是要求顶杆的速度还是加速度，后续的问题就迎刃而解了。
5结论
通过以上的分析，可以看出正确的选择动点、动系对于求解点的合成运动的重要性。在问题面前，首先明确要求解的那一点（或对求解最有帮助的一点），选这一点为动点。动坐标系要建立在相对于地面运动的物体上，且动点和动系不能在同一个物体上。最后，动点相对于动系的运动轨迹要已知，也是一个非常重要的原则。总之，具体问题具体分析，万变不离其宗，掌握选择原则，多加练习，就能够找到正确的解题方法。
参考文献
[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室编.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]陈平.理论力学辅导及习题精解[M].西安：陕西师范大学出版社，2006.
[3]程勒.理论力学思考题解与思考题集[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.
关键词：合成运动；动点；动系
中图分类号：G642.4 文献标识码： A
Abstract： Composite motion of a particle is a very important content in theoretical mechanics，and it is a hard part to grasp for the students. The reason is that they have no idea to choose moving point and moving coordinate. The paper stated the selecting principle and the commonly used method on selecting method of moving point and moving coordinate in composite motion of a particle，and the typical examples were analyzed. In order to help students correctly select moving point and moving coordinate correctly，and solve the related problems of composite motion of a particle .
Keywords： composite motion； moving point； moving coordinate
1引言
理論力学是机械、土木类专业的专业基础课。包括静力学、运动学和动力学三大部分。运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。其中点的合成运动是运动学的重点内容。此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。
2点的合成运动概述
在日常生活中，会经常遇到这样的情况。当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。
举个最常见的例子，如图1。人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。而以公共汽车为参考物，则人静止的。可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。再引申一个例子，如图2。沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。
车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。
于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
3一点二系三运动
研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。
3.1两个参考坐标系
研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。
（1）定参考系
建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。 一般将定系固结在地面上，以oxyz坐标系表示。
（2）动参考系
建立在相对于定系（地面）运动着的物体上的坐标系，简称动系。 以o’x’y’z’坐标系表示。
3.2一个研究对象——动点
动点，顾名思义，是作运动的点，但是要明确相对于定系和动系均有运动的点，才能选为动点。
3.3三种运动
（1）动点的绝对运动
动点相对于定参考系的运动成为动点的绝对运动。动点在绝对运动中的速度，称为绝对速度，用 va来表示，动点在绝对运动中的加速度称为绝对加速度，用 aa来表示
（2）动点的相对运动
动点相对于动参考系的运动称为动点的相对运动。动点的相对速度是指动点在相对运动中的速度，用 vr来表示。。动点的相对加速度为动点在绝对运动中的加速度，用 ar来表示。
（3）牵连运动
确定牵连运动是研究点的合成运动的关键环节。牵连运动是动系相对于定系的运动。在这里要特别注意的是动系作为一个整体运动着，因此牵连运动具有刚体运动的特点，如平动或定轴转动。确定牵连运动的前提是找到牵连点。任意瞬时，动系与动点重合的点即为此瞬时动点的牵连点。因此，牵连点是指动系上的点，动点运动到动系上哪一点，该点就是动点的牵连点。某瞬时牵连点的速度称为动点的牵连速度。用ve表示。某瞬时牵连点的加速度称为动点的牵连加速度，用ae表示。
4典型例题分析
理解一点二系三运动定义之后，重点是应用到具体的例题上。下面举两个典型例子说明具体选取的过程。 如图3为凸轮顶杆机构，明白这种机构中主要有两个运动的构件，一个是顶杆AB，在作平行移动，一个是凸轮O，在作定轴转动。在此类机构中，一般是要计算顶杆AB的速度和加速度。顶杆在作平行移动，根据平动的特点，上面各点的速度和加速度都是相同的。所以选择与凸轮接触的点A为动点，动点选定之后，定系一般固结在地面上，以后不用特别说明，关键是选择正确的动系。首先明确动系一定要建立在相对于地面运动着的物体上。在此机构中，顶杆AB和凸轮O均在运动，究竟动系建在哪个构件上？这里要注意到选取动点动系一个非常重要的原则，就是动点和动系不能在同一个物体上。既然动点为AB上的A点，显然动系只能建在凸轮上。分析动点A的三种运动，不难得出以下结论，A点的绝对运动是沿AB的直线运动，相对运动是曲线（凸轮的轮廓线）运动，而牽连运动是绕O点的定轴转动。
图4依然为凸轮顶杆机构，其运动的传递形式与图3完全相同。那么是否可以仍然选择顶杆和凸轮的接触点为动点，动系建立在凸轮上？相信会有很多同学会做出这样的选择。但是，只要稍加推敲，就会发现问题所在。我们选择的动点，一定是一个确定的点。而在图4所示的凸轮顶杆机构中，凸轮与顶杆的接触点会随着机构的运动不断的变化，显然选择接触点是不合适的。在这种情况下，我们要做出另外的选择。此时，通常选择凸轮的轮心C为动点，动系则建在顶杆上。分析一下三种运动，轮心C的绝对运动是绕O点的圆周运动，C点的相对运动是与顶杆的平底相距为半径R的直线运动，因为在机构运动的任意瞬时，C点到平底的距离永远是半径R。牵连运动则是顶杆的平行移动。三种运动分析出来以后，不管是要求顶杆的速度还是加速度，后续的问题就迎刃而解了。
5结论
通过以上的分析，可以看出正确的选择动点、动系对于求解点的合成运动的重要性。在问题面前，首先明确要求解的那一点（或对求解最有帮助的一点），选这一点为动点。动坐标系要建立在相对于地面运动的物体上，且动点和动系不能在同一个物体上。最后，动点相对于动系的运动轨迹要已知，也是一个非常重要的原则。总之，具体问题具体分析，万变不离其宗，掌握选择原则，多加练习，就能够找到正确的解题方法。
参考文献
[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室编.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]陈平.理论力学辅导及习题精解[M].西安：陕西师范大学出版社，2006.
[3]程勒.理论力学思考题解与思考题集[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.