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我们来做两个游戏：
一、揉皱纸上一段线
用铅笔和尺在纸上画一段线。从线的左端起，标出四个点。然后揉皱这张纸，再把纸展开，但不要把纸摊平，你可以看到这段线在很多方面已经改变了。
瞧，它已经被扭曲了！但并不是所有的性质都改变了。
这段线仍有一些没有改变的性质：它仍然是连着的，从一端到另一端；1到4的位置没有变。如果你从点1开始，沿着线走，就会走到点2，然后点3，最后到点4。
二、拉长一条橡皮筋
找一条橡皮筋，把它剪断，这样就可以把橡皮筋拉成一直线。在橡皮筋上打两个结，然后把这条橡皮筋拉长为原来的两、三倍长。
这是另一种扭曲。拉长改变了橡皮筋的许多性质，但并不是所有的性质都改变了。
拉长的橡皮筋仍有一些没有改变的性质：它仍然是连着的，从一端到另一端；两个结的位置没有变。两个结之间仍隔着一段橡皮筋，左边的结仍然比另一个结更接近橡皮筋的左端。
从前面两个游戏中，我们可以看出线和橡皮筋被扭曲后，有些性质改变了，有些性质不会改变。人们给不会改变的性质一个名称：不变性。
把线以及不同的图形，经过压缩、卷曲或其他方式的扭曲之后，有些性质会改变，有些性质不会改变。研究这些不会改变的性质的学科是“拓扑学”。拓扑学家是研究拓扑学的人。
拓扑学家看到一条揉皱或拉长的线，决不会去测量线有多长，而是试着去找出线的不变性。他们还关心把一条线弯曲成一个圆之后，所产生的一些变化情形。在一张空白的纸上画一个圆。你知道你画的圆对纸产生了什么影响吗？
圆把纸分成两部分。一部分在圆内，另一部分在圆外。
正方形、三角形和圆一样，把纸分成两个部分。一部分在线内，另一部分在线外。即使是一滴小水滴也是一样。
在我们看来，曲线是一条弯曲得很平滑的线。但拓扑学家把任何将纸分成内部和外部的封闭曲线，叫做“简单封闭曲线”。小水滴、圆、三角形和正方形都叫做简单封闭曲线。
在一块橡胶上画一个正方形。这样无论你把正方形拉成任何弯曲的图形，它都有两个不变性。一、所有的曲线，都将橡胶表面分成内部和外部。二、在封闭曲线上的每一个点的位置，都不会改变。A点始终位于B点和D点之间，B点始终位于A点和C点之间，等等。
圆、正方形和小水滴都是简单封闭曲线，数字8也是封闭曲线——因为数字8曲线把纸分成两个内部和一个外部，也就是在曲线内有两个分离的内部，曲线外是一个外部。
你能画一条封闭曲线，把表面划分成一个外部和几个内部吗？
拓扑学家认为，从某一方面来说，棒球和画在纸上的简单封闭曲线很类似。
一个棒球只有一个内部和一个外部。棒球皮以内是棒球，表皮以外就是外部了。
类似简单封闭曲线的东西还有蛋、篮球、足球等。拓扑学家把这些东西分成不同的组。每一组叫做一“族”。棒球、蛋、篮球、足球都属于零族。
★什么是零族？
所有球状物都属于零族。
用黏土捏一个球。在球的表面画一个圆或其他的简单封闭曲线。
用刀沿着球上的曲线切下，你会把这个球切成两个分离的部分。
在球状物的表面上画一条封闭曲线，如果沿着曲线切下，想不把球切成两部分，是不可能的。如果你画的曲线绕过球中央，那么就会把球切成平均的两半。
沿着球上的一条简单封闭曲线切下一圈，你不可能不把球切成两部分。这就是球和所有的球状物都属于零族的原因。零是你不会把球切成两部分的切割次数。
★什么是一族？
有一种形状，你可以在它上面画一个圈，并沿着圈切下，但不会把它切成两部分。你能想象这样的形状吗？比如甜甜圈。
你可以在甜甜圈上画一个圈，并沿着圈切下一小块。
你也可以横切甜甜圈，把它切成两大半。
还有一种切法，可以让你切过甜甜圈，但仍然保持它的完整。
左边的切法可以让你切过甜甜圈，但仍旧保持它的完整。你只要多切一刀，就会把甜甜圈切成两部分。
族的区分，是看你能切多少刀，而不会把东西切成两部分来决定的。这就是球和甜甜圈不同族的原因。
你能够沿着甜甜圈上的一条简单封闭曲线切下一圈，但不会把它切成两部分。所以，甜甜圈属于一族。
除了甜甜圈之外，你还能想出哪些东西属于一族？
唱片呢？咖啡杯呢？
你知道该怎么切吗？
盘子和球都属于零族。不需切开，也不用撕开，黏土做的盘子就能改变成球。同样的，不能用刀切开，也不能用手撕开，你知道怎样把黏土做的甜甜圈改变成咖啡杯吗？
挂锁是属于零族还是一族？
挂锁没锁上时，你没有办法切过它，但不把它切成两部分。所以，当挂锁没锁上时，属于零族。
但是，挂锁锁上时，你无论怎样切下一刀，仍然会保持挂锁的完整。所以，当挂锁锁上时，属于一族。
你能想出任何属于二族的东西吗？
数字8呢？
你知道怎么切两刀，但仍然保持数字8的完整吗？
你不可能切三刀而仍然保持数字8的完整。
不能用刀切开，也不能用手撕开，你知道怎么把黏土做的数字8，改变成有两个把手的汤碗吗？
你能找出其他属于二族的东西吗？
剪刀呢？眼镜的镜框呢？或是椅子？
你还能找出属于三族、四族、五族，甚至更高族的东西吗？
一、揉皱纸上一段线
用铅笔和尺在纸上画一段线。从线的左端起，标出四个点。然后揉皱这张纸，再把纸展开，但不要把纸摊平，你可以看到这段线在很多方面已经改变了。
瞧，它已经被扭曲了！但并不是所有的性质都改变了。
这段线仍有一些没有改变的性质：它仍然是连着的，从一端到另一端；1到4的位置没有变。如果你从点1开始，沿着线走，就会走到点2，然后点3，最后到点4。
二、拉长一条橡皮筋
找一条橡皮筋，把它剪断，这样就可以把橡皮筋拉成一直线。在橡皮筋上打两个结，然后把这条橡皮筋拉长为原来的两、三倍长。
这是另一种扭曲。拉长改变了橡皮筋的许多性质，但并不是所有的性质都改变了。
拉长的橡皮筋仍有一些没有改变的性质：它仍然是连着的，从一端到另一端；两个结的位置没有变。两个结之间仍隔着一段橡皮筋，左边的结仍然比另一个结更接近橡皮筋的左端。
从前面两个游戏中，我们可以看出线和橡皮筋被扭曲后，有些性质改变了，有些性质不会改变。人们给不会改变的性质一个名称：不变性。
把线以及不同的图形，经过压缩、卷曲或其他方式的扭曲之后，有些性质会改变，有些性质不会改变。研究这些不会改变的性质的学科是“拓扑学”。拓扑学家是研究拓扑学的人。
拓扑学家看到一条揉皱或拉长的线，决不会去测量线有多长，而是试着去找出线的不变性。他们还关心把一条线弯曲成一个圆之后，所产生的一些变化情形。在一张空白的纸上画一个圆。你知道你画的圆对纸产生了什么影响吗？
圆把纸分成两部分。一部分在圆内，另一部分在圆外。
正方形、三角形和圆一样，把纸分成两个部分。一部分在线内，另一部分在线外。即使是一滴小水滴也是一样。
在我们看来，曲线是一条弯曲得很平滑的线。但拓扑学家把任何将纸分成内部和外部的封闭曲线，叫做“简单封闭曲线”。小水滴、圆、三角形和正方形都叫做简单封闭曲线。
在一块橡胶上画一个正方形。这样无论你把正方形拉成任何弯曲的图形，它都有两个不变性。一、所有的曲线，都将橡胶表面分成内部和外部。二、在封闭曲线上的每一个点的位置，都不会改变。A点始终位于B点和D点之间，B点始终位于A点和C点之间，等等。
圆、正方形和小水滴都是简单封闭曲线，数字8也是封闭曲线——因为数字8曲线把纸分成两个内部和一个外部，也就是在曲线内有两个分离的内部，曲线外是一个外部。
你能画一条封闭曲线，把表面划分成一个外部和几个内部吗？
拓扑学家认为，从某一方面来说，棒球和画在纸上的简单封闭曲线很类似。
一个棒球只有一个内部和一个外部。棒球皮以内是棒球，表皮以外就是外部了。
类似简单封闭曲线的东西还有蛋、篮球、足球等。拓扑学家把这些东西分成不同的组。每一组叫做一“族”。棒球、蛋、篮球、足球都属于零族。
★什么是零族？
所有球状物都属于零族。
用黏土捏一个球。在球的表面画一个圆或其他的简单封闭曲线。
用刀沿着球上的曲线切下，你会把这个球切成两个分离的部分。
在球状物的表面上画一条封闭曲线，如果沿着曲线切下，想不把球切成两部分，是不可能的。如果你画的曲线绕过球中央，那么就会把球切成平均的两半。
沿着球上的一条简单封闭曲线切下一圈，你不可能不把球切成两部分。这就是球和所有的球状物都属于零族的原因。零是你不会把球切成两部分的切割次数。
★什么是一族？
有一种形状，你可以在它上面画一个圈，并沿着圈切下，但不会把它切成两部分。你能想象这样的形状吗？比如甜甜圈。
你可以在甜甜圈上画一个圈，并沿着圈切下一小块。
你也可以横切甜甜圈，把它切成两大半。
还有一种切法，可以让你切过甜甜圈，但仍然保持它的完整。
左边的切法可以让你切过甜甜圈，但仍旧保持它的完整。你只要多切一刀，就会把甜甜圈切成两部分。
族的区分，是看你能切多少刀，而不会把东西切成两部分来决定的。这就是球和甜甜圈不同族的原因。
你能够沿着甜甜圈上的一条简单封闭曲线切下一圈，但不会把它切成两部分。所以，甜甜圈属于一族。
除了甜甜圈之外，你还能想出哪些东西属于一族？
唱片呢？咖啡杯呢？
你知道该怎么切吗？
盘子和球都属于零族。不需切开，也不用撕开，黏土做的盘子就能改变成球。同样的，不能用刀切开，也不能用手撕开，你知道怎样把黏土做的甜甜圈改变成咖啡杯吗？
挂锁是属于零族还是一族？
挂锁没锁上时，你没有办法切过它，但不把它切成两部分。所以，当挂锁没锁上时，属于零族。
但是，挂锁锁上时，你无论怎样切下一刀，仍然会保持挂锁的完整。所以，当挂锁锁上时，属于一族。
你能想出任何属于二族的东西吗？
数字8呢？
你知道怎么切两刀，但仍然保持数字8的完整吗？
你不可能切三刀而仍然保持数字8的完整。
不能用刀切开，也不能用手撕开，你知道怎么把黏土做的数字8，改变成有两个把手的汤碗吗？
你能找出其他属于二族的东西吗？
剪刀呢？眼镜的镜框呢？或是椅子？
你还能找出属于三族、四族、五族，甚至更高族的东西吗？