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极坐标是新课标选考内容之一,由于是新增的内容,考纲要求比较简单,只有理科学生学,所以在高考中一般以基础题目出现,而圆锥曲线是高考的热点,常以压轴题的形式出现。圆锥曲线问题的基本解题思路,就是借助点的坐标来表达条件,但是,在很多具体问题中,很多几何条件并不方便借助点的直角坐标来表达,从而导至运算繁琐,运算量过大,使得学生望而生畏,半途而废。随着对极坐标知识的深入学习,利用极坐标知识解决某些圆锥曲线问题,常可以化繁为简,高效解答。特别在圆锥曲线的焦点弦类问题及题设中含有垂直、特殊三角形等等这类问题时带来方便。下面举例说明。
一、题设中含有垂直关系
例1:(贵港、来宾市12月联考卷)已知椭圆 的离心率为 ,以原点 为圆心,椭圆 的焦距为直径的圆与直线 相切.
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 为椭圆 上的三个动点, 在第一象限, 关于原点对称,且
求 的面积最小值时, 点的坐标.
解:(1) (过程略)
(2) 方法一:(常规解法)由题意知 ,设 ,
,设 ,由
,所以 ,同理可得 , = ,所以:
= ,
当 ,即 时, 取最小值,此时: .
方法二:(极坐标法)如图:以直角坐标系中的原点
为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.设
則 ,由(1)可得椭圆的直角坐标
方程为 ,化成极坐标方程为
,因为 都在椭圆上,所以有:
------①
------②
------③
由①②③式得: ------④
------⑤
从而有④+⑤得: ,所以有 ,当且仅当 时取等号,此时由 得 ,又由
,依题题知 ,又因为 = ,所求D点极坐标为 ,转化为直角坐标为 .
评注:比较以上两个方法我们可以看到,合理建立极坐标系,利用极坐标系建立相关关系,可以避免繁琐的运算而使问题得到快速解决,彰显极坐标法的好处。
二、圆锥曲线焦点弦问题
1、1.圆锥曲线的统一极坐标方程的推导及结论
如图,以定点O为极点,使极轴 所在的直线垂直于定直线 且 的反向延长线交 于点 ,设 为圆锥曲线上的任意一点,则
,
根据圆锥曲线的统一定义有:
解得 ,该式为圆锥曲线的极坐标方程,其中 是焦点到准线的距离, 为离心率,焦点位于极点,极轴是圆锥曲线的对称轴。按上面的推导的方法,可得到圆锥曲线的统一极坐标方程的其它形式:
析 当 时,表示以左焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向右的抛物线;
当 时,表示以右焦点为极点的双曲线的右支. 当 时,表示以右焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向左的抛物线;
当 时,表示以左焦点为极点的双曲线的左支. 当 时,表示以下焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向上的抛物线;
当 时,表示以上焦点为极点的双曲线的上支. 当 时,表示以上焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向下的抛物线;
当 时,表示以下焦点为极点的双曲线的下支.
2、2.圆锥曲线的焦点弦问题是高考考查的重点,热点,圆锥曲线的极坐标方程解决这类问题带来了简便方法,有效地避免繁琐的代数运算。
例2:(柳州市高三摸底考卷)已知椭圆 ,点 分别为其左,右焦点,点B是短轴的一个端点且 为等腰直角三角形,抛物线 的焦点是椭圆C的一个焦点.
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 若抛物线 上存在两个点 ,椭圆上也存在两个点 ,使 三点共线,
三点共线,且 ,求四边形 面积的最小值.
解:(1) (过程略);
(2)如图以椭圆的右焦点 为极点, 为极轴建立极坐标系,
设 , , , ,由建立的极坐
标系得椭圆的极坐标方程是: ,其中 ,双曲线的极坐标方程是:
,其中 ,所以
,
,有 ,又四边形 面积为
=
= ,又因为 ,所以当 时, .
评注:本题若用常规方法求解,要经过繁琐的代数运算,给解答带来不便,而利用极坐标方法,合理选择相应的方程解决问题,可起到事半功倍的作用。以上角度只是对极坐标在求解圆锥曲线某些类问题的一个初探,事实上,在高考中考查类似的问题有很多,这里就不一一列举了,这里起到一个抛砖引玉的作用。
一、题设中含有垂直关系
例1:(贵港、来宾市12月联考卷)已知椭圆 的离心率为 ,以原点 为圆心,椭圆 的焦距为直径的圆与直线 相切.
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 为椭圆 上的三个动点, 在第一象限, 关于原点对称,且
求 的面积最小值时, 点的坐标.
解:(1) (过程略)
(2) 方法一:(常规解法)由题意知 ,设 ,
,设 ,由
,所以 ,同理可得 , = ,所以:
= ,
当 ,即 时, 取最小值,此时: .
方法二:(极坐标法)如图:以直角坐标系中的原点
为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.设
則 ,由(1)可得椭圆的直角坐标
方程为 ,化成极坐标方程为
,因为 都在椭圆上,所以有:
------①
------②
------③
由①②③式得: ------④
------⑤
从而有④+⑤得: ,所以有 ,当且仅当 时取等号,此时由 得 ,又由
,依题题知 ,又因为 = ,所求D点极坐标为 ,转化为直角坐标为 .
评注:比较以上两个方法我们可以看到,合理建立极坐标系,利用极坐标系建立相关关系,可以避免繁琐的运算而使问题得到快速解决,彰显极坐标法的好处。
二、圆锥曲线焦点弦问题
1、1.圆锥曲线的统一极坐标方程的推导及结论
如图,以定点O为极点,使极轴 所在的直线垂直于定直线 且 的反向延长线交 于点 ,设 为圆锥曲线上的任意一点,则
,
根据圆锥曲线的统一定义有:
解得 ,该式为圆锥曲线的极坐标方程,其中 是焦点到准线的距离, 为离心率,焦点位于极点,极轴是圆锥曲线的对称轴。按上面的推导的方法,可得到圆锥曲线的统一极坐标方程的其它形式:
析 当 时,表示以左焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向右的抛物线;
当 时,表示以右焦点为极点的双曲线的右支. 当 时,表示以右焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向左的抛物线;
当 时,表示以左焦点为极点的双曲线的左支. 当 时,表示以下焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向上的抛物线;
当 时,表示以上焦点为极点的双曲线的上支. 当 时,表示以上焦点为极点的椭圆;
当 时,表示以焦点为极点,开中向下的抛物线;
当 时,表示以下焦点为极点的双曲线的下支.
2、2.圆锥曲线的焦点弦问题是高考考查的重点,热点,圆锥曲线的极坐标方程解决这类问题带来了简便方法,有效地避免繁琐的代数运算。
例2:(柳州市高三摸底考卷)已知椭圆 ,点 分别为其左,右焦点,点B是短轴的一个端点且 为等腰直角三角形,抛物线 的焦点是椭圆C的一个焦点.
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 若抛物线 上存在两个点 ,椭圆上也存在两个点 ,使 三点共线,
三点共线,且 ,求四边形 面积的最小值.
解:(1) (过程略);
(2)如图以椭圆的右焦点 为极点, 为极轴建立极坐标系,
设 , , , ,由建立的极坐
标系得椭圆的极坐标方程是: ,其中 ,双曲线的极坐标方程是:
,其中 ,所以
,
,有 ,又四边形 面积为
=
= ,又因为 ,所以当 时, .
评注:本题若用常规方法求解,要经过繁琐的代数运算,给解答带来不便,而利用极坐标方法,合理选择相应的方程解决问题,可起到事半功倍的作用。以上角度只是对极坐标在求解圆锥曲线某些类问题的一个初探,事实上,在高考中考查类似的问题有很多,这里就不一一列举了,这里起到一个抛砖引玉的作用。