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【摘 要】本文以已有的周边地表沉降为样本，利用最小二乘支持向量机（LS-SVM）建立基坑地表沉降预测模型，应用网格搜索算法优化模型参数，对基坑周边地表沉降进行连续滚动的多步预测。结果表明，LS-SVM用于基坑周边地表沉降预测效果较好，具有所需数据少、推广能力强等优点。
【关键词】LS-SVM；深基坑周边地表沉降；预测
一、引言
随着城市地下空间的开发和高层建筑的大量建设，深基坑工程数量不断增加，其规模和深度也在不断增加。城市中的深基坑工程往往施工场地狭窄，有些工程的基础甚至与既有建筑物或构筑物的基础紧邻。因此，在基坑施工过程中，预估和控制深基坑周围地表沉降以及对周围环境的影响始终是深基坑工程重要的研究课题之一。
目前，神经网络智能方法已成功用于基坑地表沉降列预测，文献[1，2]采用神经网络智能方法，通过训练大量样本和学习建立人工神经网络模型进行基坑周边地表沉降预测。但因基坑施工前期样本少，预测的精度较低。最小二乘支持向量机方法（LS-SVM）[3-5]是标准支持向量机的一种扩展，求解速度相对较快，较好地解决了小样本、非线性、高维数、局部极小点等实际问题，应用到大坝变形预测等领域效果较好[5，6]。鉴此，本文应用LS-SVM方法和滚动时间窗技术，建立基坑周边地表沉降预测模型，应用网格搜索算法优化模型参数，结合某基坑的周边地表沉降时间序列，对地表沉降进行预测。
二、LS-SVM在深基坑周边地表沉降预测中的应用
（一）LS-SVM基本原理
对于一个给定的训练数据集（ xi ， yi ） ， i = 1 ，2 …，l， xi ∈Rn ， yi ∈R ，利用高维特征空间里线性函数（式（1））来拟合样本集：
y（x） = wT Φ（ x） + b （1）
式中，w为权向量； Φ（·）为非线性映射，将数据集从输入空间映射到特征空间；b为常数。
根据结构风险最小化原理，回归问题可表示为约束优化问题：
（2）
约束条件为：yi= wTΦ（ xi ） + b + ei ， i = 1 ，2， …， l。 其中，γ为正则化参数，ei为常值偏差。
利用Lagrange法求解优化问题，可得到如下线性方程组：
（3）
其中， y = [ y1， y2，...， yl]T ， = [1，1， ...， 1]T ，α= [α1，α2，...，αl]T ， Qij = Φ（ xi ） ·Φ（ xj ） = K（ xi ， xj ） ， i ， j = 1 ， 2，...， l。
式中，K（·，·）称为核函数，主要有多项式核函数、高斯径向基（RBF） 核函数和Sigmoid 核函数3 种，其中应用最广泛、性能最好的是RBF 核函数：
K（xi，xj ） = exp（-‖xi-xj‖2/2σ2 ） （4）
式中，为标准化参数。
式（3）非奇异，可得到b、α的解，从而可得LS-SVM函数估计表达式：
（5）
（二）LS-SVM的参数优化
RBF核函数的LS-SVM模型主要参数是和，可采用网格搜索法计算。网格搜索法遍历了搜索范围内所有的参数组合，在参数给定区间内的全局寻优，适合于样本较小的基坑监测模型。其实现步骤如下。
步骤1 在进行网格搜索以前，需要确定参数的选择范围、网格间隔、网格点目标函数值的计算等。给、赋值一个初始值，并确定参数搜索范围。
步骤2 根据、初始值，选择到第一个交叉验证计算的网格点的位置。
步骤3 用10-折交叉验证得到的平均误差作为网格点计算的目标函数，并对所有网格点进行计算。
步骤4 选取使得目标函数最小的参数对为最优参数，若所选择、不满足精度要求，则以所选择的、为中心，在一个较小范围内构建新二维网格平面，进行第二轮计算。重复以上步骤，通过学习得到精确的、值作为参数的最优值。
（三）基于LS-SVM的基坑地表沉降预测模型
在基坑工程施工过程中，一般需要通过前期一定数量的监测数据预测下步某一时间段内坑内土体持续开挖时坑周土体的沉降，以对基坑土体进行控制以及对破坏性变形提前预警。
位移时间序列预测是岩土监测数据分析的一类重要方法和重要研究内容。对位移时间序列u（t）={u（1），u（2），…u（N）}建模，将其分成两部分，其中前n个数据作为训练样本进行预测模型参数估计，p =N-n个数据用于预测检验。具体方法是以前面一定次数的监测数据作为输入，预测其后若干次的沉降值。可以有两种实现的方法，一种是采用多输入、多输出的模型结构，一次性预测出其后若干次的变形值；另一种是采用一次只预测一步的方法，分多步作滚动式动态预测其后多步的沉降值，在后面的预测中，输入数据即将原来的旧的数据更新为最新的实际监测值或者最新的预测值，从而使得预测结果更加符合实际，其模型如下图1所示。
图1 LS-SVM滚动预测模型
Fig1 The model of the slide prediction of LS-SVM
本文采用后面这种方法，即基于时间窗口的滚动预测方法。以各测点不同时刻的沉降u（1）， u（2）， u（3）， ... ， u（n）作为基本的时间序列资料。其样本构建的实施过程是：①首先把u（1）， u（2）， u（3）， ... ， u（n）分成k组，每组m+1个数据，其中k表示训练样本的数量，m表示作为输入的历史点的个数，模型的输入及期望输出见表1所示；②通过对这k组数据样本的学习，得到LS-SVM模型的适当参数③利用学习后的LS-SVM模型，将u（n-m）， u（n-m+1）， u（n-m+2）， ... ， u（n）作为模型的输入量，计算预测值u（n+1）。 表1 滚动预测模型的输入和输出
Table1 The input and output of the slide prediction model
基于最小二乘的支持向量机时间序列预测的步骤如下：
Step1：确定历史点个数和预测步数；
Step2：整理基坑地表沉降的监测数据，形成学习样本；
Step3：确定正则化参数集和RBF核参数集；
Step4：从这两个参数集中选取参数分别进行组合；
Step5：利用所选参数进行最小二乘支持向量机训练；
Step6：返回Step4直到组合结束，选出最佳参数组合；
Step7：利用建立好的模型进行基坑地表沉降预测。
三、实例
（一）工程概况
某基坑位于南京河西地区，场地地貌单元属长江漫滩单元。基坑挖深为8.35m。本基坑工程采用钻孔灌注桩和一道混凝土支撑支护形式。基坑的施工进度见表2。
表2 基坑施工进度
Tab.2 Construction schedule of foundation pit
场地东侧和南侧分别为刚建成的云龙山路和正在建设的楠溪江东街，消防栓已铺设，其余管线未铺设。为保证道路的正常使用和安全建设，对道路靠近基坑的一侧进行了沉降观测。同时为更好地观测数据对道路沉降进行控制，本节采用了LS-SVM的方法对基坑周边道路沉降进行预测。
根据基坑地表沉降观测测点的布置，选取DL4、DL6、DL11和DL13这四个测点的沉降值作为预测算例。 如图2所示。
图2 基坑监测点布置图
Fig.2 Excavation Monitoring Point Arrangement of Foundation Pit
（二）计算参数及结果
本例采用网格搜索法搜索参数，经计算后所采用的参数如下表3所示
表3 沉降计算模型搜索到的模型参数
Table3 The Searched Parameters in Settlement Computing Model
对各测点，以前面的60个沉降观测值作为训练样本，以后面的20个数据作为检验样本，输入建立的LS-SVM模型，计算后得结果如图3所示。
（a） （b）
（c） （d）
图3 DL4、DL6、DL11和DL13四个测点的沉降预测值与观测值的对比
Fig.3 The Predected and Measured Settlement at Points of DL4， DL6， DL11 and DL13
所得计算结果的预测均方根误差如表4所示。
表4 预测均方根误差
Table4 The RMSE of the Predecting
由图3和表3可看出，LS-SVM预测效果较好。由表4可看出，LS-SVM预测均方根误差在0.7以内，LS-SVM最大均方根误差出现在DL13处。计算中发现，当沉降发生突变的时，LS-SVM的预测会出现预测的滞后，经过引入数据重新修正模型后能迅速取得较好的结果。当沉降趋于稳定的时候，LS-SVM的预测结果也更为接近实测值。
四、结论
（一）基坑变形的有效控制是安全施工的关键。而由于土体参数的离散性和复杂性，现有理论很难对其进行有效估计，用最小二乘支持向量机方法，可不断根据新的监测资料对位移进行滚动预测，这种预测具有实时性和较高的精度，为基坑工程施工提供很好的途径。
（二）LS-SVM用于基坑周边地表沉降预测的效果较好，均方根误差较小，具有所需数据少，推广能力强等优点。
【参考文献】
[1] Gordon T C， Kung， Evan C.L. Hsiao， Matt Schuster， C. Hsein Juang. A neural network approach to estimating deflection of diaphragm walls caused by excavation in clays[J]. Computers and Geotechnics， 2007，34（5）：385-396.
[2]葛长峰，胡庆兴，李方明.人工神经网络在预测深基坑周边地表沉降变形中的应用研究[J].防灾减灾工程学报，2008，（04）：519-523.
[3]Suykens J A K，Vandewalle J.Least Squares Support Vector Machines [J].Neurel Processing Letters，1999，9（3）：293-300
[4]阎威武，常俊林，邵惠鹤.基于滚动时间窗的最小二乘支持向量机回归估计方法及仿真[J].上海交通大学学报， 2004， （4） ：524-524.
[5]宋志宇，李俊杰. 最小二乘支持向量机在大坝变形预测中的应用[J].水电能源科学， 2006， 24（6）：49-52.
[6]秦栋，郑雪琴，许后磊.基于提升小波和LS-SVM的大坝变形预测[J].水电能源科学，2010，（9） ： 64–66.
【关键词】LS-SVM；深基坑周边地表沉降；预测
一、引言
随着城市地下空间的开发和高层建筑的大量建设，深基坑工程数量不断增加，其规模和深度也在不断增加。城市中的深基坑工程往往施工场地狭窄，有些工程的基础甚至与既有建筑物或构筑物的基础紧邻。因此，在基坑施工过程中，预估和控制深基坑周围地表沉降以及对周围环境的影响始终是深基坑工程重要的研究课题之一。
目前，神经网络智能方法已成功用于基坑地表沉降列预测，文献[1，2]采用神经网络智能方法，通过训练大量样本和学习建立人工神经网络模型进行基坑周边地表沉降预测。但因基坑施工前期样本少，预测的精度较低。最小二乘支持向量机方法（LS-SVM）[3-5]是标准支持向量机的一种扩展，求解速度相对较快，较好地解决了小样本、非线性、高维数、局部极小点等实际问题，应用到大坝变形预测等领域效果较好[5，6]。鉴此，本文应用LS-SVM方法和滚动时间窗技术，建立基坑周边地表沉降预测模型，应用网格搜索算法优化模型参数，结合某基坑的周边地表沉降时间序列，对地表沉降进行预测。
二、LS-SVM在深基坑周边地表沉降预测中的应用
（一）LS-SVM基本原理
对于一个给定的训练数据集（ xi ， yi ） ， i = 1 ，2 …，l， xi ∈Rn ， yi ∈R ，利用高维特征空间里线性函数（式（1））来拟合样本集：
y（x） = wT Φ（ x） + b （1）
式中，w为权向量； Φ（·）为非线性映射，将数据集从输入空间映射到特征空间；b为常数。
根据结构风险最小化原理，回归问题可表示为约束优化问题：
（2）
约束条件为：yi= wTΦ（ xi ） + b + ei ， i = 1 ，2， …， l。 其中，γ为正则化参数，ei为常值偏差。
利用Lagrange法求解优化问题，可得到如下线性方程组：
（3）
其中， y = [ y1， y2，...， yl]T ， = [1，1， ...， 1]T ，α= [α1，α2，...，αl]T ， Qij = Φ（ xi ） ·Φ（ xj ） = K（ xi ， xj ） ， i ， j = 1 ， 2，...， l。
式中，K（·，·）称为核函数，主要有多项式核函数、高斯径向基（RBF） 核函数和Sigmoid 核函数3 种，其中应用最广泛、性能最好的是RBF 核函数：
K（xi，xj ） = exp（-‖xi-xj‖2/2σ2 ） （4）
式中，为标准化参数。
式（3）非奇异，可得到b、α的解，从而可得LS-SVM函数估计表达式：
（5）
（二）LS-SVM的参数优化
RBF核函数的LS-SVM模型主要参数是和，可采用网格搜索法计算。网格搜索法遍历了搜索范围内所有的参数组合，在参数给定区间内的全局寻优，适合于样本较小的基坑监测模型。其实现步骤如下。
步骤1 在进行网格搜索以前，需要确定参数的选择范围、网格间隔、网格点目标函数值的计算等。给、赋值一个初始值，并确定参数搜索范围。
步骤2 根据、初始值，选择到第一个交叉验证计算的网格点的位置。
步骤3 用10-折交叉验证得到的平均误差作为网格点计算的目标函数，并对所有网格点进行计算。
步骤4 选取使得目标函数最小的参数对为最优参数，若所选择、不满足精度要求，则以所选择的、为中心，在一个较小范围内构建新二维网格平面，进行第二轮计算。重复以上步骤，通过学习得到精确的、值作为参数的最优值。
（三）基于LS-SVM的基坑地表沉降预测模型
在基坑工程施工过程中，一般需要通过前期一定数量的监测数据预测下步某一时间段内坑内土体持续开挖时坑周土体的沉降，以对基坑土体进行控制以及对破坏性变形提前预警。
位移时间序列预测是岩土监测数据分析的一类重要方法和重要研究内容。对位移时间序列u（t）={u（1），u（2），…u（N）}建模，将其分成两部分，其中前n个数据作为训练样本进行预测模型参数估计，p =N-n个数据用于预测检验。具体方法是以前面一定次数的监测数据作为输入，预测其后若干次的沉降值。可以有两种实现的方法，一种是采用多输入、多输出的模型结构，一次性预测出其后若干次的变形值；另一种是采用一次只预测一步的方法，分多步作滚动式动态预测其后多步的沉降值，在后面的预测中，输入数据即将原来的旧的数据更新为最新的实际监测值或者最新的预测值，从而使得预测结果更加符合实际，其模型如下图1所示。
图1 LS-SVM滚动预测模型
Fig1 The model of the slide prediction of LS-SVM
本文采用后面这种方法，即基于时间窗口的滚动预测方法。以各测点不同时刻的沉降u（1）， u（2）， u（3）， ... ， u（n）作为基本的时间序列资料。其样本构建的实施过程是：①首先把u（1）， u（2）， u（3）， ... ， u（n）分成k组，每组m+1个数据，其中k表示训练样本的数量，m表示作为输入的历史点的个数，模型的输入及期望输出见表1所示；②通过对这k组数据样本的学习，得到LS-SVM模型的适当参数③利用学习后的LS-SVM模型，将u（n-m）， u（n-m+1）， u（n-m+2）， ... ， u（n）作为模型的输入量，计算预测值u（n+1）。 表1 滚动预测模型的输入和输出
Table1 The input and output of the slide prediction model
基于最小二乘的支持向量机时间序列预测的步骤如下：
Step1：确定历史点个数和预测步数；
Step2：整理基坑地表沉降的监测数据，形成学习样本；
Step3：确定正则化参数集和RBF核参数集；
Step4：从这两个参数集中选取参数分别进行组合；
Step5：利用所选参数进行最小二乘支持向量机训练；
Step6：返回Step4直到组合结束，选出最佳参数组合；
Step7：利用建立好的模型进行基坑地表沉降预测。
三、实例
（一）工程概况
某基坑位于南京河西地区，场地地貌单元属长江漫滩单元。基坑挖深为8.35m。本基坑工程采用钻孔灌注桩和一道混凝土支撑支护形式。基坑的施工进度见表2。
表2 基坑施工进度
Tab.2 Construction schedule of foundation pit
场地东侧和南侧分别为刚建成的云龙山路和正在建设的楠溪江东街，消防栓已铺设，其余管线未铺设。为保证道路的正常使用和安全建设，对道路靠近基坑的一侧进行了沉降观测。同时为更好地观测数据对道路沉降进行控制，本节采用了LS-SVM的方法对基坑周边道路沉降进行预测。
根据基坑地表沉降观测测点的布置，选取DL4、DL6、DL11和DL13这四个测点的沉降值作为预测算例。 如图2所示。
图2 基坑监测点布置图
Fig.2 Excavation Monitoring Point Arrangement of Foundation Pit
（二）计算参数及结果
本例采用网格搜索法搜索参数，经计算后所采用的参数如下表3所示
表3 沉降计算模型搜索到的模型参数
Table3 The Searched Parameters in Settlement Computing Model
对各测点，以前面的60个沉降观测值作为训练样本，以后面的20个数据作为检验样本，输入建立的LS-SVM模型，计算后得结果如图3所示。
（a） （b）
（c） （d）
图3 DL4、DL6、DL11和DL13四个测点的沉降预测值与观测值的对比
Fig.3 The Predected and Measured Settlement at Points of DL4， DL6， DL11 and DL13
所得计算结果的预测均方根误差如表4所示。
表4 预测均方根误差
Table4 The RMSE of the Predecting
由图3和表3可看出，LS-SVM预测效果较好。由表4可看出，LS-SVM预测均方根误差在0.7以内，LS-SVM最大均方根误差出现在DL13处。计算中发现，当沉降发生突变的时，LS-SVM的预测会出现预测的滞后，经过引入数据重新修正模型后能迅速取得较好的结果。当沉降趋于稳定的时候，LS-SVM的预测结果也更为接近实测值。
四、结论
（一）基坑变形的有效控制是安全施工的关键。而由于土体参数的离散性和复杂性，现有理论很难对其进行有效估计，用最小二乘支持向量机方法，可不断根据新的监测资料对位移进行滚动预测，这种预测具有实时性和较高的精度，为基坑工程施工提供很好的途径。
（二）LS-SVM用于基坑周边地表沉降预测的效果较好，均方根误差较小，具有所需数据少，推广能力强等优点。
【参考文献】
[1] Gordon T C， Kung， Evan C.L. Hsiao， Matt Schuster， C. Hsein Juang. A neural network approach to estimating deflection of diaphragm walls caused by excavation in clays[J]. Computers and Geotechnics， 2007，34（5）：385-396.
[2]葛长峰，胡庆兴，李方明.人工神经网络在预测深基坑周边地表沉降变形中的应用研究[J].防灾减灾工程学报，2008，（04）：519-523.
[3]Suykens J A K，Vandewalle J.Least Squares Support Vector Machines [J].Neurel Processing Letters，1999，9（3）：293-300
[4]阎威武，常俊林，邵惠鹤.基于滚动时间窗的最小二乘支持向量机回归估计方法及仿真[J].上海交通大学学报， 2004， （4） ：524-524.
[5]宋志宇，李俊杰. 最小二乘支持向量机在大坝变形预测中的应用[J].水电能源科学， 2006， 24（6）：49-52.
[6]秦栋，郑雪琴，许后磊.基于提升小波和LS-SVM的大坝变形预测[J].水电能源科学，2010，（9） ： 64–66.