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【摘要】在简述“情景-探究式教学法”的内涵、实施方法和注意事项的基础上，以数理统计学点估计知识的应用为目标，以具体实例为设置情景，详细介绍了点估计方法的应用。
【关键词】点估计 情景-探究式教学 估计量评选标准
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）09-0214-02
点估计[1]是参数估计重要方法之一，其理论相对简单，实施较为简便。但在具体应用时，会出现一些困难，主要有：一是学员不知如何运用点估计方法解决实际问题，二是在多个统计量的选取中，学员不知如何选取出合适的统计量进行点估计。对此，本文引入情景-探究式教学方法，以具体实例（二战期间盟军估计德军某型坦克数量问题[2]）为载体，从对估计量的选取、估计量评选标准入手，详细介绍点估计方法的运用，希望借此抛砖引玉，激发学员的学习兴趣，加深学员对知识的理解，增强学员解决实际问题的能力，培养学员科学的研究方法和严谨的治学态度。
所谓情景-探究式教学，是指通过设定与授课内容和学员兴趣相符的模拟情景、依据教学目标教学任务设置一些相应的问题、引导学员参与探究，并随着问题的一个个解决使学员在探究过程中体验乐趣、收获知识和感受知识的价值，从而为树立正确的世界观、价值观和人生观奠定一定的情感基础。
实施该教学法，一是要坚持合理适度的原则，注重启发诱导学员达到预期效果；二是要结合学员的理解能力、思维方式和专业背景等因素进行情景设置，切忌脱离学员学情、只图场面热闹而不能激发其学习兴趣和参与热情的情景设置，难以达到教学目标；三是教师要深谙教学内容、教学目标和教学要求，把握教学重点，本着循循善诱探究问题、循序渐进开展教学的思路，巧用多媒体动画、图片展示等手段，由浅入深设置问题，在教师的引导下让学员自己探索、归纳、总结，形成自己的“知识构建”，从而完成教学任务。
下面，根据情景-探究式教学的基本思想，以点估计的应用为例，进行教学实践。
1.教学目标的确立
通过前面章节的学习，学员从理论层面上基本掌握点估计的概念、常用点估计的方法以及点估计的评选标准等。但运用起来略显抽象，尤其是针对某些具体问题，经常出现不知如何利用样本数据来估计总体参数。为此，教学目标可确立为：
知识目标：全面加深对点估计的概念、估计量评选标准等知识理解，通过在实际问题中的应用掌握点估计方法。
能力目标：通过对“二战期间盟军估计德军坦克数量”问题的研究，培养学员分析问题和解决问题的能力；通过对估计量的选取、估计量评选标准的逐步深入讨论，培养学员科学的研究方法和严谨的治学态度。
情感目标：通过对案例的分析和解决，激发学员学习兴趣，提高学习积极性，感受数学的魅力。
2.教学流程的展示
本次课的教学流程：
教学实施流程图
首先，创设坦克数量估计问题情境，分析特征，追根溯源，引出本课研究课题。
其次，从点估计中关于估计量的选取出发，分析抽象，给出估计的方法。
然后，在研究多个估计量的选取时，引出估计量评选标准的应用。
最后，围绕问题解决的效果，说明数学的魅力。
3.创设情境，激发学习兴趣
设置“二战期间盟军估计德军坦克数量”情境，通过逐步展示，让学员感受到概率论与数理统计的重大意义和实际作用，激发学员的学习兴趣。
出于战略需要，盟军希望知道二战期间德军总共制造了多少辆某型坦克。德国人在制造坦克时是墨守成规的，常把坦克从1开始连续编号，即1、2、3、…、N。在战争进行过程中，盟军缴获了一些敌军坦克，并记录了它们的生产编号。问题出现了：怎样用这些号码来估计出坦克总数呢？
4.问题牵引，提升数学能力
以“如何估计”，“是否是好的估计”，“如何改进”等问题为牵引，展开对点估计层层深入的讨论，提高学员逻辑思维水平，培养数学能力。
4.1问题分析
这是一个参数估计问题中，在这个问题中，总体参数是未知的，生产出的坦克总数N，假设N很大，从而总体可近似看作是均匀分布。
而缴获坦克的编号则是样本（n个）。样本按从小到大的顺序编号为：X1，X2，…，Xh，其中Xh表示记录的最大编号。
制造出来的坦克总数肯定大于等于记录中的最大编号。
4.2问题解决
为了找到它比最大编号大多少，
方法一：先找到被缴获坦克编号的平均值，认为这个值是全部编号的中点，即有■=■■Xi，则样本均值乘以2就是总数的一个估计■=2X；当然特别要假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本。
这种估计N的公式的缺点是不能保证均值的2倍一定大于记录中的最大编号。
方法二： N的另一个点估计公式是用观测到的最大编号乘以因子1+1/n，其中n是被缴获坦克的个数，则有估计■=■Xh。
例如，俘获了10辆坦克，其中最大编号是50，那么坦克总数的一个估计是（1+1/10）×50=55。此处我们认为坦克的实际数略大于最大编号。
4.3结果探究
总体参数是未知的生产出的坦克总数N，而缴获坦克的编号则是样本（n个）。样本编号为：X1，X2，…，Xh。
点估计的结果：■=2X，■=■Xh；由于E[2X]=N，
E■Xh=N，
这两种方法结果都是无偏估计[1]，但D[2X]=■N2，
D■Xh=■N2，当n>2时，有D■Xh 这种方法的各种变形的确用于二战之中。从战后发现的德军记录来看，盟军的估计值非常接近所生产的坦克的真实值。
更有趣的是这种统计估计比通过其它情报方式做出估计要大大接近于真实数目。统计学家做得比间谍们更漂亮[2]。
5.结论
本文以点估计应用为例，详细介绍了情景-探索教学法的实施过程，是一个初步的尝试，然而数理统计中并非所有的章节内容都适合使用此教学法，需要具体内容具体对待，选择合适的教学法是教育者需要持续深入探讨的课题。
情景-探究式教学方法对有效提高教学质量、提升学员学习能力作用显著，但是一定要恰当使用，合理特定情景的设定是情景-探究教学的关键；精心设置每一个问题和环节是情景-探索教学的手段；学员积极参与知识发现过程是情景-探索教学的本质目标。本文所进行的探索，相信对开展相关学科的教学具有一定的指导和借鉴意义。
参考文献：
[1]盛骤 谢式千等，《概率论与数理统计及其应用》[M]，北京：高等教育出版社，2010
[2]（美）埃维森，《统计学》[M]，北京：高等教育出版社，2000
【关键词】点估计 情景-探究式教学 估计量评选标准
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）09-0214-02
点估计[1]是参数估计重要方法之一，其理论相对简单，实施较为简便。但在具体应用时，会出现一些困难，主要有：一是学员不知如何运用点估计方法解决实际问题，二是在多个统计量的选取中，学员不知如何选取出合适的统计量进行点估计。对此，本文引入情景-探究式教学方法，以具体实例（二战期间盟军估计德军某型坦克数量问题[2]）为载体，从对估计量的选取、估计量评选标准入手，详细介绍点估计方法的运用，希望借此抛砖引玉，激发学员的学习兴趣，加深学员对知识的理解，增强学员解决实际问题的能力，培养学员科学的研究方法和严谨的治学态度。
所谓情景-探究式教学，是指通过设定与授课内容和学员兴趣相符的模拟情景、依据教学目标教学任务设置一些相应的问题、引导学员参与探究，并随着问题的一个个解决使学员在探究过程中体验乐趣、收获知识和感受知识的价值，从而为树立正确的世界观、价值观和人生观奠定一定的情感基础。
实施该教学法，一是要坚持合理适度的原则，注重启发诱导学员达到预期效果；二是要结合学员的理解能力、思维方式和专业背景等因素进行情景设置，切忌脱离学员学情、只图场面热闹而不能激发其学习兴趣和参与热情的情景设置，难以达到教学目标；三是教师要深谙教学内容、教学目标和教学要求，把握教学重点，本着循循善诱探究问题、循序渐进开展教学的思路，巧用多媒体动画、图片展示等手段，由浅入深设置问题，在教师的引导下让学员自己探索、归纳、总结，形成自己的“知识构建”，从而完成教学任务。
下面，根据情景-探究式教学的基本思想，以点估计的应用为例，进行教学实践。
1.教学目标的确立
通过前面章节的学习，学员从理论层面上基本掌握点估计的概念、常用点估计的方法以及点估计的评选标准等。但运用起来略显抽象，尤其是针对某些具体问题，经常出现不知如何利用样本数据来估计总体参数。为此，教学目标可确立为：
知识目标：全面加深对点估计的概念、估计量评选标准等知识理解，通过在实际问题中的应用掌握点估计方法。
能力目标：通过对“二战期间盟军估计德军坦克数量”问题的研究，培养学员分析问题和解决问题的能力；通过对估计量的选取、估计量评选标准的逐步深入讨论，培养学员科学的研究方法和严谨的治学态度。
情感目标：通过对案例的分析和解决，激发学员学习兴趣，提高学习积极性，感受数学的魅力。
2.教学流程的展示
本次课的教学流程：
教学实施流程图
首先，创设坦克数量估计问题情境，分析特征，追根溯源，引出本课研究课题。
其次，从点估计中关于估计量的选取出发，分析抽象，给出估计的方法。
然后，在研究多个估计量的选取时，引出估计量评选标准的应用。
最后，围绕问题解决的效果，说明数学的魅力。
3.创设情境，激发学习兴趣
设置“二战期间盟军估计德军坦克数量”情境，通过逐步展示，让学员感受到概率论与数理统计的重大意义和实际作用，激发学员的学习兴趣。
出于战略需要，盟军希望知道二战期间德军总共制造了多少辆某型坦克。德国人在制造坦克时是墨守成规的，常把坦克从1开始连续编号，即1、2、3、…、N。在战争进行过程中，盟军缴获了一些敌军坦克，并记录了它们的生产编号。问题出现了：怎样用这些号码来估计出坦克总数呢？
4.问题牵引，提升数学能力
以“如何估计”，“是否是好的估计”，“如何改进”等问题为牵引，展开对点估计层层深入的讨论，提高学员逻辑思维水平，培养数学能力。
4.1问题分析
这是一个参数估计问题中，在这个问题中，总体参数是未知的，生产出的坦克总数N，假设N很大，从而总体可近似看作是均匀分布。
而缴获坦克的编号则是样本（n个）。样本按从小到大的顺序编号为：X1，X2，…，Xh，其中Xh表示记录的最大编号。
制造出来的坦克总数肯定大于等于记录中的最大编号。
4.2问题解决
为了找到它比最大编号大多少，
方法一：先找到被缴获坦克编号的平均值，认为这个值是全部编号的中点，即有■=■■Xi，则样本均值乘以2就是总数的一个估计■=2X；当然特别要假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本。
这种估计N的公式的缺点是不能保证均值的2倍一定大于记录中的最大编号。
方法二： N的另一个点估计公式是用观测到的最大编号乘以因子1+1/n，其中n是被缴获坦克的个数，则有估计■=■Xh。
例如，俘获了10辆坦克，其中最大编号是50，那么坦克总数的一个估计是（1+1/10）×50=55。此处我们认为坦克的实际数略大于最大编号。
4.3结果探究
总体参数是未知的生产出的坦克总数N，而缴获坦克的编号则是样本（n个）。样本编号为：X1，X2，…，Xh。
点估计的结果：■=2X，■=■Xh；由于E[2X]=N，
E■Xh=N，
这两种方法结果都是无偏估计[1]，但D[2X]=■N2，
D■Xh=■N2，当n>2时，有D■Xh
更有趣的是这种统计估计比通过其它情报方式做出估计要大大接近于真实数目。统计学家做得比间谍们更漂亮[2]。
5.结论
本文以点估计应用为例，详细介绍了情景-探索教学法的实施过程，是一个初步的尝试，然而数理统计中并非所有的章节内容都适合使用此教学法，需要具体内容具体对待，选择合适的教学法是教育者需要持续深入探讨的课题。
情景-探究式教学方法对有效提高教学质量、提升学员学习能力作用显著，但是一定要恰当使用，合理特定情景的设定是情景-探究教学的关键；精心设置每一个问题和环节是情景-探索教学的手段；学员积极参与知识发现过程是情景-探索教学的本质目标。本文所进行的探索，相信对开展相关学科的教学具有一定的指导和借鉴意义。
参考文献：
[1]盛骤 谢式千等，《概率论与数理统计及其应用》[M]，北京：高等教育出版社，2010
[2]（美）埃维森，《统计学》[M]，北京：高等教育出版社，2000