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摘要：由Lambe提出的考虑应力路径的地基沉降计算方法是一种基于地基土真实变形过程的计算方法。但由于该法使用上的不便及对实验的较高要求，限制了其在工程中的应用。根据Skempton孔压系数的概念，本文首先用一种有别于其它文献的，更为清晰简单的方法推导了应力空间中等体积线的方程。在此基础上，导出考虑应力路径的沉降计算方法与分层总和法间的关系式，通过与Skempton-Bjerrum进行比较，对计算公式中的系数进行了修订。经实际计算表明，本文所给出公式具有较大的合理性。
关键词：应力路径沉降计算体应变等值线系数校正
Abstract: put forward by Lambe stress path of the consideration of the foundation settlement calculation method is a kind of foundation soil deformation process based on real calculation methods. But because the method of use in the inconvenience and the results of high demand and limits its application in engineering. According to the concept of Skempton pore pressure coefficient, this article first with a different from other literature, more clear and simple method is medium volume of stress space line equation. On this basis, the settlement of the stress path are considered calculation method and the relation between delamination summation-method, through the comparison with Skempton-Bjerrum, the calculation formula of has been revised. The actual calculation shows that this method has given the rationality of the larger.
Key words: the stress path calculated body strain isoline correction coefficient
中圖分类号： [TU196.2] 文献标识码：A文章编号：
基础的沉降计算是土力学的重要研究课题之一。目前工程中广为采用的沉降计算方法主要还是以一维变形假设为基础的分层总和法和e~lgp曲线法。上述沉降的计算方法所用的参数都采用土的单向固结实验得到。单向固结实验操作简单，实验数据处理经验丰富，工程应用比较简便。
本文在文献[3]的基础上，基于Lambe应变等值线法，采用Skempton孔隙压力系数的概念，推导出应力空间p-q中土单元的体应变等值线方程。在此基础上，推导出考虑地基侧向变形的侧向沉降计算公式与单向压缩条件下沉降计算的关系式，为Lambe应变等值线的具体应用做了一定的简化。在此基础上，将本法与Skempton-Bjerrum方法的应力路径与进行了比较分析，修正了上述关系式中的系数，使公式更符合实际。
1、基于应力路径的沉降计算方法
粘性土地基受荷载后的变形有两个过程：首先是形变，然后是体积压缩。其有效应力路径如图1所示。
图1 地基土单元的应力路径
基于以上的分析，地基土的沉降计算分为两个主要部分，即瞬时沉降AB段和固结沉降BC，在这里不考虑次固结沉降。
1.1 瞬时沉降的计算
瞬时沉降是加荷后立即发生的沉降，此时由于孔隙水无法排出，故认为土没有体积变形。文献[2]中给出了在厚层地基土中不考虑地基中塑性开展区，荷载作用为作用在土面的圆形或矩形均布荷载的初始沉降计算公式：
（1）
在式中，q为均布荷载；B为荷载面积的直径或宽度；Cd是考虑荷载面积和形状的沉降计算点位置系数，具体值可参考文献[2]；E为土的弹性模量，ν为土的泊松比，其值可取0.5。
文献[3]中给出的瞬时沉降的计算公式为：
（2）
式中： ， 为土的压缩模量， 为土的初始弹性模量； ，为Skempton公式中的常数。
但本公式只适用于轴对称条件。一般大型桥梁和高速公路桥的基础多为圆形或近似圆形，其中心点下基础的受力状态为轴对称状态，所以在计算如上情况下桥墩的沉降时，采用轴对称假设是合理的。
1.2 固结沉降的计算
瞬时沉降即为土的应力状态由B点到C点所产生的沉降。即完全由于孔隙水压力的消散，体积的压缩所引起的沉降。按照弹性理论，可以得到其竖向应变为体应变的1/3。同时由于A点和B点，C点和D点分别都在同一条等体积线上，所以BC线上的体积应变应等于AD线上的体积应变。而AD线是无侧向变形状态，所以AD线上的体积应变可以很方便的由土的单向固结实验求得。
设 ， ， 分别表示BC段的竖向应变、体积应变和AD段的体积应变，则有：
（3）
下面来推导应力空间q-p中等体积线的方程。在图1中，横纵坐标的具体含义如下式：
， ；
式中，σ1，σ2，u分别表示土单元的竖向主应力，水平向主应力和超孔隙水压力。
对于原位土样，其原位应力状态为：
， ， 。
其在应力空间中的坐标为：
（4）
突加荷载 和 后，孔隙水压力的增量为：
对于饱和粘土， 。
所以，加荷后的有效应力为：
则，加荷后，土单元体在应力空间的坐标变为：
（5）
综合(4)式与(5)式，可以得出等体积线的方程：
（6）
上式即为土的等体积线方程，式中 ， 为土单元的初始应力状态，A为土的偏应力孔压系数。
求出固结完成后，土样应力状态（有效应力）所对应的K0线上的点。
在下面的推导中，A、B、C、D点在图1中的坐标分别为 ， ， ，
在 消散后，土样中的应力状态，即C点的主应力为：
则，
令：
则： ，
由于C、D点在等体积线上，所以满足等体积线的方程(5)，带入(5)式中：
化简得：
由于
带入上式中，就可得到
而由Δp、Δq的定义可得：
所以：
带入(3)式可得，可以得出：
则固结沉降中地基所产生的沉降为:
（7）
1.3 Skempton法与Lambe法应力路径比较
由参考文献[2]中可得，按照Skempton公式所得的计算公式为：
由于Skempton法Lambe法在初始沉降时所采用的计算公式相同，则两者所计算出的沉降的量值可通过比较ScL和ScS得出。
对于正常固结粘土，其A的取值范围为0.5-1.0。按照弹性理论，由于ν取值范围为0-0.5，所以通过K0=ν/(1-ν)，得到K0的取值范围为0.5-1.0，所以有：
，
即采用Lambe应变等值线法所计算得出的沉降将是采用Skempton法的1/3到2/3之间。
以上是理论上分析所得出的结果，下面通过分析两种计算方法的实际应力路径来评价上述结论。
图2 Skempton法和Lambe法的应力路径
如图2所示，Skempton算法的应力路径为ABDE，初始沉降是应力路径AB的函数，固结沉降是DE的函数，D、E两点在K0线上。Lambe法应力路径为ABC段，AB段代表瞬时沉降，BC段代表固结沉降。Lambe法反映了土的真实变形過程。
在固结沉降的计算中，Skempton法是AB线，即无侧向变形的情况。Lambe法有侧向变形。文献[2]指出，限制侧向变形可减小基础的沉降，所以Lambe法所计算出的沉降量应大于Skempton法所得的沉降。这与理论分析的结论相反，可能理论分析出现了问题。
通过分析上述推导过程，本法与Skempton法相比引进了新的假设，即BC的竖向变形为体积变形的1/3。对于线弹性体，这个假设是成立的，但是文献[4]指出，由于在瞬时沉降时，土会侧向挤出，在固结过程中，土在水平向实际上是一个再压缩过程。而土的再压缩性较低，所以地基土在固结过程中，其水平向的变形是很小的，如果忽略水平变形，对竖向变形所造成的误差不超过20%。则可以认为地基土在固结过程中体积变形的80%为竖向变形。则更为精确的固结沉降计算公式为：
1.4 沉降公式的推导
固结仪中单向压缩的固结变形为：
（8）
设本文所得沉降与单向压缩变形间的比值为Cc，则：
对于某一指定的土层， 和A都是常数，所以：
其中， ，其取值可参看文献[2]。
4、实例分析
本文采用文献[3]中的算例计算。本例中基础长64.0m，宽65.5m，其设计承重为352512kN。地基持力层主要物理力学指标如表1所列。
在基础中心线底部以下19m位置，附加应力为自重应力的20%，则计算深度取为19.0m。
表1 基础土层参数
厚度 重度 Es 黏聚力 内摩擦角
/ m / (kN/m3) / MPa / kPa / (°)
20.8 19.5 10.6 100 16.5
采用本文的方法，其计算参数如表2中所示。最后所得基础中心点的沉降量为118.7mm。
表3中给出了分层总和法，文献[3]中算法和本文中算法的计算结果及实测值的大小。可以看到本文所提出的算法所得的结果比实测值大7.9%，可能原因是：①基础底部的摩擦和刚度的影响会限制地基土的侧向变形，使变形较小；②建筑物在修建过程中完成了一部分固结，这部分在计算中无法考虑到，使计算结果偏大；③地基土仍为完成固结。
表2 沉降计算中参数值
参数 确定方法 量值
Es / MPa 单向压缩试验 10.60
Eu / MPa 三轴CU 试验 6.25
n n=Es/Eu 1.33
A 三轴CU 试验 0.30
α Z / B = 0.594 0.51
K0 1−sinφ 0.72
表3 理论计算结果和实测沉降
参数 计算方法
分层总和法 文献[3]中算法 本文方法 实测沉降
沉降量/ mm 91.3 84.2 118.7 110.0
相对误差/ % -17.0 -23.4 +7.9 0.0
5、结论
(1) 采用应力路径法计算沉降，概念清晰，结果容易理解与分析，计算结果精度较高。
(2) 应力路径法的不足是仍然需要采用弹性理论的知识来确定地基中的附加应力，这也是本文中需要重新确定系数的原因。
(3) 本文中所提出的方法适于计算轴对称问题，这对于大型桥墩基础中心点处的沉降是比较合理的。
参考文献
[1] 盛洪飞主编. 桥梁墩台与基础工程[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2005: 91-94.
[2] 钱家欢, 殷宗泽编著. 土工原理与计算[M]. (第二版). 北京: 中国水利水电出版社, 1996: 183-186, 193-198.
[3] 金耀华, 钱玉林, 吕凡任. 基于应力路径的实用沉降计算方法[J]. 岩土力学. 2001, 32(10): 3071-3074.
[4] Skempton A. W., Bjerrum. L., A Contribution to the Settlement Analysis of Foundation on clay. Geo- technique, 1957, 7(4): 168-178.
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。
关键词：应力路径沉降计算体应变等值线系数校正
Abstract: put forward by Lambe stress path of the consideration of the foundation settlement calculation method is a kind of foundation soil deformation process based on real calculation methods. But because the method of use in the inconvenience and the results of high demand and limits its application in engineering. According to the concept of Skempton pore pressure coefficient, this article first with a different from other literature, more clear and simple method is medium volume of stress space line equation. On this basis, the settlement of the stress path are considered calculation method and the relation between delamination summation-method, through the comparison with Skempton-Bjerrum, the calculation formula of has been revised. The actual calculation shows that this method has given the rationality of the larger.
Key words: the stress path calculated body strain isoline correction coefficient
中圖分类号： [TU196.2] 文献标识码：A文章编号：
基础的沉降计算是土力学的重要研究课题之一。目前工程中广为采用的沉降计算方法主要还是以一维变形假设为基础的分层总和法和e~lgp曲线法。上述沉降的计算方法所用的参数都采用土的单向固结实验得到。单向固结实验操作简单，实验数据处理经验丰富，工程应用比较简便。
本文在文献[3]的基础上，基于Lambe应变等值线法，采用Skempton孔隙压力系数的概念，推导出应力空间p-q中土单元的体应变等值线方程。在此基础上，推导出考虑地基侧向变形的侧向沉降计算公式与单向压缩条件下沉降计算的关系式，为Lambe应变等值线的具体应用做了一定的简化。在此基础上，将本法与Skempton-Bjerrum方法的应力路径与进行了比较分析，修正了上述关系式中的系数，使公式更符合实际。
1、基于应力路径的沉降计算方法
粘性土地基受荷载后的变形有两个过程：首先是形变，然后是体积压缩。其有效应力路径如图1所示。
图1 地基土单元的应力路径
基于以上的分析，地基土的沉降计算分为两个主要部分，即瞬时沉降AB段和固结沉降BC，在这里不考虑次固结沉降。
1.1 瞬时沉降的计算
瞬时沉降是加荷后立即发生的沉降，此时由于孔隙水无法排出，故认为土没有体积变形。文献[2]中给出了在厚层地基土中不考虑地基中塑性开展区，荷载作用为作用在土面的圆形或矩形均布荷载的初始沉降计算公式：
（1）
在式中，q为均布荷载；B为荷载面积的直径或宽度；Cd是考虑荷载面积和形状的沉降计算点位置系数，具体值可参考文献[2]；E为土的弹性模量，ν为土的泊松比，其值可取0.5。
文献[3]中给出的瞬时沉降的计算公式为：
（2）
式中： ， 为土的压缩模量， 为土的初始弹性模量； ，为Skempton公式中的常数。
但本公式只适用于轴对称条件。一般大型桥梁和高速公路桥的基础多为圆形或近似圆形，其中心点下基础的受力状态为轴对称状态，所以在计算如上情况下桥墩的沉降时，采用轴对称假设是合理的。
1.2 固结沉降的计算
瞬时沉降即为土的应力状态由B点到C点所产生的沉降。即完全由于孔隙水压力的消散，体积的压缩所引起的沉降。按照弹性理论，可以得到其竖向应变为体应变的1/3。同时由于A点和B点，C点和D点分别都在同一条等体积线上，所以BC线上的体积应变应等于AD线上的体积应变。而AD线是无侧向变形状态，所以AD线上的体积应变可以很方便的由土的单向固结实验求得。
设 ， ， 分别表示BC段的竖向应变、体积应变和AD段的体积应变，则有：
（3）
下面来推导应力空间q-p中等体积线的方程。在图1中，横纵坐标的具体含义如下式：
， ；
式中，σ1，σ2，u分别表示土单元的竖向主应力，水平向主应力和超孔隙水压力。
对于原位土样，其原位应力状态为：
， ， 。
其在应力空间中的坐标为：
（4）
突加荷载 和 后，孔隙水压力的增量为：
对于饱和粘土， 。
所以，加荷后的有效应力为：
则，加荷后，土单元体在应力空间的坐标变为：
（5）
综合(4)式与(5)式，可以得出等体积线的方程：
（6）
上式即为土的等体积线方程，式中 ， 为土单元的初始应力状态，A为土的偏应力孔压系数。
求出固结完成后，土样应力状态（有效应力）所对应的K0线上的点。
在下面的推导中，A、B、C、D点在图1中的坐标分别为 ， ， ，
在 消散后，土样中的应力状态，即C点的主应力为：
则，
令：
则： ，
由于C、D点在等体积线上，所以满足等体积线的方程(5)，带入(5)式中：
化简得：
由于
带入上式中，就可得到
而由Δp、Δq的定义可得：
所以：
带入(3)式可得，可以得出：
则固结沉降中地基所产生的沉降为:
（7）
1.3 Skempton法与Lambe法应力路径比较
由参考文献[2]中可得，按照Skempton公式所得的计算公式为：
由于Skempton法Lambe法在初始沉降时所采用的计算公式相同，则两者所计算出的沉降的量值可通过比较ScL和ScS得出。
对于正常固结粘土，其A的取值范围为0.5-1.0。按照弹性理论，由于ν取值范围为0-0.5，所以通过K0=ν/(1-ν)，得到K0的取值范围为0.5-1.0，所以有：
，
即采用Lambe应变等值线法所计算得出的沉降将是采用Skempton法的1/3到2/3之间。
以上是理论上分析所得出的结果，下面通过分析两种计算方法的实际应力路径来评价上述结论。
图2 Skempton法和Lambe法的应力路径
如图2所示，Skempton算法的应力路径为ABDE，初始沉降是应力路径AB的函数，固结沉降是DE的函数，D、E两点在K0线上。Lambe法应力路径为ABC段，AB段代表瞬时沉降，BC段代表固结沉降。Lambe法反映了土的真实变形過程。
在固结沉降的计算中，Skempton法是AB线，即无侧向变形的情况。Lambe法有侧向变形。文献[2]指出，限制侧向变形可减小基础的沉降，所以Lambe法所计算出的沉降量应大于Skempton法所得的沉降。这与理论分析的结论相反，可能理论分析出现了问题。
通过分析上述推导过程，本法与Skempton法相比引进了新的假设，即BC的竖向变形为体积变形的1/3。对于线弹性体，这个假设是成立的，但是文献[4]指出，由于在瞬时沉降时，土会侧向挤出，在固结过程中，土在水平向实际上是一个再压缩过程。而土的再压缩性较低，所以地基土在固结过程中，其水平向的变形是很小的，如果忽略水平变形，对竖向变形所造成的误差不超过20%。则可以认为地基土在固结过程中体积变形的80%为竖向变形。则更为精确的固结沉降计算公式为：
1.4 沉降公式的推导
固结仪中单向压缩的固结变形为：
（8）
设本文所得沉降与单向压缩变形间的比值为Cc，则：
对于某一指定的土层， 和A都是常数，所以：
其中， ，其取值可参看文献[2]。
4、实例分析
本文采用文献[3]中的算例计算。本例中基础长64.0m，宽65.5m，其设计承重为352512kN。地基持力层主要物理力学指标如表1所列。
在基础中心线底部以下19m位置，附加应力为自重应力的20%，则计算深度取为19.0m。
表1 基础土层参数
厚度 重度 Es 黏聚力 内摩擦角
/ m / (kN/m3) / MPa / kPa / (°)
20.8 19.5 10.6 100 16.5
采用本文的方法，其计算参数如表2中所示。最后所得基础中心点的沉降量为118.7mm。
表3中给出了分层总和法，文献[3]中算法和本文中算法的计算结果及实测值的大小。可以看到本文所提出的算法所得的结果比实测值大7.9%，可能原因是：①基础底部的摩擦和刚度的影响会限制地基土的侧向变形，使变形较小；②建筑物在修建过程中完成了一部分固结，这部分在计算中无法考虑到，使计算结果偏大；③地基土仍为完成固结。
表2 沉降计算中参数值
参数 确定方法 量值
Es / MPa 单向压缩试验 10.60
Eu / MPa 三轴CU 试验 6.25
n n=Es/Eu 1.33
A 三轴CU 试验 0.30
α Z / B = 0.594 0.51
K0 1−sinφ 0.72
表3 理论计算结果和实测沉降
参数 计算方法
分层总和法 文献[3]中算法 本文方法 实测沉降
沉降量/ mm 91.3 84.2 118.7 110.0
相对误差/ % -17.0 -23.4 +7.9 0.0
5、结论
(1) 采用应力路径法计算沉降，概念清晰，结果容易理解与分析，计算结果精度较高。
(2) 应力路径法的不足是仍然需要采用弹性理论的知识来确定地基中的附加应力，这也是本文中需要重新确定系数的原因。
(3) 本文中所提出的方法适于计算轴对称问题，这对于大型桥墩基础中心点处的沉降是比较合理的。
参考文献
[1] 盛洪飞主编. 桥梁墩台与基础工程[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2005: 91-94.
[2] 钱家欢, 殷宗泽编著. 土工原理与计算[M]. (第二版). 北京: 中国水利水电出版社, 1996: 183-186, 193-198.
[3] 金耀华, 钱玉林, 吕凡任. 基于应力路径的实用沉降计算方法[J]. 岩土力学. 2001, 32(10): 3071-3074.
[4] Skempton A. W., Bjerrum. L., A Contribution to the Settlement Analysis of Foundation on clay. Geo- technique, 1957, 7(4): 168-178.
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。