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对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。
一、合理赋值，构造方程
例1、是否存在函数f（x）同时满足下列三个条件：(1)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy（x、y∈R）；(2)f（0）=a（a为常数）；(3)f（π2）=b（b为常数）?若存在，求f（x）的表达式；若不存在，请说明理由。
分析：条件(1)中x、y的任意性，隐含着x、y既可“换元”，又可“赋值”，结合条件(2)和(3)，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。
令x=0，y=t得，f（t）+f（-t）=2acost ……………………………… ①
令x= π/2+t，y= π/2得，f（π+t）+f（t）=0……………………………… ②
令x= π/2，y=t+π/2得f（π+t）+f（-t）= -2bsint…………………………… ③
将①+② - ③得f（x）=acost+bsint，故存在f（x）=acost+bsint符合题意。
评注：方程观点是处理数学问题的一个基本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程（组），化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。
二、挖掘隐含，分类讨论
例2、设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，问是否存在实数k，使不等式f（k+sin2x）≥f[（k-4）（sinx+cosx）]对任意x∈R恒成立？并说明理由。
分析：令sinx+cosx =t，则sin2x = t2-1 ，原不等式对一切x∈R恒成立，等价于不等式μ（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）≥0对任意t∈[-22，22]恒成立，下列分三种情况讨论：
（1）当Δ＜0时，μ（t）≥0，对t∈恒成立，由Δ=（k-4）2- 4（k-1）=（k-2）（k-10）＜0得2＜k＜10；
（2）当Δ=0时，k=2或k=10，此时抛物线t2 -（k-4）t+（k-1）的顶点横坐标t= -1或t=3，μ（t）≥0对任意t∈恒成立；
（3）当Δ＞0时，μ（t）≥0对任意t∈恒成立的充要条件是：
解①②得10＜k＜9+，综合（1）（2）（3）得的取值范围是[2，9+] 。
评注：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之是解题的常用方法。
三、剖析特例，类比联想
例3、设函数f（x）定义在实数集上，对任意x、y∈R，都有：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且存在正数c，使f（c/2）=0，试问f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：由于问题较抽象，不易发现f（x）是否为周期函数，更难找出它的一个周期。若特殊探路，降维思考，联想三角公式，不难发现函数f(x)=cosx满足题设条件，因为f（x）=cosx是周期为2π的函数，且cosπ/2=0，故推测f（x）是以2c为周期的周期函数。事实上f[（x+c/2）+c/2] +f[（x+c/2）-c/2]=2f（x+c/2）f（c/2）=0，∴f（x+c）= -f（x），∴f（x+2c）= -f（x+c）=f（x）（x∈R）。
评注：通过剖析具体实例，大胆类比，精心联想，探索出抽象函数问题的结论，为解题指明了方向，开辟了道路。特殊探路、类比联想是处理抽象函数问题的常用方法。
四、正难则反，逆推反正
例4、已知函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，a、b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求证：a+b≥0。
分析：欲证上述命题，正向推理，不易用上题设条件，转而逆思考。若a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，据单调性f（a）＜f（-b），f（b）＜（-a），从而f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）这与已知矛盾，∴a+b＜0不成立，即a+b≥0。
评注：本题若直接法，显然无从下手，但若考虑用反证法，则问题很快解决。正难则反是处理“是否存在”型抽象函数问题的常用方法。
五、恰用递推，归纳猜想
例5、是否存在这样的函数f（x），使下列三个条件： (1)f（x）＞0，n∈N；(2)f（n1+n2）=f（n1）f（n2），n1、n2∈N；（3）f（2）=4同时成立？若存在，求出解析式；若不存在，说明理由。
分析：若存在，由条件(1)(2)(3)得f（2）=f（1+1）=[f（1）]2=4，f（1）=2，又∵f（2）=4=22，∴f（3）=f（1）f（2）=23，f（4）=24，猜想f（x）=2x（x∈N），用数学归纳不难证得此猜想正确。
评注：通过若干数据实验，用不完全归纳法作出猜想，再用数学归纳法给出证明是处理抽象函数递推型问题的常用方法。
以上列举了求解抽象型函数问题的解题思想，处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运用，“多管齐下”。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，可以在提高学生的解题能力，培养学生思维的灵活性，最终达到创新思想的培养方面将收到良好效果。
参考文献：
[1]贾士代、翟连林主编.《高中数学巧妙解法400例》.北京教育出版社
[2]张巨轮.《抽象函数试题的类型与求解思路》.《中学数学》，2000.11
[3]叶家振.《抽象函数关系给出的对称性与周期性》.《中学数学》，96.6
[4]张坤元.《求解含抽象函数不等式的几种技巧》.《中学数学》，95.4
一、合理赋值，构造方程
例1、是否存在函数f（x）同时满足下列三个条件：(1)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy（x、y∈R）；(2)f（0）=a（a为常数）；(3)f（π2）=b（b为常数）?若存在，求f（x）的表达式；若不存在，请说明理由。
分析：条件(1)中x、y的任意性，隐含着x、y既可“换元”，又可“赋值”，结合条件(2)和(3)，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。
令x=0，y=t得，f（t）+f（-t）=2acost ……………………………… ①
令x= π/2+t，y= π/2得，f（π+t）+f（t）=0……………………………… ②
令x= π/2，y=t+π/2得f（π+t）+f（-t）= -2bsint…………………………… ③
将①+② - ③得f（x）=acost+bsint，故存在f（x）=acost+bsint符合题意。
评注：方程观点是处理数学问题的一个基本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程（组），化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。
二、挖掘隐含，分类讨论
例2、设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，问是否存在实数k，使不等式f（k+sin2x）≥f[（k-4）（sinx+cosx）]对任意x∈R恒成立？并说明理由。
分析：令sinx+cosx =t，则sin2x = t2-1 ，原不等式对一切x∈R恒成立，等价于不等式μ（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）≥0对任意t∈[-22，22]恒成立，下列分三种情况讨论：
（1）当Δ＜0时，μ（t）≥0，对t∈恒成立，由Δ=（k-4）2- 4（k-1）=（k-2）（k-10）＜0得2＜k＜10；
（2）当Δ=0时，k=2或k=10，此时抛物线t2 -（k-4）t+（k-1）的顶点横坐标t= -1或t=3，μ（t）≥0对任意t∈恒成立；
（3）当Δ＞0时，μ（t）≥0对任意t∈恒成立的充要条件是：
解①②得10＜k＜9+，综合（1）（2）（3）得的取值范围是[2，9+] 。
评注：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之是解题的常用方法。
三、剖析特例，类比联想
例3、设函数f（x）定义在实数集上，对任意x、y∈R，都有：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且存在正数c，使f（c/2）=0，试问f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：由于问题较抽象，不易发现f（x）是否为周期函数，更难找出它的一个周期。若特殊探路，降维思考，联想三角公式，不难发现函数f(x)=cosx满足题设条件，因为f（x）=cosx是周期为2π的函数，且cosπ/2=0，故推测f（x）是以2c为周期的周期函数。事实上f[（x+c/2）+c/2] +f[（x+c/2）-c/2]=2f（x+c/2）f（c/2）=0，∴f（x+c）= -f（x），∴f（x+2c）= -f（x+c）=f（x）（x∈R）。
评注：通过剖析具体实例，大胆类比，精心联想，探索出抽象函数问题的结论，为解题指明了方向，开辟了道路。特殊探路、类比联想是处理抽象函数问题的常用方法。
四、正难则反，逆推反正
例4、已知函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，a、b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求证：a+b≥0。
分析：欲证上述命题，正向推理，不易用上题设条件，转而逆思考。若a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，据单调性f（a）＜f（-b），f（b）＜（-a），从而f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）这与已知矛盾，∴a+b＜0不成立，即a+b≥0。
评注：本题若直接法，显然无从下手，但若考虑用反证法，则问题很快解决。正难则反是处理“是否存在”型抽象函数问题的常用方法。
五、恰用递推，归纳猜想
例5、是否存在这样的函数f（x），使下列三个条件： (1)f（x）＞0，n∈N；(2)f（n1+n2）=f（n1）f（n2），n1、n2∈N；（3）f（2）=4同时成立？若存在，求出解析式；若不存在，说明理由。
分析：若存在，由条件(1)(2)(3)得f（2）=f（1+1）=[f（1）]2=4，f（1）=2，又∵f（2）=4=22，∴f（3）=f（1）f（2）=23，f（4）=24，猜想f（x）=2x（x∈N），用数学归纳不难证得此猜想正确。
评注：通过若干数据实验，用不完全归纳法作出猜想，再用数学归纳法给出证明是处理抽象函数递推型问题的常用方法。
以上列举了求解抽象型函数问题的解题思想，处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运用，“多管齐下”。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，可以在提高学生的解题能力，培养学生思维的灵活性，最终达到创新思想的培养方面将收到良好效果。
参考文献：
[1]贾士代、翟连林主编.《高中数学巧妙解法400例》.北京教育出版社
[2]张巨轮.《抽象函数试题的类型与求解思路》.《中学数学》，2000.11
[3]叶家振.《抽象函数关系给出的对称性与周期性》.《中学数学》，96.6
[4]张坤元.《求解含抽象函数不等式的几种技巧》.《中学数学》，95.4