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案列背景：
《普通高中数学课程标准（2017年版）》对本节课的要求有以下三条：
（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
（2）进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质;（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
从以上的背景可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。
前面我上这一堂课是作为公开课进行的，主要采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究两向量的夹角及数量积的概念过程中，引导学生积极将物理学科知识迁移到数学中进而融入到自己的知识体系。
案列主题：
一方面，我校是农村乡镇高中，生源基础较差，导致自主学习速度较慢，所以对导学案进行前置运用，并通过小组评价机制，充分调动学生学习的积极性，适当优化题目数量，体现懂一题会一类。因此，在上课时，随机的选择同学代表小组起来展示，根据展示情况，在小组评价表上进行加分或是减分。
另一方面，学生已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。
所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。通过学生的自主探索与合作交流渗透数学建模思想，这个目标符合数学课程标准中提出的“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。
本节课的教学目标：
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义;
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断;
（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件;
（4）体会类比的数学思想，培养学生抽象概括和逻辑推理能力。
教学活动1：
老师：完成下表：
学生：按照老师要求独立完成，
老师：请画出余弦函数在上的图象，
学生：按照老师要求独立完成，
设计意图：为后面学习两向量夹角及夹角对数量积的影响作铺垫。
老师：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
学生：加法、减法、数乘运算，运算结果是向量。
设计意图：在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。
老师：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
学生：位移
设计意图：由加减联想到乘法这是个很自然的问题，明确本节课的任务，激发学生的探求欲望;由向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。
教学活动2：
老师：观察以下各组的两个非零向量有何不同？
学生：位置（角度）
设计意图：从特殊的图形中，发现区分两向量位置是用夹角区分的，为以下给出向量夹角的定义做了自然的铺垫。
归纳1：向量的夹角的定义：
设计意图：检测学生对知识的掌握情况
老师：如图所示，一物体在力的作用下产生位移.那么力所做的功 .
这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
设计意图：在学生已有的物理中“功”的概念的背景下，建构数学模型，引入平面向量数量积的概念，突出物理背景的意义，便于学生自然过度和理解。让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
老师： 你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又将如何表述？
老师： 向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表.
设计意图：归纳出数量积的运算与前面三种线性运算的区别（运算的结果是数量而不再是向量），研究数量积运算结果的符号取决于两非零向量的夹角
设计意圖：例题精讲，变式训练，使学生对知识的掌握更上一层楼。
教学活动3：
老师： 本节课我们主要研究了什么重要内容？你认为本节课体现了哪些重要的思想方法？学生总结，最后老师再概括.
设计意图：通过学生讨论总结，加强了学生概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。培养了学生思考、解决问题的能力。有利于学生内化已学的知识。
老师：总之，数学史要与数学教学有机结合，老师除了要有数学史素养，还应该具有创新意 识，不只是对数学史知识简单的重组，还要对 史料掌握清楚，并敢于探索，在实践中不断寻求更好的方式。
案列评析：
（1）针对我校学生的学情，本节课我把投影向量放到了下一课时，
以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算。
（2）知识系统完备，使学生很好的体验了知识的产生、发展和完善的全过程，有利于培养学生分析、思考、解决问题的能力，为进一步形成良好的数学思想、数学思维奠定基础。
（3）借助问题串和多媒体辅助教学使教学效果和教学内容的容量充分的得以体现和展示，提高了课堂效率，取得了较好的教学效果。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社.2018.
[2] 程仕然 .平面向量数量积课堂教学的反思与重构 [J].数学教学通讯.2019（06）
云南省普洱市墨江第二中学 周雅建
《普通高中数学课程标准（2017年版）》对本节课的要求有以下三条：
（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
（2）进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质;（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
从以上的背景可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。
前面我上这一堂课是作为公开课进行的，主要采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究两向量的夹角及数量积的概念过程中，引导学生积极将物理学科知识迁移到数学中进而融入到自己的知识体系。
案列主题：
一方面，我校是农村乡镇高中，生源基础较差，导致自主学习速度较慢，所以对导学案进行前置运用，并通过小组评价机制，充分调动学生学习的积极性，适当优化题目数量，体现懂一题会一类。因此，在上课时，随机的选择同学代表小组起来展示，根据展示情况，在小组评价表上进行加分或是减分。
另一方面，学生已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。
所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。通过学生的自主探索与合作交流渗透数学建模思想，这个目标符合数学课程标准中提出的“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。
本节课的教学目标：
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义;
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断;
（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件;
（4）体会类比的数学思想，培养学生抽象概括和逻辑推理能力。
教学活动1：
老师：完成下表：
学生：按照老师要求独立完成，
老师：请画出余弦函数在上的图象，
学生：按照老师要求独立完成，
设计意图：为后面学习两向量夹角及夹角对数量积的影响作铺垫。
老师：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
学生：加法、减法、数乘运算，运算结果是向量。
设计意图：在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。
老师：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
学生：位移
设计意图：由加减联想到乘法这是个很自然的问题，明确本节课的任务，激发学生的探求欲望;由向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。
教学活动2：
老师：观察以下各组的两个非零向量有何不同？
学生：位置（角度）
设计意图：从特殊的图形中，发现区分两向量位置是用夹角区分的，为以下给出向量夹角的定义做了自然的铺垫。
归纳1：向量的夹角的定义：
设计意图：检测学生对知识的掌握情况
老师：如图所示，一物体在力的作用下产生位移.那么力所做的功 .
这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
设计意图：在学生已有的物理中“功”的概念的背景下，建构数学模型，引入平面向量数量积的概念，突出物理背景的意义，便于学生自然过度和理解。让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
老师： 你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又将如何表述？
老师： 向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表.
设计意图：归纳出数量积的运算与前面三种线性运算的区别（运算的结果是数量而不再是向量），研究数量积运算结果的符号取决于两非零向量的夹角
设计意圖：例题精讲，变式训练，使学生对知识的掌握更上一层楼。
教学活动3：
老师： 本节课我们主要研究了什么重要内容？你认为本节课体现了哪些重要的思想方法？学生总结，最后老师再概括.
设计意图：通过学生讨论总结，加强了学生概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。培养了学生思考、解决问题的能力。有利于学生内化已学的知识。
老师：总之，数学史要与数学教学有机结合，老师除了要有数学史素养，还应该具有创新意 识，不只是对数学史知识简单的重组，还要对 史料掌握清楚，并敢于探索，在实践中不断寻求更好的方式。
案列评析：
（1）针对我校学生的学情，本节课我把投影向量放到了下一课时，
以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算。
（2）知识系统完备，使学生很好的体验了知识的产生、发展和完善的全过程，有利于培养学生分析、思考、解决问题的能力，为进一步形成良好的数学思想、数学思维奠定基础。
（3）借助问题串和多媒体辅助教学使教学效果和教学内容的容量充分的得以体现和展示，提高了课堂效率，取得了较好的教学效果。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社.2018.
[2] 程仕然 .平面向量数量积课堂教学的反思与重构 [J].数学教学通讯.2019（06）
云南省普洱市墨江第二中学 周雅建