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创新思维是对旧概念、旧事物认识的突破,也是思维本身的创新,它是智力高度发展的结果。在教学中教师应不断地指导学生进行积极主动的探索,训练他们用创新思维方式去提出问题、分析问题和解决问题。教师应不断地通过对典型习题的分类解析,引导学生掌握多变、多解、多思的创新思维能力,以提高他们的综合数学素养。
一、设计同类题组,训练学生的求同思维
所谓求同思维,就是根据问题之间相近或相似的特点,由表及里,由此及彼,通过具体分析,找出“求”到“解”的关键点,进行解题的一种思维方式。
我们知道,在整式方程中,常出现有如下几种题型。如①关于X的方程KX2+(K+1)X+ =0,有两个实数根,求K的取值范围。②关于X的方程KX2+(K+1)X+ =0,有实数根,求K的取值范围?这两个题目有很大相似点,特别对于初学的学生而言,还常将它们混为同一个试题,但仔细读题后会发现,题①中有“两”字决定了方程肯定是一元二次方程,而题②中由于参量K在二次项系数中,方程根的个数又未详加说明,帮应分类讨论。现解答如下:
解:①由题意知,K≠0且△≥0
∴(K+1)2-4K× ≥0
∴K≥- 且K≠0
②由题意知方程可能为一元一次方程,也可能为一元二次方程
∴A:当K=0时,代入原方程,解出X=0符合题意
B:当K≠0时,方程应为一元二次方程。
故:△≥0
∴(K+1)2-4K× ≥0
∴K≥- 且K≠0
总之,当K≥- 时,原方程都有实根。同步练习:分式 = +2无解,则M=_______。M为何值时,关于X的方程 无实根。
二、正确运用数学性质,训练学生的批判思维
所谓批判思维,就是通过在对某具体问题进行推理、分析时,用批判的眼光观察,在解题中运用的数学性质是否正确,验证所得结论是否合理,最后去伪存真,归纳,总结出正确答案的思维形式。
近几年的中考试题中,如下题目下悄然兴起:
①阅读下列的解答过程,请判断其是否有错,若有错误,请在下面写出正确答案。
已知:m是关于X的方程mX2-2X+m=0的一个根,求m的值。
解:把X=m代入原方程,化简得:m3=m
两边同时除以m,得m2=1
∴m=1,把m=1代入原方程检验可知:m=1符合题意,故m的值为1。
②已知关于X的方程K2X2+(2K-1)X+1=0有两个不相等的实数根X1、X2
A:求K的取值范围;
B:是否存在实数K,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出K的值;如果不存在,请说明理由。
解:A:根据题意,得△=(2K-1)2-4K2>0
解得K< ,∴当K< 时,方程有两个不相等的实数根。
B:存在,如果方程的两实根X1、X2互为相反数,则X1+X2=- =0
∴K= ,经检验K= 是方程的解
读了上面的解答过程,请你判断是否有错误?如果有,请指出错误之处,并直接写出正确答案。
以上两例,都要求学生用批判的思维、挑剔的眼光去观察、分析,找出出现错误的“关卡”,然后纠正错误,理顺正确的解答过程。
三、执果索因,训练学生的逆向思维
逆向思维即指从问题的结论出发引出问题,逆向求索,展开思路,进行解题的一种思维方法。
例1:由于被墨水污染,一道数学题只能见到如下文字:
已知:二次函数Y=X2+bX+c的图象过点(1,0),
求证:这个二次函数的图象关于直线X=2对称。根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是:
A.过点(3,0);B.顶点是(2,-2);C.在X轴上截得的线段长是2;D.与Y轴的交点是(0,3)。
解:由条件和结论易得:图象也过(3,0)即A对C对,所以图象对称轴为X=2。
∴b=-4,又1+b+c=0①,9+3b+c=0②两式联立解出c=3,故D对,
∴图象不具有的性质即B
四、展开想象,严密思考,训练学生的发散思维
发散思维即从问题的实际情况出发,结合题意,找出与之相符的多种可能的情况,然后再推理、验证,得出所有符合条件的答案的一种思维方式。看下面一个例题:
例:如图6,点P是半径为5的圆O内一点,且OP=3,在过点P的所有圆O的弦中,弦长为整数的弦共有_____条。
A.2条B.3条
C.4条D.5条
这类题在中考卷中常见。一些考生常常受到思维定势的影响,没有结合具体图象多角度考虑,得到错误答案:3条,实际上由于圆有对称性,当弦上为9时的弦应为2条,即EF和E/F/(如图)。故本题的正确答案应选C
五、从全局观察,整体把握,训练学生的直觉思维
直觉思维,指对问题进行总体观察,抓住问题本质,进行快速思考,大胆假设,及时做出判断,形成解题思路。如:
例1(2002南充):已知X+ ,则X- =_____
就本题而言,若从条件中解出的值后再代入所求式子未免麻烦,若从整体观察,结合式子的特点将条件变形,以为载体,即可得到结论。
解:∵X+ ,∴X2+ ,∴(X- )2=1,故X- =±1
例2(2001年金华市):已知实数X满足条件:X2+ +X+ =0,求X+ 的值。
解:设X+ =Y,则原方程可变形为:Y2+Y-2=0,∴Y1=-2,Y2=1
但当Y2=1时,X+ =1方程无解,∴Y2=1舍去,故X+ =-2
六、由此及彼,训练学生的联想思维
联想思维是指在思考新问题时,及时联想到它与某个旧问题的关系,由旧问题的正确解法而快速找到新问题的解法。数学中这种思维方法也是很重要的,通过联想可以找出新旧知识的联系,以旧带新,举一反三。
如2003年徐州市中招题如下:
如图1:正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 和 ,对角线BD、FH都在直线L上,O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距,当中心O2在直线L上平移时,正方形EFGH也随之平移,在平移时正方形EFGH的形状、大小没变化。
1、计算:O1D=_____, O2F=_______
2、当中心O2在直线L平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1O2=_________
3、随着中心O2在直线L上平移,两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)
分析:我们学习《圆与圆的位置关系》时知道:两圆之间存在有外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。设两圆的半径分别为R,r,圆心距为d
则:两圆外离 d>R+r
两圆外切 d=R+r
两圆相交R-r 两圆内切 d=R-r
两圆内含 d 若在看到这道中考试题时,联想到课本中的这部分内容,那么,本题可依照课本中的思路进行求解。
解:(1)正方形ABCD的边长为2 ,所以O1D=2,正方形EFGH的边长 ,所以O2F为1;
(2)只有一个公共点时,O1O2=2+1=3(如图2);
(3)①当2-1 ②O1O2=2-1=1时,两个正方形有无数个公共点(如图4);
③O1O2<2-1,即O1O2<1时,两个正方形没有公共点;或O1O2>3时,两个正方形没有公共点(如图5和图1)。
总之,数学是一门基础性学科,以上几种是数学中常用到的思维形式。希望通过对数学这门功课的学习,让学生训练用多种思维、去思考分析问题,并转化成一种数学能力,以便更好地为学习其他学科打下良好的基础。
一、设计同类题组,训练学生的求同思维
所谓求同思维,就是根据问题之间相近或相似的特点,由表及里,由此及彼,通过具体分析,找出“求”到“解”的关键点,进行解题的一种思维方式。
我们知道,在整式方程中,常出现有如下几种题型。如①关于X的方程KX2+(K+1)X+ =0,有两个实数根,求K的取值范围。②关于X的方程KX2+(K+1)X+ =0,有实数根,求K的取值范围?这两个题目有很大相似点,特别对于初学的学生而言,还常将它们混为同一个试题,但仔细读题后会发现,题①中有“两”字决定了方程肯定是一元二次方程,而题②中由于参量K在二次项系数中,方程根的个数又未详加说明,帮应分类讨论。现解答如下:
解:①由题意知,K≠0且△≥0
∴(K+1)2-4K× ≥0
∴K≥- 且K≠0
②由题意知方程可能为一元一次方程,也可能为一元二次方程
∴A:当K=0时,代入原方程,解出X=0符合题意
B:当K≠0时,方程应为一元二次方程。
故:△≥0
∴(K+1)2-4K× ≥0
∴K≥- 且K≠0
总之,当K≥- 时,原方程都有实根。同步练习:分式 = +2无解,则M=_______。M为何值时,关于X的方程 无实根。
二、正确运用数学性质,训练学生的批判思维
所谓批判思维,就是通过在对某具体问题进行推理、分析时,用批判的眼光观察,在解题中运用的数学性质是否正确,验证所得结论是否合理,最后去伪存真,归纳,总结出正确答案的思维形式。
近几年的中考试题中,如下题目下悄然兴起:
①阅读下列的解答过程,请判断其是否有错,若有错误,请在下面写出正确答案。
已知:m是关于X的方程mX2-2X+m=0的一个根,求m的值。
解:把X=m代入原方程,化简得:m3=m
两边同时除以m,得m2=1
∴m=1,把m=1代入原方程检验可知:m=1符合题意,故m的值为1。
②已知关于X的方程K2X2+(2K-1)X+1=0有两个不相等的实数根X1、X2
A:求K的取值范围;
B:是否存在实数K,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出K的值;如果不存在,请说明理由。
解:A:根据题意,得△=(2K-1)2-4K2>0
解得K< ,∴当K< 时,方程有两个不相等的实数根。
B:存在,如果方程的两实根X1、X2互为相反数,则X1+X2=- =0
∴K= ,经检验K= 是方程的解
读了上面的解答过程,请你判断是否有错误?如果有,请指出错误之处,并直接写出正确答案。
以上两例,都要求学生用批判的思维、挑剔的眼光去观察、分析,找出出现错误的“关卡”,然后纠正错误,理顺正确的解答过程。
三、执果索因,训练学生的逆向思维
逆向思维即指从问题的结论出发引出问题,逆向求索,展开思路,进行解题的一种思维方法。
例1:由于被墨水污染,一道数学题只能见到如下文字:
已知:二次函数Y=X2+bX+c的图象过点(1,0),
求证:这个二次函数的图象关于直线X=2对称。根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是:
A.过点(3,0);B.顶点是(2,-2);C.在X轴上截得的线段长是2;D.与Y轴的交点是(0,3)。
解:由条件和结论易得:图象也过(3,0)即A对C对,所以图象对称轴为X=2。
∴b=-4,又1+b+c=0①,9+3b+c=0②两式联立解出c=3,故D对,
∴图象不具有的性质即B
四、展开想象,严密思考,训练学生的发散思维
发散思维即从问题的实际情况出发,结合题意,找出与之相符的多种可能的情况,然后再推理、验证,得出所有符合条件的答案的一种思维方式。看下面一个例题:
例:如图6,点P是半径为5的圆O内一点,且OP=3,在过点P的所有圆O的弦中,弦长为整数的弦共有_____条。
A.2条B.3条
C.4条D.5条
这类题在中考卷中常见。一些考生常常受到思维定势的影响,没有结合具体图象多角度考虑,得到错误答案:3条,实际上由于圆有对称性,当弦上为9时的弦应为2条,即EF和E/F/(如图)。故本题的正确答案应选C
五、从全局观察,整体把握,训练学生的直觉思维
直觉思维,指对问题进行总体观察,抓住问题本质,进行快速思考,大胆假设,及时做出判断,形成解题思路。如:
例1(2002南充):已知X+ ,则X- =_____
就本题而言,若从条件中解出的值后再代入所求式子未免麻烦,若从整体观察,结合式子的特点将条件变形,以为载体,即可得到结论。
解:∵X+ ,∴X2+ ,∴(X- )2=1,故X- =±1
例2(2001年金华市):已知实数X满足条件:X2+ +X+ =0,求X+ 的值。
解:设X+ =Y,则原方程可变形为:Y2+Y-2=0,∴Y1=-2,Y2=1
但当Y2=1时,X+ =1方程无解,∴Y2=1舍去,故X+ =-2
六、由此及彼,训练学生的联想思维
联想思维是指在思考新问题时,及时联想到它与某个旧问题的关系,由旧问题的正确解法而快速找到新问题的解法。数学中这种思维方法也是很重要的,通过联想可以找出新旧知识的联系,以旧带新,举一反三。
如2003年徐州市中招题如下:
如图1:正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 和 ,对角线BD、FH都在直线L上,O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距,当中心O2在直线L上平移时,正方形EFGH也随之平移,在平移时正方形EFGH的形状、大小没变化。
1、计算:O1D=_____, O2F=_______
2、当中心O2在直线L平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1O2=_________
3、随着中心O2在直线L上平移,两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)
分析:我们学习《圆与圆的位置关系》时知道:两圆之间存在有外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。设两圆的半径分别为R,r,圆心距为d
则:两圆外离 d>R+r
两圆外切 d=R+r
两圆相交R-r
两圆内含 d
解:(1)正方形ABCD的边长为2 ,所以O1D=2,正方形EFGH的边长 ,所以O2F为1;
(2)只有一个公共点时,O1O2=2+1=3(如图2);
(3)①当2-1
③O1O2<2-1,即O1O2<1时,两个正方形没有公共点;或O1O2>3时,两个正方形没有公共点(如图5和图1)。
总之,数学是一门基础性学科,以上几种是数学中常用到的思维形式。希望通过对数学这门功课的学习,让学生训练用多种思维、去思考分析问题,并转化成一种数学能力,以便更好地为学习其他学科打下良好的基础。