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关键词 立体几何 题型 创新
一、立体几何与解析几何的结合
例1 如图11，在正方体ABCD－A1B1C1D1的内部（含表面）有一动点P到平面A1B1C1D1与直线BC的距离相等，则动点P的集合所形成的图形为（__）
图11
A.一条线段
B.平面的一部分
C.一条圆弧平移所成的曲面
D.一段抛物线平移所成的曲面
解析：如图12，当点P在正方体的表面ABB1A1上时，因BC⊥平面AB1，得点P到直线BC距离就是点P到点B的距离，而P到平面A1B1C1D1距离即为点P到直线A1B1距离，所以在此表面内点P的轨迹是以B为焦点、A1B1为准线的一段抛物线。此段抛物线向正方体内部水平移动时即得到符合条件的曲面，因此选D。
图12
点评：本题先在正方体的一个表面内探究P的轨迹，再把所得轨迹向正方体内部平移，得到一个抛物线形曲面。
二、立体几何与函数的结合
例2 如图2，已知正方形ABCD、ABEF的边长都为1，二面角D-AB-E大小为120°，点M在线段AC上移动，点N在线段BF上移动，若CM=BN=a(0 图2
解法一：过M作MG⊥AB于G，连结GN；过M作MH⊥CB于H,由RtΔMCHΔNBG知NG⊥AB，所以∠MGN=120°，易知NG=22a,MG=HB=1－22a,由余弦定理得
MN=NG2+MG2-2•NG•-12=（NG+MG）2-NG•MG
=1-1-22a•22a=12a-222+34
故a=22时，MN最小。此时，M、N为各自线段中点。
解法二：由上面解法可知，NG+MG=1,所以MN=1－NG•MG，再利用NG•MG≤NG+MG22=14,得MN≥32，當且仅当NG=MG时取“=”，也可得到a=22。
点评：本例先做出二面角的平面角，再用定义证明，然后用余弦定理得到MN的长和a的函数关系，最后用二次函数最值或用均值不等式得到答案。
三、立体几何与三角函数的结合
例3 如图3，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC垂足为D，BC=CD=AD=1。
（1）令PD=x，∠BPC=θ，试把tanθ表示为x的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得∠BQC>∠BAC？
图3
解析：（1）首先将θ转化为∠PCD－∠PBD，
∵PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，
∴PD⊥BD，
∴tan∠PCD=PDDC=x, tan∠PBD=PDBD=x2，
∴tanθ=tan∠PCD－∠PBD=x－x21+x•x2=xx2+2。
又∵AD为PD在面ABD上的射影，
∴PD>AD=1，即x>1，
∴tanθ=xx2+2=1x+2x≤122=24，当且仅当x=2时取等号，因此tanθ的最大值为24。
（2）由正切函数的单调性可知，点Q的存在性等价于“是否存在点Q使得tan∠BQC>tan∠BAC”。
易知tan∠BAC=tan(∠ACD－∠ABD）=13，令tanθ=xx2+2>13，解得：11的交集非空，∴满足条件的点Q存在。
点评：本例直接找tanθ和x的函数关系比较难，所以把θ转化为∠PCD－∠PBD，再利用差角的正切公式很容易解出结果。本例以立体几何为基础，考查三角函数的知识较多。
四、立体几何与概率的结合
例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为（__）
A.π12______ B.1－π12
C.π6D.1-π6
解析：本例为几何概型。其对立事件概率为12•43π•1323=π12（其图形为以O为球心，以1为半径的半球），因此选B。
五、立体几何与平面几何的结合
例5 命题：“在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则AC2=AD•AB”，推广到空间的结论为：“四面体ABCD中，以D点为顶点的三个面角都是直角，设DO⊥平面ABC于O,则______________”。
解析：如图4，易知CD⊥平面ABD且AB⊥EC，AB⊥DE，在RtΔDEC中，DE2=EO•EC，所以12•DE•AB2=12•AB•EO•12•AB•EC，即SΔABD2=SΔABO•SΔABC。答案为SΔABD2=SΔABO•SΔABC。
点评：本题是一个开放创新题，考查了数学“类比”的推理方法以及创新思维能力。
图4
例6 平面α外的同一侧有一个三角形，三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为8、10、12，则ΔABC的重心G到平面α的距离为________。
解析：如图5，取BC、B1C1中点分别为D、D1,过A作AH⊥DD1于H，则HD1=8，DH=(10－8）+(12－8）2=3。在梯形AA1D1D中，由AGAD＝23得，重心G到α的距离为3×23+8=10，答案为10。
图5
点评：立体几何和平面几何都是以几何图形为研究对象，区别只是三维和二维的不同，因此，它们有千丝万缕的联系。本题关键是做出多面体的截面——梯形AA1D1D，利用这个二维图形，借助平面几何相关知识得到答案。如果三角形的三个顶点在平面的两侧呢？（留给读者完成）
作者简介：吴德中，高级教师，执教于河北省香河一中。
责任编辑 李婷婷
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、立体几何与解析几何的结合
例1 如图11，在正方体ABCD－A1B1C1D1的内部（含表面）有一动点P到平面A1B1C1D1与直线BC的距离相等，则动点P的集合所形成的图形为（__）
图11
A.一条线段
B.平面的一部分
C.一条圆弧平移所成的曲面
D.一段抛物线平移所成的曲面
解析：如图12，当点P在正方体的表面ABB1A1上时，因BC⊥平面AB1，得点P到直线BC距离就是点P到点B的距离，而P到平面A1B1C1D1距离即为点P到直线A1B1距离，所以在此表面内点P的轨迹是以B为焦点、A1B1为准线的一段抛物线。此段抛物线向正方体内部水平移动时即得到符合条件的曲面，因此选D。
图12
点评：本题先在正方体的一个表面内探究P的轨迹，再把所得轨迹向正方体内部平移，得到一个抛物线形曲面。
二、立体几何与函数的结合
例2 如图2，已知正方形ABCD、ABEF的边长都为1，二面角D-AB-E大小为120°，点M在线段AC上移动，点N在线段BF上移动，若CM=BN=a(0
解法一：过M作MG⊥AB于G，连结GN；过M作MH⊥CB于H,由RtΔMCHΔNBG知NG⊥AB，所以∠MGN=120°，易知NG=22a,MG=HB=1－22a,由余弦定理得
MN=NG2+MG2-2•NG•-12=（NG+MG）2-NG•MG
=1-1-22a•22a=12a-222+34
故a=22时，MN最小。此时，M、N为各自线段中点。
解法二：由上面解法可知，NG+MG=1,所以MN=1－NG•MG，再利用NG•MG≤NG+MG22=14,得MN≥32，當且仅当NG=MG时取“=”，也可得到a=22。
点评：本例先做出二面角的平面角，再用定义证明，然后用余弦定理得到MN的长和a的函数关系，最后用二次函数最值或用均值不等式得到答案。
三、立体几何与三角函数的结合
例3 如图3，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC垂足为D，BC=CD=AD=1。
（1）令PD=x，∠BPC=θ，试把tanθ表示为x的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得∠BQC>∠BAC？
图3
解析：（1）首先将θ转化为∠PCD－∠PBD，
∵PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，
∴PD⊥BD，
∴tan∠PCD=PDDC=x, tan∠PBD=PDBD=x2，
∴tanθ=tan∠PCD－∠PBD=x－x21+x•x2=xx2+2。
又∵AD为PD在面ABD上的射影，
∴PD>AD=1，即x>1，
∴tanθ=xx2+2=1x+2x≤122=24，当且仅当x=2时取等号，因此tanθ的最大值为24。
（2）由正切函数的单调性可知，点Q的存在性等价于“是否存在点Q使得tan∠BQC>tan∠BAC”。
易知tan∠BAC=tan(∠ACD－∠ABD）=13，令tanθ=xx2+2>13，解得：1
点评：本例直接找tanθ和x的函数关系比较难，所以把θ转化为∠PCD－∠PBD，再利用差角的正切公式很容易解出结果。本例以立体几何为基础，考查三角函数的知识较多。
四、立体几何与概率的结合
例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为（__）
A.π12______ B.1－π12
C.π6D.1-π6
解析：本例为几何概型。其对立事件概率为12•43π•1323=π12（其图形为以O为球心，以1为半径的半球），因此选B。
五、立体几何与平面几何的结合
例5 命题：“在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则AC2=AD•AB”，推广到空间的结论为：“四面体ABCD中，以D点为顶点的三个面角都是直角，设DO⊥平面ABC于O,则______________”。
解析：如图4，易知CD⊥平面ABD且AB⊥EC，AB⊥DE，在RtΔDEC中，DE2=EO•EC，所以12•DE•AB2=12•AB•EO•12•AB•EC，即SΔABD2=SΔABO•SΔABC。答案为SΔABD2=SΔABO•SΔABC。
点评：本题是一个开放创新题，考查了数学“类比”的推理方法以及创新思维能力。
图4
例6 平面α外的同一侧有一个三角形，三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为8、10、12，则ΔABC的重心G到平面α的距离为________。
解析：如图5，取BC、B1C1中点分别为D、D1,过A作AH⊥DD1于H，则HD1=8，DH=(10－8）+(12－8）2=3。在梯形AA1D1D中，由AGAD＝23得，重心G到α的距离为3×23+8=10，答案为10。
图5
点评：立体几何和平面几何都是以几何图形为研究对象，区别只是三维和二维的不同，因此，它们有千丝万缕的联系。本题关键是做出多面体的截面——梯形AA1D1D，利用这个二维图形，借助平面几何相关知识得到答案。如果三角形的三个顶点在平面的两侧呢？（留给读者完成）
作者简介：吴德中，高级教师，执教于河北省香河一中。
责任编辑 李婷婷
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文