摘要：分式的学习不可生搬硬套，抓住分式的结构，把题型复杂庞大的形式寓于简洁的结构中，犹如庖丁解牛，事半而功倍.
　　关键词：分式、结构、平方型、倒数型、分式方程
　　
　　分式的学习一直是学生深感头疼的一个知识．一是它涉及大量复杂繁琐的计算，另一方面分式中的恒等变形丰富而灵活，学生不易掌握．其实，数学美在其一就是她的结构美．在分式这一章中，有一些特殊的结构，它们构成了分式的一些固定的数学模型．在做分式题时，只要认真分析，细心观察，这些较复杂的题往往蕴含特殊的结构．这样来学习，可以起到事半功倍的学习效果．
　　一、平方型：（a-b)(a+b)=a2-b2
　　 例1
　　11-x
　　+11+x
　　+21+x2
　　+41+x4
　　+…+
　　641+x64.
　　解析：解这类题的特点是，先观察，确定结构，再动手算．这道题，先把前两个分式通分,利用平方差公式， 11-x+
　　11+x=1+x
　　(1-x)(1+x)+1-x(1-x)(1+x)=
　　21-x2,再和
　　21+x2通分，得
　　41-x4，再和后面各项逐次通分，最后结果
　　1281-x128．
　　 例2 1a-b
　　+1a+b
　　+2aa2+b2
　　+4a3a4+b4
　　+8a7a8+b8
　　+16a15a16+b16,
　　 方法同例1，结果32a31
　　a32-b32.
　　二、倒数型：
　　x+1x
　　这类题体现了数学整体的思想．解决这类题，就是去寻找
　　x+1x
　　，把x+1x看作一个整体．如果题中没有直接出现
　　x+1x，那么就要想办法构造x+1x这个整体．
　　 例1 已知
　　x+1x=3
　　，求（1）x2+1x2（2）
　　x4+1x4
　　 解：(1)x2+1x2
　　=(x+1x)2-2=32-2=7;(2)x4+1x4
　　=(x2+1x2)2-2=72-2=47.
　　
　　 三、分式方程中的倒数结构：
　　x+1x
　　=a+1a
　　（a是常数）
　　 在中学的分式方程中，有相当一部分题属于这个结构， 它的解可以直接写出来：
　　x=a或x=1a．先简单推导一下它的解的来历．
　　移项并分组， (x-a)+
　　(1x-1a)=0.
　　第二个括号通分，注意负号，(x-a)-x-axa =0.
　　借用因式分解中的提公因式， (x-a)(1-1xa)=0.
　　从而 x-a=0 或
　　1-1xa=0
　　得x=a 或x=1a.
　　四
　　、方程
　　1x+k
　　-1x+(k+1)
　　=1x+(k+2)
　　-1x+(k+3)
　　 我们以下面的例子来介绍这类结构的解法特点.
　　例1 解方程
　　x+2x+1
　　-x+3x+1
　　=x+4x+3
　　-x+5x+4.
　　解析：若要一开始就去分母，就会出现x的四次方、三次方，这于中学生来说，是不敢想象的．观察发现，每一小项的分子比分母多1，可先把它们分别拆成：
　　(1+1x+1)-
　　(1+1x+2)=(
　　1+1x+3)-
　　(1+1x+4)
　　 去括号得
　　1x+1-1x+2
　　=1x+3
　　-1x+4
　　还不要去分母，而是左右两端分别局部通分
　　1(x+1)(x+2)
　　=1(x+3)(x+4)
　　 即 1x2+3x+2
　　=1x2+7x+12.
　　于是，x2+3x+2=x2+7x+12,4x=-10.
　　 x=-52经检验，
　　x=-52是原方程的解．
　　五
　　、1x(x+1)的裂项相消结构 例1 化简求值：
　　1(a+1)(a+3)+
　　1(a+3)(a+5)+…+
　　1(a+2007)(a+2009)
　　，其中a=-12.
　　 解：注意到
　　1(a+1)(a+3)
　　=12•
　　［1(a+1)-
　　1(a+3)］
　　，以此类推裂项，
　　1(a+2007)(a+2009)
　　=12•
　　［1(a+2007)
　　-1(a+2009)］
　　，再求和中，提取
　　12，会发现，各小项可依次相消，最后剩下首相和末项，即
　　1(a+m)(a+n)
　　=1n-m•
　　（1a+m-1a+n
　　)
　　 ，
　　再把a=-12代入求值，结果
　　20082007.
　　事实上，
　　1(a+m)(a+n)
　　=1n-m•
　　(1a+m
　　-1a+n).
　　在学习分式这个知识点时，同学们一定要多下些功夫，突破这些难点，很快就会让自己水平上一个层次．