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摘 要：如何使概念教学既厚重悠远，又显灵巧之意、简约之美？一方面，概念本质需要教师对数学的理解水平进一步提升，通过有序的、恰当的多个教学环节加以凸显。另一方面，需要对全过程进行提炼的简缩思维；需要收放有度、取舍有道并简捷的教学设计；概念的形成过程需要“简约”地经历。
关键词：凸显本质；厚重悠远；简缩思维；简捷设计；简约经历
一、问题提出
随着课改的深入，概念教学注重概念的形成过程已成为共识。很多教师花费更多的时间和精力在解题上，对概念本质研究不够，概念教学就像吃压缩饼干，草草了事，取而代之的是大量的例习题操练，这种现象在常态课上普遍存在。另一种现象恰恰相反，就是“半截课”，所谓“半截课”是指概念形成过程过于冗长，占据大半节甚至近整节课时间，导致概念巩固或知识运用板块时间不足，前松后紧、虎头蛇尾。经常如此显然会扰乱教学秩序、脱离教学现实。这就需要我们在深入研究概念内涵、着力挖掘概念本质的基础上，还要做到精中求简、返璞归真，呈现数学特有的“教育形态”，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力，使概念教学既显灵巧之意又有简约之美。
本文以笔者执教的苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册第七章第一节“正切”为例加以阐述。
二、课堂回放
1.创设情境
教师展示几张中山陵的图片。
师：这是南京著名的风景名胜之——中山陵，同学们一定爬过中山陵的台阶。图1中的两段台阶哪段爬起来更累？为什么？
生（齐）：上面那个台阶爬起来更累，因为它更陡一些。
【设计意图】从学生熟识的中山陵台阶引入，过渡到爬哪个台阶更累，再自然地过渡到本节课的主题之——判断坡面的陡峭程度。
2.探究学习
（1）描述坡面的倾斜程度
师：我们把台阶的坡面抽象成直角三角形的斜边，如何描述两个坡面的倾斜程度？
生1：可用坡面与水平线的夹角来描述，夹角越大，坡面越陡。
师：我们把坡面与水平线的夹角称为倾斜角，倾斜角越大，坡面越陡。
师：坡面的倾斜程度除了和倾斜角有关，还和什么量有关？
生（齐）：边。
师：边和角是三角形中两类基本要素。除了用角来描述，还可以用边，用一条边能刻画倾斜角的大小吗？为什么？
生2：不能。因为如果一条直角边相等，另一条直角边不相等，倾斜角的大小也不相等。
（2）正切的定义
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA，即：
【设计意图】揭示函数关系。接着介绍“三角”的来历，引出本章课题“锐角三角函數”，同时也了解到“正切”是锐角三角函数之一。将知识置于高位的、整体的、联系的结构中，有利于学生形成良好的认知结构，还为最后学生提出想要研究的问题“直角三角形中锐角对边比邻边叫正切，那么对边比斜边、邻边比斜边叫什么？它们有什么性质？它的图像是怎样的？”埋下伏笔，发展学生发现问题、提出问题的能力。
三、几点思考
1.凸显主旨突出本质需厚重悠远
常态课对“正切是锐角的函数”这个本质往往寥寥数语一带而过，学生并未形成深刻的理解。因为“正切是锐角的函数”，我们可以得到“相等的角，它们的同名三角函数值相等”这个重要方法，通过角的转移，进行线段比的转移，进而替代相似更为简捷地去解决问题；还可以将锐角的三角函数值脱离直角三角形客观存在，进而学习“使用计算器求锐角三角函数值”、求“特殊角的三角函数”等内容。由此可见，只有理解正切的函数本质，才能在整章的学习过程中，形成真正理解数学的逻辑链。
概念本质教学不能停留在刻意呻吟肤浅的层面，而应通过有序的、恰当的多个教学环节加以凸显，才能使得概念教学厚重而悠远。
2.收放有度取舍有道方灵巧简约
（1）灵巧在于简缩的思维
一节课要小处着手，更要大处着眼。既要有微观设计，又要有宏观结构。本课细节上精心设置每一个预设问题，反复推敲每一句过渡语言，以求承上启下、逻辑连贯、自然衔接。同时，在整体上又将全课结构藏于胸中，以求掌控全局、收放有度。整体一般比局部难以把握，它需要对全过程进行提炼的简缩思维，对全局进行掌控的驾驭能力。
（2）灵巧在于简捷的设计
笔者备课时也并非一帆风顺，曾尝试过一种开放式设计：让学生画图探究是不是可以用一边来描述坡面的倾斜程度。结果学生有的画图困难，还有的偏离主题，消耗了许多不必要的时间，影响后面正切概念巩固和应用环节。新课程提倡开放、民主、探究的课堂，但有放就得有收。“放”培养发散思维、创新精神，“收”体现教师的引导作用。很长一段时间，许多教师上课不敢讲，怕评课者诟病灌输；不敢引，怕评课者诟病牵着学生鼻子走。要辩证地看待这个问题，“倡导”树立辩证思想，当探则探、当讲则讲、当收则收、当放则放。一位教师课堂教学若能探讲得当、收放自如，那教学技艺定是炉火纯青，正所谓“教之道在于度”。一节课的教学内容中可能蕴含很多数学思想方法，我们选择核心的、典型的、贴切的数学思想加以揭示，做到取舍有道，力求削枝强干。
（3）灵巧在于简约地经历
注重概念的形成过程、按照概念的形成方式掌握概念并不意味着要经历人类认识这一概念的原过程。不错，中学数学概念经历了漫长的认识过程。但学生并不需要（也不可能）重复前人的认识活动，而只是“简约”地经历。研究表明，学生掌握概念的过程与人类社会认识概念的过程有相似性。这种相似性反映在学生形成概念的心理过程中，包括从大量的具体事例出发，辨别、抽象、分化、提出假设与检验假设以及概括，最后用张奠宙教授曾经指出：数学教学是要在很短的时间里，让学生把握人类几千年来积累的数学知识，一万年以后怎么办？老是探究，自己发现，还有效率可谈吗？关键在于掌握数学本质，精中求简，保持核心价值。
参考文献
[1]张奠宙，赵小平.当心“去数学化”[J].数学教学，2005，6.
[2]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[M].北京师范大学出版社，2008，4.
关键词：凸显本质；厚重悠远；简缩思维；简捷设计；简约经历
一、问题提出
随着课改的深入，概念教学注重概念的形成过程已成为共识。很多教师花费更多的时间和精力在解题上，对概念本质研究不够，概念教学就像吃压缩饼干，草草了事，取而代之的是大量的例习题操练，这种现象在常态课上普遍存在。另一种现象恰恰相反，就是“半截课”，所谓“半截课”是指概念形成过程过于冗长，占据大半节甚至近整节课时间，导致概念巩固或知识运用板块时间不足，前松后紧、虎头蛇尾。经常如此显然会扰乱教学秩序、脱离教学现实。这就需要我们在深入研究概念内涵、着力挖掘概念本质的基础上，还要做到精中求简、返璞归真，呈现数学特有的“教育形态”，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力，使概念教学既显灵巧之意又有简约之美。
本文以笔者执教的苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册第七章第一节“正切”为例加以阐述。
二、课堂回放
1.创设情境
教师展示几张中山陵的图片。
师：这是南京著名的风景名胜之——中山陵，同学们一定爬过中山陵的台阶。图1中的两段台阶哪段爬起来更累？为什么？
生（齐）：上面那个台阶爬起来更累，因为它更陡一些。
【设计意图】从学生熟识的中山陵台阶引入，过渡到爬哪个台阶更累，再自然地过渡到本节课的主题之——判断坡面的陡峭程度。
2.探究学习
（1）描述坡面的倾斜程度
师：我们把台阶的坡面抽象成直角三角形的斜边，如何描述两个坡面的倾斜程度？
生1：可用坡面与水平线的夹角来描述，夹角越大，坡面越陡。
师：我们把坡面与水平线的夹角称为倾斜角，倾斜角越大，坡面越陡。
师：坡面的倾斜程度除了和倾斜角有关，还和什么量有关？
生（齐）：边。
师：边和角是三角形中两类基本要素。除了用角来描述，还可以用边，用一条边能刻画倾斜角的大小吗？为什么？
生2：不能。因为如果一条直角边相等，另一条直角边不相等，倾斜角的大小也不相等。
（2）正切的定义
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA，即：
【设计意图】揭示函数关系。接着介绍“三角”的来历，引出本章课题“锐角三角函數”，同时也了解到“正切”是锐角三角函数之一。将知识置于高位的、整体的、联系的结构中，有利于学生形成良好的认知结构，还为最后学生提出想要研究的问题“直角三角形中锐角对边比邻边叫正切，那么对边比斜边、邻边比斜边叫什么？它们有什么性质？它的图像是怎样的？”埋下伏笔，发展学生发现问题、提出问题的能力。
三、几点思考
1.凸显主旨突出本质需厚重悠远
常态课对“正切是锐角的函数”这个本质往往寥寥数语一带而过，学生并未形成深刻的理解。因为“正切是锐角的函数”，我们可以得到“相等的角，它们的同名三角函数值相等”这个重要方法，通过角的转移，进行线段比的转移，进而替代相似更为简捷地去解决问题；还可以将锐角的三角函数值脱离直角三角形客观存在，进而学习“使用计算器求锐角三角函数值”、求“特殊角的三角函数”等内容。由此可见，只有理解正切的函数本质，才能在整章的学习过程中，形成真正理解数学的逻辑链。
概念本质教学不能停留在刻意呻吟肤浅的层面，而应通过有序的、恰当的多个教学环节加以凸显，才能使得概念教学厚重而悠远。
2.收放有度取舍有道方灵巧简约
（1）灵巧在于简缩的思维
一节课要小处着手，更要大处着眼。既要有微观设计，又要有宏观结构。本课细节上精心设置每一个预设问题，反复推敲每一句过渡语言，以求承上启下、逻辑连贯、自然衔接。同时，在整体上又将全课结构藏于胸中，以求掌控全局、收放有度。整体一般比局部难以把握，它需要对全过程进行提炼的简缩思维，对全局进行掌控的驾驭能力。
（2）灵巧在于简捷的设计
笔者备课时也并非一帆风顺，曾尝试过一种开放式设计：让学生画图探究是不是可以用一边来描述坡面的倾斜程度。结果学生有的画图困难，还有的偏离主题，消耗了许多不必要的时间，影响后面正切概念巩固和应用环节。新课程提倡开放、民主、探究的课堂，但有放就得有收。“放”培养发散思维、创新精神，“收”体现教师的引导作用。很长一段时间，许多教师上课不敢讲，怕评课者诟病灌输；不敢引，怕评课者诟病牵着学生鼻子走。要辩证地看待这个问题，“倡导”树立辩证思想，当探则探、当讲则讲、当收则收、当放则放。一位教师课堂教学若能探讲得当、收放自如，那教学技艺定是炉火纯青，正所谓“教之道在于度”。一节课的教学内容中可能蕴含很多数学思想方法，我们选择核心的、典型的、贴切的数学思想加以揭示，做到取舍有道，力求削枝强干。
（3）灵巧在于简约地经历
注重概念的形成过程、按照概念的形成方式掌握概念并不意味着要经历人类认识这一概念的原过程。不错，中学数学概念经历了漫长的认识过程。但学生并不需要（也不可能）重复前人的认识活动，而只是“简约”地经历。研究表明，学生掌握概念的过程与人类社会认识概念的过程有相似性。这种相似性反映在学生形成概念的心理过程中，包括从大量的具体事例出发，辨别、抽象、分化、提出假设与检验假设以及概括，最后用张奠宙教授曾经指出：数学教学是要在很短的时间里，让学生把握人类几千年来积累的数学知识，一万年以后怎么办？老是探究，自己发现，还有效率可谈吗？关键在于掌握数学本质，精中求简，保持核心价值。
参考文献
[1]张奠宙，赵小平.当心“去数学化”[J].数学教学，2005，6.
[2]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[M].北京师范大学出版社，2008，4.