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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0103-01
有关二次函数的压轴题，是一道函数与几何的综合题，它具有选拔功能，是数学思想的综合运用题，它考查的知识点多、解题方法多、能力要求高，体现了数与形的巧妙结合。下面对2014年潍坊市数学中考最后一道题进行探索，让我们来感受数学的魅力。
题目：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
分析：第（1）题由抛物线的对称性易求出点B的坐标是（4，0），基础知识掌握好的学生可以较快把抛物线的解析式正确求出。
第（2）题是面积问题。面积问题是中考的热点问题，一般情况下，可以直接运用图形的面积公式求；对于不规则图形的面积可以利用“割补法”或“平行线法”进行转化。有运动的题目要注意以静求动。考查了方程、数形结合和化归的数学思想。
第（3）题考查了方程和分类讨论的数学思想。可以根据點P的横坐标的取值范围分类，也可以根据点P在点Q的上方或下方分类。
解法一：（1）由抛物线经过点C（0，4），对称轴x=-■=1，
可得点B的坐标是（4，0），c=4 ① ∴ 16a+4b+c=0 ②
又抛物线过点A（-2，0）∴ 4a-2b+c=0，③ 由①②③ 解得：a=-■， b=1 ，c=4.
所以抛物线的解析式是y=-■x2+x+4
（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连接BF、CF、OF.过点F分别作FH⊥x轴于H，FG⊥y轴于G.
设点F的坐标为（t，-■t2+t+4），点M的坐标为（t，-t+4） 其中0 ∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF +S△OFC=■OA×OC +■OB×FH +■OC×FC=■×2×4 +■×4×（-■t2+t+4）+■×4×t=4-t2+2t+8+2t= -t2+4t+12.
令-t2+4+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=（-4）2-4×5=-4<0，
∴方程t2-4t+5=0无实根。
故不存在满足条件的点F.
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），又过点B（4，0），C（0，4）
所以4k+b=0b=4，解得：k=-1b=4，
所以直线BC的解析式是y=-x+4.
由y=-■x2+x+4=-■（x-1）2+■得D（1，■），
又点E在直线BC上，则点E（1，3）， 于是DE=■-3=■
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ
设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-■m2+m+4）.
易得 PQ=（-■m2+m+4）-（-m+4）=-■m2+2m
①当0 当m=1时，线段PQ与DE重合， m=1舍去，∴m=3，此时P1（3，1）.
②当m<0或m>4时，■m2-2m=■，解得m=2±■，经检验符合题意
此时P2（2+■，2-■），P3（2-■，2+■）
综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 （3，1），P2（2+■，2-■），P3（2-■，2+■）.
这是一道以二次函数为背景的压轴题，尤其是它的第（2）题是很经典的面积问题，有很多方法，也可以利用S四边形ABFC=S△ABC + S△BCF，而△BCF的面积可以利用“铅垂高，水平宽”来求。
第（2）题的解答第二种解法是：
假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF，过点F作y轴的平行线交直线BC于点M。
易求直线BC的解析式：y=-x+4。
设点F的坐标为（t，-■t2+t+4），点M的坐标为（t，-t+4）
FM =（-■t2+t+4）-（-t+4）=-■t2+2t.
∴S四边形ABFC = S△ABC+S△BCF
=■×6×4+■×FM×4=■×（-■t2+2t）×4
=-t2+4t+12
其它解答过程略。
第（2）题的解答第三种解法是：
假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF，过点F作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点N，S四边形ABFC = S△AOC+S四边形ONFC +S△ BNF
其它解答过程略。
第（2）题的解答第四种解法是：可用前面的方法可求得S四边形ABFC=-t2+4t+12，求出面积的最大值。
S四边形ABFC=-t2+4t+12=-（t-2）2+16，
当t=2时，四边形ABFC的面积存在最大值16<17，故不存在满足条件的点F
第（2）题可进行变式：若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，四边形ABFC的面积是否存在最大值，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
易求四边形ABFC的面积存在最大值16，点F的坐标为（2，4）
第（2）题变式后还有另一种解法：
过点F作直线L∥直线BC当直线L与抛物线只有一个交点时S△BCF最大
设直线L的解析式为y=-x+h，
-■x2+x+4=-x+h，当△=0时S△BCF 最大，
求得h=6，此时x=2，点F为（2，4）
在这道题中，数形结合、分类讨论、方程的数学思想得到了充分体现，是一道好题，有很强的探索性。中考的复习时间毕竟很有限，多进行一题多解，一题多变式，举一反三，可以更高效地复习。只有具备扎实的基础知识，掌握熟练的基本技能才能更好地解决综合题。
有关二次函数的压轴题，是一道函数与几何的综合题，它具有选拔功能，是数学思想的综合运用题，它考查的知识点多、解题方法多、能力要求高，体现了数与形的巧妙结合。下面对2014年潍坊市数学中考最后一道题进行探索，让我们来感受数学的魅力。
题目：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
分析：第（1）题由抛物线的对称性易求出点B的坐标是（4，0），基础知识掌握好的学生可以较快把抛物线的解析式正确求出。
第（2）题是面积问题。面积问题是中考的热点问题，一般情况下，可以直接运用图形的面积公式求；对于不规则图形的面积可以利用“割补法”或“平行线法”进行转化。有运动的题目要注意以静求动。考查了方程、数形结合和化归的数学思想。
第（3）题考查了方程和分类讨论的数学思想。可以根据點P的横坐标的取值范围分类，也可以根据点P在点Q的上方或下方分类。
解法一：（1）由抛物线经过点C（0，4），对称轴x=-■=1，
可得点B的坐标是（4，0），c=4 ① ∴ 16a+4b+c=0 ②
又抛物线过点A（-2，0）∴ 4a-2b+c=0，③ 由①②③ 解得：a=-■， b=1 ，c=4.
所以抛物线的解析式是y=-■x2+x+4
（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连接BF、CF、OF.过点F分别作FH⊥x轴于H，FG⊥y轴于G.
设点F的坐标为（t，-■t2+t+4），点M的坐标为（t，-t+4） 其中0
令-t2+4+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=（-4）2-4×5=-4<0，
∴方程t2-4t+5=0无实根。
故不存在满足条件的点F.
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），又过点B（4，0），C（0，4）
所以4k+b=0b=4，解得：k=-1b=4，
所以直线BC的解析式是y=-x+4.
由y=-■x2+x+4=-■（x-1）2+■得D（1，■），
又点E在直线BC上，则点E（1，3）， 于是DE=■-3=■
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ
设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-■m2+m+4）.
易得 PQ=（-■m2+m+4）-（-m+4）=-■m2+2m
①当0
②当m<0或m>4时，■m2-2m=■，解得m=2±■，经检验符合题意
此时P2（2+■，2-■），P3（2-■，2+■）
综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 （3，1），P2（2+■，2-■），P3（2-■，2+■）.
这是一道以二次函数为背景的压轴题，尤其是它的第（2）题是很经典的面积问题，有很多方法，也可以利用S四边形ABFC=S△ABC + S△BCF，而△BCF的面积可以利用“铅垂高，水平宽”来求。
第（2）题的解答第二种解法是：
假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF，过点F作y轴的平行线交直线BC于点M。
易求直线BC的解析式：y=-x+4。
设点F的坐标为（t，-■t2+t+4），点M的坐标为（t，-t+4）
FM =（-■t2+t+4）-（-t+4）=-■t2+2t.
∴S四边形ABFC = S△ABC+S△BCF
=■×6×4+■×FM×4=■×（-■t2+2t）×4
=-t2+4t+12
其它解答过程略。
第（2）题的解答第三种解法是：
假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF，过点F作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点N，S四边形ABFC = S△AOC+S四边形ONFC +S△ BNF
其它解答过程略。
第（2）题的解答第四种解法是：可用前面的方法可求得S四边形ABFC=-t2+4t+12，求出面积的最大值。
S四边形ABFC=-t2+4t+12=-（t-2）2+16，
当t=2时，四边形ABFC的面积存在最大值16<17，故不存在满足条件的点F
第（2）题可进行变式：若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，四边形ABFC的面积是否存在最大值，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
易求四边形ABFC的面积存在最大值16，点F的坐标为（2，4）
第（2）题变式后还有另一种解法：
过点F作直线L∥直线BC当直线L与抛物线只有一个交点时S△BCF最大
设直线L的解析式为y=-x+h，
-■x2+x+4=-x+h，当△=0时S△BCF 最大，
求得h=6，此时x=2，点F为（2，4）
在这道题中，数形结合、分类讨论、方程的数学思想得到了充分体现，是一道好题，有很强的探索性。中考的复习时间毕竟很有限，多进行一题多解，一题多变式，举一反三，可以更高效地复习。只有具备扎实的基础知识，掌握熟练的基本技能才能更好地解决综合题。