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“角的大小与两边张口的大小有关，而与所画两边的长短没有关系。”这是认识角的教学难点。一方面，学生在日常生活中比较大小，绝大多数是从多少个（数量）、多长（长度）、多大的面（面积）、多大的块（体积）等方面去比较，很少接触到角的大小。另一方面，由于受长度和面积的影响，他们会习惯性地按两边的长短及两边所夹区域的大小来比较角的大小。
教学中，教师往往注重从“形”的角度引导学生认识角，相对弱化了角的本质属性——“量”。这导致学生对角的大小到底指什么以及为什么要比张开度不甚理解。如何让学生在初次认识角时就实现对角“形”与“量”的同步建构，凸显角的本质特征呢？
一、创设情境，激活角的量性经验
学生的已有经验是主动建构新知识的前提和基础。教师要充分挖掘学生生活中有关角的量性特征的已有经验，激活学生的生活体验，唤醒学生关于角的量感直觉。
开课时，笔者创设了比比鳄鱼爸爸与鳄鱼妈妈谁的嘴巴张得更开的趣味情境。首先，笔者用课件呈现鳄鱼爸爸和鳄鱼妈妈张开嘴巴的图片，并提问：“鱷鱼爸爸和鳄鱼妈妈，谁的嘴巴张得更大一些？你能用手势表示它们嘴巴张开的样子吗？”学生想到用两只手或叉开两根手指来表示鳄鱼嘴巴的张开度。笔者乘机提示：鳄鱼的上下颚可以用两条直直的线来表示（课件呈现从鳄鱼嘴巴剥离出平面上的角），从而引出角的概念。然后，笔者引导学生观察实物图片（剪刀、手帕、红领巾）并从中找到角。学生交流后，笔者用课件显示用红线描出角的过程，并让学生用手势做出这三个角的样子，引导他们直观感知哪个角张开得最大，哪个角张开得最小。最后，笔者用课件演示把这些角“请下来”（从实物中抽象出角）的过程。
趣味情境的创设，有效激活了学生头脑中已有的有关角的量性特征的经验。用动作直观感知鳄鱼嘴巴张开的大小及剪刀、手帕、红领巾上角的张开程度的活动，使学生在初步接触角时便实现了对角的量性特征的有效关注。
二、符号表征，外显角的量性特征
在教学角的各部分名称后，教师往往会直接告知学生“通常在两条边之间靠近顶点的地方画一个短弧线来表示角”。这在教师看来是自然而然的事，但学生却很疑惑。为什么要添上这个小弧线？小弧线表示什么意思呢？小弧线跟角的样子也很不一样啊？以至很多学生画角时常常会忘记标示短弧线。其实短弧线源自清晰标记研究对象的需要，它有表示开口方向、两边所夹区域以及旋转扫过的区域等多方面含义。同时，该符号耦合了角的弧度制测量的意蕴。因此，用短弧符号能有效外显角的量性特征，彰显其独特的测量内涵。基于此，笔者进行了如下教学。
首先用课件出示钟面（时针、分针重合指向“12”），动态演示分针走1个大格，并提问：仔细观察，你看到角了吗？接着演示分针继续走4个大格，并提问：这时形成的角和刚才那个角有什么不一样？（屏幕下方呈现前后两次形成的角）学生发现第二个角大，第一个角小。笔者追问：你是怎么知道的？有的学生说：第一个角只张开了一点，第二个角张开得很大。还有的学生说：第一个角时针与分针之间只隔了1个大格，第二个角时针与分针之间隔了4个大格还多一点，所以第二个角更大。笔者总结：也就是第二个角中分针走得更远一些，所以角张开得更大，为了清楚地表示出第二个角分针走得更远，角张开得更大，我们常用这样的短弧来表示角两边之间张开的大小（课件呈现两条表示旋转方向的短弧）。
角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，这是角的动态化定义。虽然二年级学生主要是认识静态角，但恰当引入动态角，有利于学生清晰地感知角的大小变化。适时呈现的短弧线，让学生对表示角的符号所蕴含的量性本质有了明确的认识。当短弧线在学生心中有了意义，他们画角时就不再是盲从教师的指令，而是自觉运用短弧线来表示角，甚至还会注意到给大小不同的角标注符号时，所画弧线的长度也会不一样。
三、丰富体验，理解角的量性特征
科学研究发现，8岁以后的儿童，虽然能察觉角的两边张开的程度，但缺乏角的保留性概念，同样大的角，角的两边长短不同或是角的开口方向不同，学生就较难由视觉正确分辨。教学中，笔者感知到相比“角的大小与两边张口的大小有关”，学生更难理解的是“角的大小与所画两边的长短无关”。面对头脑中还没有“射线”概念的学生，怎样有效突破这一难点呢？笔者组织学生开展了以下探究活动。
活动一：做个身体角。笔者让学生把肚脐当作角的顶点，把双腿当作角的两条边，两腿张开做个角，然后让学生演示把角变大一些（把两腿张开些）、变小一些（把两腿收拢些），并说一说自己的发现。
活动二：比较张开度差异较大（同方向）的角。重在引导学生掌握用重叠的方法比较角的大小。
活动三：找出三角尺上的哪个角与纸上所画的角一样大。笔者出示两个开口方向和张开角度差异较大的角（∠1较大，∠2较小），先让学生用重叠的方法比一比三角尺上的角与学习单上∠1的大小，并用实物投影展示学生的操作过程。接着笔者提问：这个三角尺放在这，看起来似乎很大，可为什么这两个角一样大呢？有的学生说：因为它们的两条边分别重合了，说明它们的张口一样大。于是笔者引导学生观察两个一样大的角有没有不同的地方。学生发现三角尺上这个角的两条边长一些，学习单上∠1的两条边短一些。笔者总结：这两个角的两边长短不同，但角却是一样大的，这说明角的大小与边的长短无关，只与两边张开的大小有关。接下来，笔者让学生在三角尺上找到与∠2一样大的角。学生通过猜想、比画、验证，明确了“角的方向虽然变了，但比角的方法没有变”。以此打破学生习惯观察右开方向的角的思维惯性，促进学生灵活地建立角的“量感”表象。
活动四：辨一辨，角变大了吗？笔者用课件呈现一个角及这个角用放大镜放大后的图片，引导学生交流角的大小是否发生了变化。这个问题激发了学生的认知冲突。有学生认为：既然是放大镜放大了，那角也应该变大了。也有学生附和：放大后的角的边变粗变长了，我感觉角变大了。立即有学生反驳：不对，角的大小与边的长短没有关系，边变粗了，但两边的张口并没有改变，所以角没有变大。笔者乘机总结：放大镜下的角，虽然边变长变粗了，但两条边没有移动，说明两边的张口没有改变，所以角还是和放大之前一样大。
教学不仅仅是一种告知，更多的是学生的体验、探究和感悟。笔者设计的四个活动遵循学生的认识规律，由直观比较到直接比较再到间接比较，思维难度由浅入深，使学生在活动中探究、在操作中体验，不断完善对角的量性特征的理解，形成了对角的大小的正确认知。
（作者单位：枝江市仙女镇仙女小学）
责任编辑 刘佳
教学中，教师往往注重从“形”的角度引导学生认识角，相对弱化了角的本质属性——“量”。这导致学生对角的大小到底指什么以及为什么要比张开度不甚理解。如何让学生在初次认识角时就实现对角“形”与“量”的同步建构，凸显角的本质特征呢？
一、创设情境，激活角的量性经验
学生的已有经验是主动建构新知识的前提和基础。教师要充分挖掘学生生活中有关角的量性特征的已有经验，激活学生的生活体验，唤醒学生关于角的量感直觉。
开课时，笔者创设了比比鳄鱼爸爸与鳄鱼妈妈谁的嘴巴张得更开的趣味情境。首先，笔者用课件呈现鳄鱼爸爸和鳄鱼妈妈张开嘴巴的图片，并提问：“鱷鱼爸爸和鳄鱼妈妈，谁的嘴巴张得更大一些？你能用手势表示它们嘴巴张开的样子吗？”学生想到用两只手或叉开两根手指来表示鳄鱼嘴巴的张开度。笔者乘机提示：鳄鱼的上下颚可以用两条直直的线来表示（课件呈现从鳄鱼嘴巴剥离出平面上的角），从而引出角的概念。然后，笔者引导学生观察实物图片（剪刀、手帕、红领巾）并从中找到角。学生交流后，笔者用课件显示用红线描出角的过程，并让学生用手势做出这三个角的样子，引导他们直观感知哪个角张开得最大，哪个角张开得最小。最后，笔者用课件演示把这些角“请下来”（从实物中抽象出角）的过程。
趣味情境的创设，有效激活了学生头脑中已有的有关角的量性特征的经验。用动作直观感知鳄鱼嘴巴张开的大小及剪刀、手帕、红领巾上角的张开程度的活动，使学生在初步接触角时便实现了对角的量性特征的有效关注。
二、符号表征，外显角的量性特征
在教学角的各部分名称后，教师往往会直接告知学生“通常在两条边之间靠近顶点的地方画一个短弧线来表示角”。这在教师看来是自然而然的事，但学生却很疑惑。为什么要添上这个小弧线？小弧线表示什么意思呢？小弧线跟角的样子也很不一样啊？以至很多学生画角时常常会忘记标示短弧线。其实短弧线源自清晰标记研究对象的需要，它有表示开口方向、两边所夹区域以及旋转扫过的区域等多方面含义。同时，该符号耦合了角的弧度制测量的意蕴。因此，用短弧符号能有效外显角的量性特征，彰显其独特的测量内涵。基于此，笔者进行了如下教学。
首先用课件出示钟面（时针、分针重合指向“12”），动态演示分针走1个大格，并提问：仔细观察，你看到角了吗？接着演示分针继续走4个大格，并提问：这时形成的角和刚才那个角有什么不一样？（屏幕下方呈现前后两次形成的角）学生发现第二个角大，第一个角小。笔者追问：你是怎么知道的？有的学生说：第一个角只张开了一点，第二个角张开得很大。还有的学生说：第一个角时针与分针之间只隔了1个大格，第二个角时针与分针之间隔了4个大格还多一点，所以第二个角更大。笔者总结：也就是第二个角中分针走得更远一些，所以角张开得更大，为了清楚地表示出第二个角分针走得更远，角张开得更大，我们常用这样的短弧来表示角两边之间张开的大小（课件呈现两条表示旋转方向的短弧）。
角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，这是角的动态化定义。虽然二年级学生主要是认识静态角，但恰当引入动态角，有利于学生清晰地感知角的大小变化。适时呈现的短弧线，让学生对表示角的符号所蕴含的量性本质有了明确的认识。当短弧线在学生心中有了意义，他们画角时就不再是盲从教师的指令，而是自觉运用短弧线来表示角，甚至还会注意到给大小不同的角标注符号时，所画弧线的长度也会不一样。
三、丰富体验，理解角的量性特征
科学研究发现，8岁以后的儿童，虽然能察觉角的两边张开的程度，但缺乏角的保留性概念，同样大的角，角的两边长短不同或是角的开口方向不同，学生就较难由视觉正确分辨。教学中，笔者感知到相比“角的大小与两边张口的大小有关”，学生更难理解的是“角的大小与所画两边的长短无关”。面对头脑中还没有“射线”概念的学生，怎样有效突破这一难点呢？笔者组织学生开展了以下探究活动。
活动一：做个身体角。笔者让学生把肚脐当作角的顶点，把双腿当作角的两条边，两腿张开做个角，然后让学生演示把角变大一些（把两腿张开些）、变小一些（把两腿收拢些），并说一说自己的发现。
活动二：比较张开度差异较大（同方向）的角。重在引导学生掌握用重叠的方法比较角的大小。
活动三：找出三角尺上的哪个角与纸上所画的角一样大。笔者出示两个开口方向和张开角度差异较大的角（∠1较大，∠2较小），先让学生用重叠的方法比一比三角尺上的角与学习单上∠1的大小，并用实物投影展示学生的操作过程。接着笔者提问：这个三角尺放在这，看起来似乎很大，可为什么这两个角一样大呢？有的学生说：因为它们的两条边分别重合了，说明它们的张口一样大。于是笔者引导学生观察两个一样大的角有没有不同的地方。学生发现三角尺上这个角的两条边长一些，学习单上∠1的两条边短一些。笔者总结：这两个角的两边长短不同，但角却是一样大的，这说明角的大小与边的长短无关，只与两边张开的大小有关。接下来，笔者让学生在三角尺上找到与∠2一样大的角。学生通过猜想、比画、验证，明确了“角的方向虽然变了，但比角的方法没有变”。以此打破学生习惯观察右开方向的角的思维惯性，促进学生灵活地建立角的“量感”表象。
活动四：辨一辨，角变大了吗？笔者用课件呈现一个角及这个角用放大镜放大后的图片，引导学生交流角的大小是否发生了变化。这个问题激发了学生的认知冲突。有学生认为：既然是放大镜放大了，那角也应该变大了。也有学生附和：放大后的角的边变粗变长了，我感觉角变大了。立即有学生反驳：不对，角的大小与边的长短没有关系，边变粗了，但两边的张口并没有改变，所以角没有变大。笔者乘机总结：放大镜下的角，虽然边变长变粗了，但两条边没有移动，说明两边的张口没有改变，所以角还是和放大之前一样大。
教学不仅仅是一种告知，更多的是学生的体验、探究和感悟。笔者设计的四个活动遵循学生的认识规律，由直观比较到直接比较再到间接比较，思维难度由浅入深，使学生在活动中探究、在操作中体验，不断完善对角的量性特征的理解，形成了对角的大小的正确认知。
（作者单位：枝江市仙女镇仙女小学）
责任编辑 刘佳