圆锥曲线中的一类最值问题

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  一、问题
  (1)已知椭圆■+■=1,(a>b>0),焦点F1,F2,点P(x,y)为椭圆上任意一点,P为何位置时,|PF2|最小。
  (2)已知双曲线■-■=1,(a>0,b>0),焦点F1,F2,点P(x,y)为双曲线上任意一点,P为何位置时,|PF2|最小。
  (3)已知抛物线y2=2px(p>0),焦点F,点P(x,y)为抛物线上任意一点,P为何位置时,|PF2|最小。
  解:(1),(2),(3),当P为相应顶点时,|PF1|最小。
  证明:(1)由椭圆的第二定义,■=e,当P为A2时,|PF2|最小(A2为椭圆右顶点)。
  (2)由双曲线的第二定义,■=e,当P为A2时,|PF2|最小(A2为双曲线右顶点)。
  (3)由抛物线的定义,|PF|=d,当P为原点时,|PF|最小|。
  二、知识延伸
  在上述三个问题中,若点M(m,0)为X轴上任意一点,求P位于何位置时,|PM|最小。
  证明:(1)|PM|=■,由■+■=1,
  得|PM|=■
  =■
  对称轴方程x=■,
  ①当-a<■  ②当■≥a,即m≥■,在x=a时,|PM|最小。
  ③当■≤-a,即m≤-■,在x=-a时,|PM|最小。
  (2)|PM|=■,由■-■=1,
  得|PM|=■
  =■
  对称轴方程x=■,
  ①当■>a时,即m>■,在x=■时,|PM|最小。
  ②当0≤■≤a时,即0≤m≤■,在x=a时,|PM|最小。
  ③当-a≤■<0时,即-■≤m<0,在x=-a时,|PM|最小。
  ④当■<-a时,即m<-■,在x=■时,|PM|最小。
  (3)|PM|=■,由y2=2px,
  得|PM|=■
  =■
  对称轴方程x=m-p,
  ①当m-p≤0时,即m≤p,在x=0时,|PM|最小。
  ②当m-p>0时,即m>p,在x=m-p时,|PM|最小。
  三、应用
  例1(2012德州模拟):对抛物线y2=2x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围( )
  A.[0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.(-∞,0]
  解析:当a≤1=P时,(P为抛物线焦准距),在原点时|PQ|最小,显然满足|PQ|≥|a|,故选C。
  例2(2011重庆卷):设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为 。
  解析:设圆心M(m,0),半径为r,P(x,y)为抛物线上动点,
  则m>1=P(P为抛物线焦准距),
  在x=m-1时,即P(m-1,■,|PM|最小,
  即圆M与抛物线相切于点P。
  r=|PM|=■=3-m(m<3),
  m=4-■,r=■-1。
  例3:已知椭圆C:■+y2=1(m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C的右顶点,定点A(2,0)。若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围?
  解析:当■≥a,即m≥■,在x=a时,|PM|最小(见上文),所以2≥■,即m2-2m-1≤0,即1  上述几个结论为圆锥曲线一类最值问题,若能记住并能掌握实质和推导过程,对于我们解决填空题和选择题还是比较方便的。
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