摘要：对具有无限个点的紧致度量空间上的连续映射，研究了逐点伪轨跟踪性质与Ruelle-Takes 意义下混沌、拓扑混合以及具有性质P的关系和逐点伪轨跟踪性质在不变集上的保持性。
　　关键词：逐点伪轨跟踪性质；拓扑混合；链可迁；性质P；Ruelle-Takes意义下混沌
　　中图分类号：O189.3文献标识码：A文章编号：2095-7394（2014）06-0018-03
　　0引言
　　伪轨跟踪性质是动力系统中的一个重要概念，它与系统的稳定性和混沌有密切的关联[1-3]。随着动力系统研究的不断深入，学者发展了各种不同的跟踪技术[4-7]。文献[8]给出了一种新的跟踪性概念——逐点伪轨跟踪性质。它与传递性，Ruelle-Takes 混沌，性质P等动力系统有密切的联系。因此，对具有逐点跟踪性质系统的研究是一件有意义的工作。本文证明了：若X连通，f是具有逐点伪轨跟踪性质的链可迁映射，则（1）f是Ruelle-Takes意义下混沌的；（2）f是拓扑混合的；（3）f具有性质P。1定义和引理
　　定义1设{xi}+∞i=0是X中的序列，如果对于任意i≥0，有d（f（xi），xi+1）<δ，则称序列{xi}+∞i=0为f的一个δ伪轨。如果x，y∈X，ε>0，存在X上的一个有限ε伪轨{x0，x1，…，xn}，使得x0=x，xn=y，则称{x0，x1，…，xn}为一个从x到y的ε链，n+1称为该ε链的长度。如果ε>0，x，y∈X都存在一个从x到y的ε链，则称f是链可迁的。
　　定义2设f：XX是连续映射，若对于任意ε>0，总存在一实数δ>0，使得f的任意δ伪轨{x0，x1，…}，对于某个N>0，有{xN，xN+1，…}总能被X中某点相对于fε跟踪，则称f满足逐点伪轨跟踪性质。
　　定义3设动力系统（X，f），若对于每一对X的任意非空开集U，V，总存在一个n>0，使得f n（U）∩V≠，则称f是拓扑可迁的；若对于每一对X的任意非空开集U，V，都存在一个正整数N，使得当n>N，有f n（U）∩V≠，则称f是拓扑混合的。
　　定义4对于x∈X，若存在ε<0，对于任意δ>0，总存在y∈X及n∈
　　瘙 綃 ，当d（x，y）<ε时，有d（f n（x），f n（y））>δ，则称f敏感依赖初始条件。如f：XX是拓扑可迁的和敏感依赖于初始条件的，则称f是Ruelle-Takes意义下混沌的。
　　定义5如对于X的任意两个非空开集U0，U1，总存在N∈
　　，{xi}+∞i=0是f l的一个δ伪轨，即对于任意i≥0，有d（f（xi），xi+1）<δ，则{x0，f（x0），f 2（x0），…，f l-1（x0），x1，f（x1），f 2（x1），…，f l-1（x1），x2，f（x2），f 2（x2）…}，即yl i+m=f m（xi）（0≤m≤l-1，i≥0）为f的一个δ伪轨。由于f具有逐点伪轨跟踪性质，所以对于ε>0，存在X中的一点z，使得对某个N>0，d（f i（z），yN+i）<ε（当i≥0）。设N modl=k（0≤k≤1-1），对I≥0，取i=lI+l-k亦成立，即d（f lI+l-k（z），yN+lI+l-k）<ε。而yN+lI+l-k=xI+N1l+1，即d（flI（f l-k（z）），x（N1l+1）+I）<ε，即存在N1=N1l+1及点z1=f l-k（z），有d（f lI（z1），xN1+I）<ε，所以f l也具有逐点伪轨跟踪性质。江苏理工学院学报第20卷第6期曹毅：逐点伪轨跟踪性质与混沌
　　引理2[1]若X连通，f：XX链可迁，则f是链混合的。
　　引理3[8]设X是紧致度量空间，若f具有逐点伪轨跟踪性质，对n∈
　　瘙 綃 ，当n≥N2时，总存在一个长度为n的y到x的δ2链。设α=（y0=x，y1，…，yN1-1），β=（yN1=y，yN1+1，…，yN1+N2-1）及A=（α，β，α，β，…）=（z0，z1，…），取δ=max{δ1，δ2}，则A是f l的一δ伪轨，且（zN，zN+1，…）被X中的某点ωε跟踪。则存在i　　f l（j-i）（B（x，ε1））∩B（y，ε2）≠，而j-i=N1，即f lN1（B（x，ε1））∩B（y，ε2）≠。
　　所以存在N1>0，对n≥N1，有f ln（B（x，ε1））∩B（y，ε2）≠，故f l是拓扑混合的。
　　推论1若f：XX具有逐点伪轨跟踪性质，则f l是拓扑混合的当且仅当f l是链混合的。
　　证明由引理5和定理1即得。
　　此结论推广了文献[9]中的推论1。
　　定理2若X连通，f是具有逐点伪轨跟踪性质的链可迁映射，则
　　（1）f是Ruelle-Takes意义下混沌的；
　　（2）f是拓扑混合的；
　　（3）f具有性质P。
　　瘙 綃 ，f n链可迁。由引理3，若f具有逐点伪轨跟踪性质，则f敏感依赖于初始条件。由引理4即得f是Ruelle-Takes意义下混沌的.由定理1，可由f是链混合和具有逐点伪轨跟踪性质推出f是拓扑混合的，而f具有性质P可由引理6得到。
　　定理3设（X，d）是紧致度量空间，f：XX连续，若f是X上的具有逐点伪轨跟踪性质的等度连续映射，=KX，f（K）K，则f|K具有逐点伪轨跟踪性质，且对于任给ε>0，存在δ>0，存在一N>0，K中任一δ伪轨{xi}ni=0（0　　证明因为f等度连续，则对于任给ε>0，存在0<δ<ε，使得任意给定x，y∈X，当d（x，y）<δ，有d（fn（x），（f n（y））<ε12，n=1，2，…。由于f具有逐点伪轨跟踪性质，对于δ12>0，存在δ1>0，对X中的任一δ1伪轨，总存在N>0，（zN，zN+1，…）被X中某点δ12跟踪。设{xi}ni=0（00，存在y∈X，使得d（f i（y），xN+1）<δ12。又因为xN∈K，f（K）K，所以任给n∈Z+，f n（xN）∈K。而d（y，xN）<δ12，所以对于任给的n∈Z+，有d（f l（y），f i（xN））<ε12，从而d（f i（xN），xN+1）<ε，即xN相对于f|K逐点伪轨跟踪δ1伪轨{xi}ni=0（0　　[2] Aoki N.Topological Dynamics[M] //Morita K，Nagata J，eds，Topics in General Topology.1989.
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　　CAO Yi
　　（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of
　　Technology，Changzhou 213001，China）
　　Abstract：For continuous surjection f of compact metric space with infinite elements，we study the relationships between f have pointwise pseudo-orbit tracing property and f is chaotic in the sense of Ruelle-Takes，topological mixing and have property P.
　　Key words：pointwise pseudo-orbit tracing property；Topological mixing；Topological chain transitivity；Property P；chaotic in the sense of Ruelle-Takes
　　责任编辑祁秀春