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摘要：数学概念是通过对特定数学事物的比较、分析、综合和概括而形成的固定的对事物本质属性的一种揭示，是构建数学理论大厦的基石，理解和掌握概念是学好数学的基础。因此，在数学教学中概念的教学有着极其重要的地位。
关键词：教学设计；APOS；理论；构建实践；思考
一、问题的提出
目前，数学概念的教学模式多种多样，各具特色。在现阶段，我国数学教师把握较熟练、运用最频繁的是概念同化教学模式。
数学概念本身具有“过程——对象”的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，应该返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。近年来，美国数学教育家杜宾斯基（Dubinsky）等人提出一种建构主义学说——APOS理论。这个理论对数学概念的建立步骤提供了新的界定，也体现了一种教学规律，为概念教学提供了新的理论支持，为教师提供了一种实用的教学策略。
二、APOS理论的构建
APOS分别是由英文action（操作）、process（过程）、object（对象）和scheme（图式）的第一个字母所组合而成，称其为APOS理论。这种理论认为，在数学概念学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式从而理清问题情景、顺利解决问题。
APOS理论将数学概念的建立分为活动—过程—对象—概念四个阶段，如果数学教学停留在活动层面，那不是真正的理想的数学概念学习，数学概念学习还应上升到抽象层面，使概念的形成的“活动、过程”向对象阶段转化，从而达到“图式”阶段，才能掌握数学知识的本质与内在。
三、基于APOS理论的教学设计
本人认为，APOS理论的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段，过程阶段则是对具体实体进行思维概括得出数学概念的阶段。但这还没有结束，要对概念有真正的理解，要使数学概念真正在学生头脑中建立起来，还必须上升到对象、图式阶段。同时，还必须注意，APOS理论的四个阶段一般不能逾越，应当循序渐进。同时，又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象，不断地形式化，最后完成数学概念的建立。
老师引导学生思考平面直角坐标系与数轴的关系，对学生拓宽思考问题的方式大有好处，明确此事物和它事物的区别与联系，也是认识事物的一种方式。
四、几点启示
数学概念教学的一般要求是：使学生了解概念的产生，掌握概念的内涵和外延，熟悉其表达方式，了解有关概念之间的区别与联系，并能正确灵活运用概念，达到理解、巩固、系统、会用的目的。所以在日常的教学中，我们应当重视概念的形成过程，把容易混淆的概念加以对比等等。
五、数学概念教学中几点建议
从APOS理论可以看出，数学学习中图式的形成往往并非是一种自觉的行为，而是一个不知不觉的渐进的建构过程。在整个环节中，相应的操作为图式的形成提供了必要的基础。从这样的角度去分析，“熟能生巧”这一传统的中国数学学习方法显然有其一定的合理性。但是，对于这里所说的“操作”必须作广义的理解，它未必一定是具体的运算，而也可以是任何的数学运作，更不必一定有明确的算法。目前，APOS理论已经在很多方面得到广泛的应用，如函数概念、微积分问题、统计学中的问题等等。此外，APOS理论还可以帮助我们梳理一些复杂概念的数学思维，对定量研究的数据也非常有效的，而且为我们讨论教学中深层观点提供了可以交流的语言。当然，APOS理论对于数学学习，确切地说，对于数学的概念的学习能产生多大的指导作用，最终还要依赖于教师的课堂实践。为此，提出以下几点教学建议。
（一）努力创设适合学生概念发展的现实情境
我们说要形成概念，需要寻找它生存的现实土壤，需要活动让学生亲身感知问题，也需要学生积极展开思考、从现实情境中去发现数学。情境问题的设计要注意以下几个方面：（1）揭示数学概念的现实背景和形成过程；（2）适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；（3）适当的问题数量，使学生能进行充足的活动体验；（4）注意趣味性，引起全体学生的学习兴趣。但是，概念教学也不能仅仅停留于活动层面，对活动阶段花大力气、多时间，而对其他阶段草草收场，这也是不符合理论的，甚至是舍本逐末的。
（二）对象、图式阶段是数学概念在学生头脑中建立的长远之计，二者可以循环上升
这两个阶段在揭示概念之后，对象阶段是由概念衍生开来的性质探索、运算、证明等，图式阶段是对前面三个阶段的一个总体把握，但这并不等同于说一定在历经前面所有阶段之后，才进入图式阶段。对象阶段与图式阶段可以往复序进、循环上升的。在教学过程中，这两个阶段可交替进行，在学生进行概念认识、处理的同时，老师可以引导学生尝试评价概念。从这个角度来看，体验对象阶段和图式阶段是可以同时存在于一个时期的。
（三）创设情景不是数学概念教学的最终目的
我们说要形成概念，需要寻找它生存的现实土壤，需要活动让学生亲生感知问题，也需要学生积极展开思考、从现实情景中去发现数学。但是。概念教学也不能仅仅停留于活动层面，对第一阶段花大力气、多时间，而对其他阶段草草收场，这也是不符合理论的，甚至是舍本逐末的。
【参考文献】
[1]张奠宙.数学教育：面对新世纪的挑战[J].中学数学参考．2001，（10）.
[2]叶澜.让课堂焕发出生命的活力[J].教育研究．1997，（9）.
[3]罗增儒.零距离数学交流——体验与探究[M].广西教育出版社．2003，（5）.
[4]张忠华.提高课堂教学效率的策略[J].教学研究，2001，1.
[5]郭元祥.课程观的转向[J].课程?教材?教法，2001，6.
关键词：教学设计；APOS；理论；构建实践；思考
一、问题的提出
目前，数学概念的教学模式多种多样，各具特色。在现阶段，我国数学教师把握较熟练、运用最频繁的是概念同化教学模式。
数学概念本身具有“过程——对象”的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，应该返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。近年来，美国数学教育家杜宾斯基（Dubinsky）等人提出一种建构主义学说——APOS理论。这个理论对数学概念的建立步骤提供了新的界定，也体现了一种教学规律，为概念教学提供了新的理论支持，为教师提供了一种实用的教学策略。
二、APOS理论的构建
APOS分别是由英文action（操作）、process（过程）、object（对象）和scheme（图式）的第一个字母所组合而成，称其为APOS理论。这种理论认为，在数学概念学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式从而理清问题情景、顺利解决问题。
APOS理论将数学概念的建立分为活动—过程—对象—概念四个阶段，如果数学教学停留在活动层面，那不是真正的理想的数学概念学习，数学概念学习还应上升到抽象层面，使概念的形成的“活动、过程”向对象阶段转化，从而达到“图式”阶段，才能掌握数学知识的本质与内在。
三、基于APOS理论的教学设计
本人认为，APOS理论的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段，过程阶段则是对具体实体进行思维概括得出数学概念的阶段。但这还没有结束，要对概念有真正的理解，要使数学概念真正在学生头脑中建立起来，还必须上升到对象、图式阶段。同时，还必须注意，APOS理论的四个阶段一般不能逾越，应当循序渐进。同时，又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象，不断地形式化，最后完成数学概念的建立。
老师引导学生思考平面直角坐标系与数轴的关系，对学生拓宽思考问题的方式大有好处，明确此事物和它事物的区别与联系，也是认识事物的一种方式。
四、几点启示
数学概念教学的一般要求是：使学生了解概念的产生，掌握概念的内涵和外延，熟悉其表达方式，了解有关概念之间的区别与联系，并能正确灵活运用概念，达到理解、巩固、系统、会用的目的。所以在日常的教学中，我们应当重视概念的形成过程，把容易混淆的概念加以对比等等。
五、数学概念教学中几点建议
从APOS理论可以看出，数学学习中图式的形成往往并非是一种自觉的行为，而是一个不知不觉的渐进的建构过程。在整个环节中，相应的操作为图式的形成提供了必要的基础。从这样的角度去分析，“熟能生巧”这一传统的中国数学学习方法显然有其一定的合理性。但是，对于这里所说的“操作”必须作广义的理解，它未必一定是具体的运算，而也可以是任何的数学运作，更不必一定有明确的算法。目前，APOS理论已经在很多方面得到广泛的应用，如函数概念、微积分问题、统计学中的问题等等。此外，APOS理论还可以帮助我们梳理一些复杂概念的数学思维，对定量研究的数据也非常有效的，而且为我们讨论教学中深层观点提供了可以交流的语言。当然，APOS理论对于数学学习，确切地说，对于数学的概念的学习能产生多大的指导作用，最终还要依赖于教师的课堂实践。为此，提出以下几点教学建议。
（一）努力创设适合学生概念发展的现实情境
我们说要形成概念，需要寻找它生存的现实土壤，需要活动让学生亲身感知问题，也需要学生积极展开思考、从现实情境中去发现数学。情境问题的设计要注意以下几个方面：（1）揭示数学概念的现实背景和形成过程；（2）适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；（3）适当的问题数量，使学生能进行充足的活动体验；（4）注意趣味性，引起全体学生的学习兴趣。但是，概念教学也不能仅仅停留于活动层面，对活动阶段花大力气、多时间，而对其他阶段草草收场，这也是不符合理论的，甚至是舍本逐末的。
（二）对象、图式阶段是数学概念在学生头脑中建立的长远之计，二者可以循环上升
这两个阶段在揭示概念之后，对象阶段是由概念衍生开来的性质探索、运算、证明等，图式阶段是对前面三个阶段的一个总体把握，但这并不等同于说一定在历经前面所有阶段之后，才进入图式阶段。对象阶段与图式阶段可以往复序进、循环上升的。在教学过程中，这两个阶段可交替进行，在学生进行概念认识、处理的同时，老师可以引导学生尝试评价概念。从这个角度来看，体验对象阶段和图式阶段是可以同时存在于一个时期的。
（三）创设情景不是数学概念教学的最终目的
我们说要形成概念，需要寻找它生存的现实土壤，需要活动让学生亲生感知问题，也需要学生积极展开思考、从现实情景中去发现数学。但是。概念教学也不能仅仅停留于活动层面，对第一阶段花大力气、多时间，而对其他阶段草草收场，这也是不符合理论的，甚至是舍本逐末的。
【参考文献】
[1]张奠宙.数学教育：面对新世纪的挑战[J].中学数学参考．2001，（10）.
[2]叶澜.让课堂焕发出生命的活力[J].教育研究．1997，（9）.
[3]罗增儒.零距离数学交流——体验与探究[M].广西教育出版社．2003，（5）.
[4]张忠华.提高课堂教学效率的策略[J].教学研究，2001，1.
[5]郭元祥.课程观的转向[J].课程?教材?教法，2001，6.