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摘要：本文以数学科学的认知规律为根本，以实现数学教育的三层次目标为宗旨，以现代建构主义学习理论为依据，就目前学生普遍存在的三类学习困惑，探索更合理的教学原则和方法。
关键词：认知规律，学教并重，数学教学
一、引言
数学是人们认识和理解世界的重要方式，是一切科学的基础和锁钥。而近几十年由数学直接引发的理念突破和技术革新更是层出不穷。国民的数学修养关系着一个国家的原始创新能力，因此如何提高数学教育水平一直是国内外基础和高等教育研究的主题。目前，各高校大多专业都需要较深厚的数学功底，数学课质量的好坏，直接影响学生对后继专业课程的学习。同时，正确合理的数学训练更有助于培养学生创新思维能力和独立自由的学术品质。所以探索更科学更合理的教、学方法对于提高学校人才质量具有重要的现实意义。
二、学科特点与教学目标
作为人类文化最精华的部分之一，数学是客观与主观的统一。一切现象背后都隐藏着丰富的数学结构，同时数学也是人们认知世界过程中意识思维的产物。例如通过对外界信息的感知、识别、加工、整合、抽象，逐渐洞悉各类现象的运作机制。其中视觉对空间影像的呈现，是几何思维产生的最初诱因；而听觉对时间流逝的感知，则是代数演变思想的来源。总之，数学自有其本然的认知和发展规律。在教、学过程中，若能尊重和善用这些规律，则必然事半功倍。数学的教、学目标可分为三个层面：
（一）技术层面。本质上是一种常识教育，即以传承已有的知识和方法為教学目的，主要为后续学习和工作做知识和技术上的准备。使学生明白它是什么或怎么做？
（二）意识层面。弄懂“方法“背后的”道理“，训练举一反三的能力，发现问题后，有应用已掌握的数学方法的意识，着重培养数学意识和思维方式。为后续学习和工作做思维能力上的准备。使学生明白为什么需要它或为什么这样做？
（三）智慧层面。以启迪智慧，激发创新精神为目的。使学生体验到如何获得它或如何发现它？即各种概念、道理、方法从何而来，如何而来，为何而来？为后续创造性学习和工作，即更深刻道理的发现以及新概念新技术新方法的开发做智慧上的准备。
三、教学原则与改革理念
相应于三层面教学目标，目前学生普遍存在如下三种程度的困惑：无法掌握基本知识和技巧；明白基本知识，但不能举一反三；虽然能在一定范围内举一反三，但仍然只是被动地接受知识，不能自主思考，不能切身体会这些知识的必要性和重要性，缺乏学术鉴赏力。这三类困惑与数学的产生背景、认知规律、以及发展历程都息息相关。要从根本上解决问题，需要深入研究这三类困惑产生的根源，结合心理学与认知科学，以现代建构主义学习理论为工具，探索更合理的教学方案和方法。针对各类学生的各类困惑，对症下药，因材施教。充分尊重学生在教学过程中的主体地位，更好地发挥教师的主导作用，学教并重，建立一整套能有效实现三层面教学目标的最优化动态教学系统。具体包含以下三方面内容：
（一）教学材料的整合，即研究“教、学什么”？建立更合适的教材体系。
为了适应以“教师为主导，学生为主体”的学教并重教学模式，有必要重新审视教学内容。从认知世界、文化传承、技术应用等全方位角度设计情境化教材体系。使其既包含古典、近现代数学中最基础、最精华、最有用的部分，同时又突破科目、章节的局限，使其前后贯穿、有机相连，特别要体现出数学的整体性和统一性。
（二）教学方式的改进，即研究“如何教、学”？建立更合理的教法系统。
以数学发现的内在规律为根本依据，关注学生个体差异性，重视启发式教法和探究式学法的灵活运用，激发学生的创造潜能。通过设计适当的学习情境，帮助学生经历完整的知识发现、应用和发展的过程，实现意义建构。使学生在追本溯源、探索发现的实践中，将知识纳入自己的认知结构中，并尝试用它解决新问题。建立完整细致的教学方法系统，使学习者能亲身体验创造的过程，感受思维背后的驱动作用。更好地实现数学智慧的启迪，和独立学术品格的塑造。
（三）教学效果的检验，即研究“教、学如何”？建立更合理的评价体系。
作为教学系统的反馈环节，评价方式也需要重新审视。要充分关注学生的学习态度和学习过程，改变以往单纯强调结果的评价方式。事实上，教学效果的检验应该是一个长期的过程。理想的长期效果就是，若干年后，学生可能忘记公式定理的细节，但掌握了分析问题的方法，或者忘了具体的方法，但还懂得背后的道理，即便道理也模糊了，但数学课上所培养的独立思考能力和对事物的洞察力以及领悟力会伴随其一生。因此，能否找到一种能在短时间内实施同时能预测未来长时间教学效果的检验体系，是对数学教育工作者的一个挑战。
四、实践思路和具体方法
要成功实现上述教学原则和理念，关键要做到以下几点：
（一）掌握资讯，精心备课。本文所讲的认知规律，包含主观（学生状况）和客观（学科特点）两方面内容。因此具体实践方案需要双管齐下。学生状况方面，运用调查法了解学生对数学学科的情感现状，掌握学习动机；运用测试法了解学学生的知识基础和认知水平等。学科特点方面，运用文献法、比较分析法、归纳法等方法，深入探讨数学的内在认知规律和发展历程，并将其应用于教学系统设计。因此，教师必须针对学生的实际需要，参考大量经典专著与最新文献，掌握学科起源，发展以及最新研究动态。讲课深入浅出，通俗易懂。对关键概念和方法，联系历史和前沿，为学生解释其要害所在，使之能领会到其中的精神实质。
（二）反思改进，交流互动。对于不同类型的学生，要采取不同的教学方案和策略，通过检验反馈调节，以达到教学系统的最优化。在这过程中，要综合使用实验法、统计法等教学研究方法。同时，注重培养学生独立的学术品格和气质，不人云亦云。激发学生愤、悱的求知欲。同时注重启发学生自主思维，提升其数学修养和鉴赏力。并鼓励学生把所学内容与自己的专业相结合，充分调动学习积极性。
五、结论
总之，在教学实践中深刻反思“教与学”的客观规律。逐渐认识到教学的本质，在于打破对“成见”与“习惯”的执著。而在此过程中，弯路和困惑是不可避免的，甚至是成长的必经之路。比如刚执教时，总是希望以最简洁、最清晰、最直接的方式将知识传递给学生，尽量使学生少走弯路。然而在与学生的交流互动中，发现这种教学法的效果并不尽如人意。事实上，自己历经曲折才领悟到的学问精华，没有走过弯路的学生却未必能感受到其价值所在。至此，才开始懂得如何把握“不愤不启，不悱不发”的火候，才真正体会到数学教育中“留白”的妙用。
参考文献：
[1]吴疆，张攀峰，常樱.现代教育技术教程（第三版）.人民邮电出版社，2009年。
[2]菲利克斯.克莱因，高观点下的初等数学.复旦大学出版社，2008年。
[3]何克抗.建构主义学习环境下的教学设计.数学教育.2005（4）
基金项目：*本文受首都经济贸易大学校级教改青年项目“基于认知规律的学教并重理念在数学教学中的实践研究”的资助。
关键词：认知规律，学教并重，数学教学
一、引言
数学是人们认识和理解世界的重要方式，是一切科学的基础和锁钥。而近几十年由数学直接引发的理念突破和技术革新更是层出不穷。国民的数学修养关系着一个国家的原始创新能力，因此如何提高数学教育水平一直是国内外基础和高等教育研究的主题。目前，各高校大多专业都需要较深厚的数学功底，数学课质量的好坏，直接影响学生对后继专业课程的学习。同时，正确合理的数学训练更有助于培养学生创新思维能力和独立自由的学术品质。所以探索更科学更合理的教、学方法对于提高学校人才质量具有重要的现实意义。
二、学科特点与教学目标
作为人类文化最精华的部分之一，数学是客观与主观的统一。一切现象背后都隐藏着丰富的数学结构，同时数学也是人们认知世界过程中意识思维的产物。例如通过对外界信息的感知、识别、加工、整合、抽象，逐渐洞悉各类现象的运作机制。其中视觉对空间影像的呈现，是几何思维产生的最初诱因；而听觉对时间流逝的感知，则是代数演变思想的来源。总之，数学自有其本然的认知和发展规律。在教、学过程中，若能尊重和善用这些规律，则必然事半功倍。数学的教、学目标可分为三个层面：
（一）技术层面。本质上是一种常识教育，即以传承已有的知识和方法為教学目的，主要为后续学习和工作做知识和技术上的准备。使学生明白它是什么或怎么做？
（二）意识层面。弄懂“方法“背后的”道理“，训练举一反三的能力，发现问题后，有应用已掌握的数学方法的意识，着重培养数学意识和思维方式。为后续学习和工作做思维能力上的准备。使学生明白为什么需要它或为什么这样做？
（三）智慧层面。以启迪智慧，激发创新精神为目的。使学生体验到如何获得它或如何发现它？即各种概念、道理、方法从何而来，如何而来，为何而来？为后续创造性学习和工作，即更深刻道理的发现以及新概念新技术新方法的开发做智慧上的准备。
三、教学原则与改革理念
相应于三层面教学目标，目前学生普遍存在如下三种程度的困惑：无法掌握基本知识和技巧；明白基本知识，但不能举一反三；虽然能在一定范围内举一反三，但仍然只是被动地接受知识，不能自主思考，不能切身体会这些知识的必要性和重要性，缺乏学术鉴赏力。这三类困惑与数学的产生背景、认知规律、以及发展历程都息息相关。要从根本上解决问题，需要深入研究这三类困惑产生的根源，结合心理学与认知科学，以现代建构主义学习理论为工具，探索更合理的教学方案和方法。针对各类学生的各类困惑，对症下药，因材施教。充分尊重学生在教学过程中的主体地位，更好地发挥教师的主导作用，学教并重，建立一整套能有效实现三层面教学目标的最优化动态教学系统。具体包含以下三方面内容：
（一）教学材料的整合，即研究“教、学什么”？建立更合适的教材体系。
为了适应以“教师为主导，学生为主体”的学教并重教学模式，有必要重新审视教学内容。从认知世界、文化传承、技术应用等全方位角度设计情境化教材体系。使其既包含古典、近现代数学中最基础、最精华、最有用的部分，同时又突破科目、章节的局限，使其前后贯穿、有机相连，特别要体现出数学的整体性和统一性。
（二）教学方式的改进，即研究“如何教、学”？建立更合理的教法系统。
以数学发现的内在规律为根本依据，关注学生个体差异性，重视启发式教法和探究式学法的灵活运用，激发学生的创造潜能。通过设计适当的学习情境，帮助学生经历完整的知识发现、应用和发展的过程，实现意义建构。使学生在追本溯源、探索发现的实践中，将知识纳入自己的认知结构中，并尝试用它解决新问题。建立完整细致的教学方法系统，使学习者能亲身体验创造的过程，感受思维背后的驱动作用。更好地实现数学智慧的启迪，和独立学术品格的塑造。
（三）教学效果的检验，即研究“教、学如何”？建立更合理的评价体系。
作为教学系统的反馈环节，评价方式也需要重新审视。要充分关注学生的学习态度和学习过程，改变以往单纯强调结果的评价方式。事实上，教学效果的检验应该是一个长期的过程。理想的长期效果就是，若干年后，学生可能忘记公式定理的细节，但掌握了分析问题的方法，或者忘了具体的方法，但还懂得背后的道理，即便道理也模糊了，但数学课上所培养的独立思考能力和对事物的洞察力以及领悟力会伴随其一生。因此，能否找到一种能在短时间内实施同时能预测未来长时间教学效果的检验体系，是对数学教育工作者的一个挑战。
四、实践思路和具体方法
要成功实现上述教学原则和理念，关键要做到以下几点：
（一）掌握资讯，精心备课。本文所讲的认知规律，包含主观（学生状况）和客观（学科特点）两方面内容。因此具体实践方案需要双管齐下。学生状况方面，运用调查法了解学生对数学学科的情感现状，掌握学习动机；运用测试法了解学学生的知识基础和认知水平等。学科特点方面，运用文献法、比较分析法、归纳法等方法，深入探讨数学的内在认知规律和发展历程，并将其应用于教学系统设计。因此，教师必须针对学生的实际需要，参考大量经典专著与最新文献，掌握学科起源，发展以及最新研究动态。讲课深入浅出，通俗易懂。对关键概念和方法，联系历史和前沿，为学生解释其要害所在，使之能领会到其中的精神实质。
（二）反思改进，交流互动。对于不同类型的学生，要采取不同的教学方案和策略，通过检验反馈调节，以达到教学系统的最优化。在这过程中，要综合使用实验法、统计法等教学研究方法。同时，注重培养学生独立的学术品格和气质，不人云亦云。激发学生愤、悱的求知欲。同时注重启发学生自主思维，提升其数学修养和鉴赏力。并鼓励学生把所学内容与自己的专业相结合，充分调动学习积极性。
五、结论
总之，在教学实践中深刻反思“教与学”的客观规律。逐渐认识到教学的本质，在于打破对“成见”与“习惯”的执著。而在此过程中，弯路和困惑是不可避免的，甚至是成长的必经之路。比如刚执教时，总是希望以最简洁、最清晰、最直接的方式将知识传递给学生，尽量使学生少走弯路。然而在与学生的交流互动中，发现这种教学法的效果并不尽如人意。事实上，自己历经曲折才领悟到的学问精华，没有走过弯路的学生却未必能感受到其价值所在。至此，才开始懂得如何把握“不愤不启，不悱不发”的火候，才真正体会到数学教育中“留白”的妙用。
参考文献：
[1]吴疆，张攀峰，常樱.现代教育技术教程（第三版）.人民邮电出版社，2009年。
[2]菲利克斯.克莱因，高观点下的初等数学.复旦大学出版社，2008年。
[3]何克抗.建构主义学习环境下的教学设计.数学教育.2005（4）
基金项目：*本文受首都经济贸易大学校级教改青年项目“基于认知规律的学教并重理念在数学教学中的实践研究”的资助。