论文部分内容阅读
【摘要】 在教育改革的推动下，素质教育更加关注学生的自主学习能力和创新能力，这要求教师引导学生在学习的同时掌握学习方法. “数形结合”以其形象、直观的方式吸引着学生上课的注意力，也培养了他们的数学学习兴趣. 了解数形结合思想，探究其在初中数学教学中的具体应用，对于教学质量的提高具有重要意义.
【关键词】 数形结合思想；数形结合应用；主动学习；教学质量
教育改革的目的在于学生自主学习能力的培养和提高，为顺应创新型社会的发展要求，教育改革更加关注学生创新能力的培养. 因此，在初中数学教学中，教师不仅要教会学生知识，更要让他们掌握学习方法，做到“举一反三”. “数形结合”不仅是一种教学方法，更是一种学习方法，其应用范围不仅体现在代数问题的解决，而且在几何图形的学习上也被多次使用. 了解数形结合的思想以及它在解决初中数学问题中的应用，能够让学生在枯燥无味的学习中找到乐趣，主动学习.
一、“数形结合”思想的初步探索
数形结合是指将抽象的数学语言与直观的图形结合起来[1]，把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法，其实质是代数问题与几何问题的相互转化. 这种思想的精髓在于更加形象、直观地理解数学，培养学生的观察力，并通过分析、讨论的方法解决数学问题.
数形结合既是一种教学方法，也是一种学习方法. 教学方法对于教师而言，就是在教学过程中所使用的方法，借此教会学生知识. “数形结合”是一种教学方法，用形象的图形表示抽象的数量之间的关系，老师用这种方法提高教学质量的同时，也帮助学生更好地学习数学知识，将复杂问题简单化处理，激发他们的数学兴趣. 学习方法对于初中生而言，是在学习过程中掌握的学习技巧和方法，从而减轻学习压力. “数形结合”亦是一种学习方法，数学知识由抽象到形象的过程，也是学生理解题意的过程，学生在主动学习的过程中，将“数”和“形”灵活转换，整理做题思路，在提高做题速度的同时，保证做题质量，从而在解决数学问题的过程中给自己信心.
初中数学以代数和几何为主，“数”与“形”的结合也就是“代数”和“几何”的结合，其内容包括[2]：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数的问题. （3）与函数有关的代数、几何综合性问题. （4）以图像形式呈现信息的应用性等问题. 所以，了解数形结合的思想，并将其运用到具体数学问题解决中，对于初中数学知识的掌握具有重要作用.
二、“数形结合”在解决初中数学问题时的具体运用
（一）数形结合在初中代数中的运用
代数问题是初中数学的重点和难点之一，过于抽象，许多学生在答题过程中无从下手，我将介绍几例代数题型来帮助大家更好地理解数形结合在代数问题中的具体运用方法.
例1 已知， x ≥ 0，y ≥ 0，且，x 2y = 1，求x2 y2 的最大值与最小值.
分析 单纯的使用代数方法进行求解，可以采用消元法，将x 2y = 1转化为x = 1 - 2y①，然后采用代入法，将①式代入x2 y2 中进行一元二次方程的求解（注意定义域和值域的范围），这种解题方法较为复杂且抽象，而且在求解过程中极易出现错误. 我们可以采用数形结合的方法来解决，如图所示.
我们可以建立直角坐标系，x 2y = 1可以表示为一条直线，由于 x ≥ 0，y ≥ 0 所以，该代数表达式可以用线段AB表示；x2 y2则可以表示为线段AB 上点（x，y）到原点的距离■的平方. 根据公式求得线段AB 上的点到原点的距离最小值为OQ = ■，距离最大值为OA = 1，所以，x2 y2 的最大值为1，最小值为■.
根据上题纯代数法和数形结合方法的比较，我们可以看出：第二种方法更为直观、易懂，能大大提高学生的学习效率. （二）数形结合在初中几何中的运用
幾何虽然表现的较为直观，但初中几何知识点的掌握，也常常和代数知识点融合在一起，作为中考的必考知识点，经常会让学生抓狂，图形与直角坐标系结合，函数的加入更是让题目的难度加大. 下面就拿一个题型作为数形结合的范例，让学生在面临高难度题型时学会灵活使用数形结合，不再惧怕数学，提高做题速度和质量.
（三）数形结合在初中应用题中的运用
在初中数学中，应用题是考试中的重要内容[3]. 因此，加强应用题的教学方法改进很有必要.加强应用题的教学力度，不仅为了提高学生的考试成绩，更为了使学生对数学知识进行更好地理解，加强其对数学知识的应用能力. 这也是初中数学应用题对学生考查的两大目标. 数形结合能够让冗长的题目变得更加简单，比如：一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液是28升，每次倒出液体多少升？这道题仅凭想象很难快速完成，学生需要画出容器以及液体的容积是多少，这样可以明白、直接的理解题目要求，分析题目要求中各要素之间的关系，更好地解决问题. 这也体现了数形结合的思想.
三、“数形结合”思想的推广
在初中数学教学中，数形结合的思想能够有效启发学生学习的思路，帮助学生全面分析题意，进而作出准确的思考和解答[4]，拥有着独特的、重要的教学作用. “数形结合”思想在初中数学教学中的推广，不仅能够让学生轻松接受老师所讲的知识，也进一步促进了学生自主学习能力的培养，提高学习效率.
随着教学改革的不断深入，初中数学教学会越来越要求多样化的教学模式，这要求老师不断充实自己，运用数形结合的思想让抽象数学变得生动、有趣，从而提高教学质量.
【关键词】 数形结合思想；数形结合应用；主动学习；教学质量
教育改革的目的在于学生自主学习能力的培养和提高，为顺应创新型社会的发展要求，教育改革更加关注学生创新能力的培养. 因此，在初中数学教学中，教师不仅要教会学生知识，更要让他们掌握学习方法，做到“举一反三”. “数形结合”不仅是一种教学方法，更是一种学习方法，其应用范围不仅体现在代数问题的解决，而且在几何图形的学习上也被多次使用. 了解数形结合的思想以及它在解决初中数学问题中的应用，能够让学生在枯燥无味的学习中找到乐趣，主动学习.
一、“数形结合”思想的初步探索
数形结合是指将抽象的数学语言与直观的图形结合起来[1]，把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法，其实质是代数问题与几何问题的相互转化. 这种思想的精髓在于更加形象、直观地理解数学，培养学生的观察力，并通过分析、讨论的方法解决数学问题.
数形结合既是一种教学方法，也是一种学习方法. 教学方法对于教师而言，就是在教学过程中所使用的方法，借此教会学生知识. “数形结合”是一种教学方法，用形象的图形表示抽象的数量之间的关系，老师用这种方法提高教学质量的同时，也帮助学生更好地学习数学知识，将复杂问题简单化处理，激发他们的数学兴趣. 学习方法对于初中生而言，是在学习过程中掌握的学习技巧和方法，从而减轻学习压力. “数形结合”亦是一种学习方法，数学知识由抽象到形象的过程，也是学生理解题意的过程，学生在主动学习的过程中，将“数”和“形”灵活转换，整理做题思路，在提高做题速度的同时，保证做题质量，从而在解决数学问题的过程中给自己信心.
初中数学以代数和几何为主，“数”与“形”的结合也就是“代数”和“几何”的结合，其内容包括[2]：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数的问题. （3）与函数有关的代数、几何综合性问题. （4）以图像形式呈现信息的应用性等问题. 所以，了解数形结合的思想，并将其运用到具体数学问题解决中，对于初中数学知识的掌握具有重要作用.
二、“数形结合”在解决初中数学问题时的具体运用
（一）数形结合在初中代数中的运用
代数问题是初中数学的重点和难点之一，过于抽象，许多学生在答题过程中无从下手，我将介绍几例代数题型来帮助大家更好地理解数形结合在代数问题中的具体运用方法.
例1 已知， x ≥ 0，y ≥ 0，且，x 2y = 1，求x2 y2 的最大值与最小值.
分析 单纯的使用代数方法进行求解，可以采用消元法，将x 2y = 1转化为x = 1 - 2y①，然后采用代入法，将①式代入x2 y2 中进行一元二次方程的求解（注意定义域和值域的范围），这种解题方法较为复杂且抽象，而且在求解过程中极易出现错误. 我们可以采用数形结合的方法来解决，如图所示.
我们可以建立直角坐标系，x 2y = 1可以表示为一条直线，由于 x ≥ 0，y ≥ 0 所以，该代数表达式可以用线段AB表示；x2 y2则可以表示为线段AB 上点（x，y）到原点的距离■的平方. 根据公式求得线段AB 上的点到原点的距离最小值为OQ = ■，距离最大值为OA = 1，所以，x2 y2 的最大值为1，最小值为■.
根据上题纯代数法和数形结合方法的比较，我们可以看出：第二种方法更为直观、易懂，能大大提高学生的学习效率. （二）数形结合在初中几何中的运用
幾何虽然表现的较为直观，但初中几何知识点的掌握，也常常和代数知识点融合在一起，作为中考的必考知识点，经常会让学生抓狂，图形与直角坐标系结合，函数的加入更是让题目的难度加大. 下面就拿一个题型作为数形结合的范例，让学生在面临高难度题型时学会灵活使用数形结合，不再惧怕数学，提高做题速度和质量.
（三）数形结合在初中应用题中的运用
在初中数学中，应用题是考试中的重要内容[3]. 因此，加强应用题的教学方法改进很有必要.加强应用题的教学力度，不仅为了提高学生的考试成绩，更为了使学生对数学知识进行更好地理解，加强其对数学知识的应用能力. 这也是初中数学应用题对学生考查的两大目标. 数形结合能够让冗长的题目变得更加简单，比如：一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液是28升，每次倒出液体多少升？这道题仅凭想象很难快速完成，学生需要画出容器以及液体的容积是多少，这样可以明白、直接的理解题目要求，分析题目要求中各要素之间的关系，更好地解决问题. 这也体现了数形结合的思想.
三、“数形结合”思想的推广
在初中数学教学中，数形结合的思想能够有效启发学生学习的思路，帮助学生全面分析题意，进而作出准确的思考和解答[4]，拥有着独特的、重要的教学作用. “数形结合”思想在初中数学教学中的推广，不仅能够让学生轻松接受老师所讲的知识，也进一步促进了学生自主学习能力的培养，提高学习效率.
随着教学改革的不断深入，初中数学教学会越来越要求多样化的教学模式，这要求老师不断充实自己，运用数形结合的思想让抽象数学变得生动、有趣，从而提高教学质量.