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作者简介：左睿：山西太原人，贵州师范大学数学科学学院，硕士（在读）.
唐翠芳：贵州安顺人，贵州师范大学数学科学学院，教授.
[摘 要] 本次研究发轫于对高中数学教学中“作业批改”这一环节的关注. 研究的主体由对两个典型的案例的叙述、分析构成，进一步研究借助案例一讨论了教师在批改数学资优生的作业时应当注重从“元认知”层面加强对学生学习策略上的引导；通过案例二论述了教师在批改数学潜能生的作业时必须加强与学生的沟通交流以积极的态度强化其自我效能感. 最终经过将两则案例中的经验进行归纳整理，研究给出了衡量教师评语内容是否充实的三个维度：“知识技能”“认知风格”“情感态度”.
[关键词] 数学教师；作业评语；资优生；潜能生；案例研究
面对繁重的教学压力，教师唯有提升作业批改的效率才能使自身逃出一垛垛作业本筑起的“围城”. 但是在“工具理性”的指导下，行动者纯粹从效用最大化的角度考虑，而漠视人的情感与精神的价值[1]. 这也正是大部分教师在作业批改时，最终倒向唯知识论，只问对错的原因. 这种单维线性的批改模式对师生间那早已被挤压的所剩无几的沟通交流来说则无异于雪上加霜. 另一方面，在作业的功效性被不断加高的同时，一些学者觉察到了不远处正悄悄迫近的危机.
在国外，帕斯切尔等人通过分析研究发现，在完成作业的过程中，如果缺少教师批阅反馈的过程，其效果必将大打折扣，只能在一定程度上改善学生的成绩[2]. 而教师针对学生个体差异给出的鼓励性评语却有着尤为积极的作用. 在国内，上海静安区教育学院的学者任升录、黄根初在其所著的《数学作业的设计与评价》一书中也提到作业管理应当关注学生成长，激励调动学生学习的积极性[3]. 由此可知，师生间相互交流沟通的质量将直接关乎作业批改的成败，而教师向学生传递信息也主要是通过作业批语而实现的.
那么好的批语是怎样炼成的呢？本次研究将结合如下两个案例进行论述.
[?] 案例一
1. 背景简介
生1、生2是贵阳二中高一某班的两名学生，从以往成绩与课堂表现来看，两生都称得上是数学资优生. 值得一提的是，据笔者一定时间的跟踪观察，发现两生的性格截然不同. 生1比较内向，课堂上主动发言的次数并不多，不过每当教师提出的问题令其他学生束手无策时，他却常能一语中的道出解题的关键. 生2应当是典型的外向型人格，上课时常常不等教师提问便抢着回答，虽然不时会犯些错误甚至闹出笑话，但一些时候却能想出令大家赞叹不已的奇思妙解.
下述两个题目是该班一次作业中较难的两个题目，据统计，全班54名学生中仅有5人解答正确，其中就包括生1和生2. 为了比较二人在解法、思路上的异同，本文在不改变学生作业内容真实性的基础上，将两生对同一题目各自的解答过程整理到了一起加以呈现.
2. 题目内容
（1）已知log189=a，18b=5，求log3645.
（2）f（x），g（x）分别为定义在R上的奇、偶函数，且f（x）-g（x）=
，试比较f（0），g（0），g（1）的大小.
3. 解答情况
生1：（1）因为log189=a，所以1 log32=①.
因为log185=b，所以log52 2log53=②.
因为=2log53=③.
进一步得，log3645= ④.
将①②③中结论整理后代入④，化简得log3645=.
生2：（1）因为18b=5，所以log185=b.
所以log3645===
===.
生1：（2）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0 .
又因为f（0）-g（0）=1，所以g（0）=-1.
因为f（1）-g（1）
=，
-f（1）-g（1）=2，
所以g（1）=-.
故有g（1） 生2：（2）因为f（x），g（x）分别为定义在R上的奇、偶函数.
所以f（x）-g（x）=
进而可知：f（x）=
从而求出f（0）=0，g（0）=-1，g（1）=-.
故有g（1） 那么在看过如上的解答后诸位同仁会在生1、生2的作业本上留下什么样的评语呢？可能的情况大致可以归纳为以下三种典型（见表1）.
对比表1中所列的三种点评方式不难发现，“常见型”执行起来最为简单，但其内包含的信息量也最少，仅仅停留在了“非对即错”的简单范畴；“改进型”中教师对学生的出色表现做出了积极评价，并且激励学生进行更深入的专研，但批语包含的信息量较少，因而具有的实际指导意义十分有限；“理想型”点评与前两者的最大不同之处在于充分重视并体现出了对生1、生2差异性的关注，而且在给予表扬或指出不足时都能对应到学生的作业当中，做到了有理有据.
虽然“理想型”點评的优势不容置疑，然而面对着一份出自资优生之手几乎全部正确的作业，大部分教师在书写批语时都会品尝到些许“无处下笔”的窘迫. 而造成这一窘迫的根源则是教师评价学生及其学习劳动成果的准则过于单一，即狭隘地局限在了数学学科知识的层面. 那么如何才能跳出这一局限呢？
具体到案例一中的生1、生2. 通过多角度的观察，可以初步判定生1在数学学习上为典型的“代数式”思维[4]，注重把握概念间的逻辑联系，其解题过程常表现出明确的目的性与条理性，这可以在他求解第二道题目的过程中得到充分体现. 但一些时候伴随钻研的深入其固执己见的一面也将展露，这一点可从该生求解第一道题目的过程中得到印证. 而生2则表现出了“几何式”思维的特质[5]，注重模式直观与经典范式的应用，其解题过程表现出了较强的发散性与跳跃性，因此他偏好通过类比从相似的变式题目中获取灵感，所以这类学生的问题也常常是经验丰富有余，而思维深刻不足. 然而就高一学段的学生而言，其对自身数学学习的了解、监控能力是相对有限的，而且也不容易对自身数学学习的方法做出评价、改进，因此教师在给学生的作业批语中，应当站到“元认知”理论的高度引导学生了解自身在学习风格、方法上的特点，并在学习策略上给出相应的指导. [?] 案例二
1. 背景简介
生3为贵阳二中高一某班的一名学生，由以往成绩与作业情况来看，该生数学学习方面的潜能仍有待激发. 然而就笔者的跟踪观察来看，生3并不懒惰厌学，尤其她花在数学这一学科上的时间显著多于班内的其他学生. 但由于种种原因其数学基本功底明显较弱，更为严重的是该生听课效率偏低，这真是着实让人心痛！
以下是生3先后三次作业中解答错误的题目，根据统计，除第一道题目外，班中有超过半数的学生可以正确地解答第二、第三两题. 进一步分析生3的解题过程，不难发现其作业中始终存在着一个会让教师大为头痛的低级错误，即向量的书写始终未能规范，真可谓是“屡教不改”了.
2. 题目内容
（1）在矩形ABCD中，AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点或终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？
（2）化简（x-y）（a b）-（x-y）（a-b）.
（3）判断下列命题是否正确：
A. =0（ ）
B. =（ ）
C. -=（ ）
D. 0·=0（ ）
3. 解答情况
生3：（1）共有十对，AB与DC，AD与BC，AD与MN，MN与BC，AM与MB，AM与DN，AM与NC，MB与DN，NB与NC，DN与NC.
（2）（x-y）（a b）-（x-y）（a-b）
=ax bx-ay-by-ax bx ay-by
=（a b-a b）x （-a-b a-b）y
=2bx-2by.
（3）A. =0（√）
B. =（√）
C. -=（×）
D. 0·=0（√）
现在假设生3就是您的一名学生，那么作为她的数学老师您会对这三次作业给出什么样的批语呢？笔者对可能的结果进行了如下整理（见表2）.
对比表2中所列的三种点评方式可知，“常见型”点评对学生错误范围的界定不够准确，甚至在一定程度上折射出一种“敷衍了事”的工作态度；“改进型”中教师基本上精确地标定出了学生错解的范围及错误严重的程度，但随着学生的简单错误一犯再犯，教师的耐心也渐渐消磨殆尽，批语的口吻也从强调转为了责问；采用“理想型”点评的教师不仅对学生的错误描述分析得更为详尽、透彻，而且始终耐心地以一种积极的态度与学生进行交流沟通，能适时地抓住点滴进步给出正面评价，而且提出建议所用的表述方式也较为温和，易于被学生接受.
但“理想型”的点评模式推广起来，却是有相当难度的. 试问面对一份字迹潦草、错误百出的作业，能有多少教师能够耐着性子给出详尽的点评，而不仅以一句“端正态度”盖棺定论？然而一味地消极评价非但起不到敦促学生进步的作用，反而会让其失去学好数学的信心，甚至做出抄袭等不诚实的行为[5]. 那么如何才能以积极的态度评改学生的作业呢？
说到“积极”的作业评价马上就会令人联想到“表扬”与“鼓励”，然而在笔者看来后者仅是前者的必要而不充分条件. 的确，“表扬”与“鼓励”是构成作业积极批改的一种主要手段，但就本质来看，作业是师生之间以书面形式达成的间接交流，而人与人之间深入良好交流的根本保障则是双方的相互尊重与理解. 案例二中教师之所以对生3失去耐心，是教师将该生的“屡教不改”看成了对自己工作的不尊重. 但这实为一种误解，生3掌握向量的规范书写的过程大致为：最先掌握的是以有向线段这一具体概念为原型的两个大写字母表示向量的方法，之后接受了稍抽象的用一个小写字母表示向量的方式，最后形成对零向量与数字零概念的区分. 教师只有意识到这一点才能够发现、珍视该生已经取得的进步，并以此为基础助其增强自我效能.
[?] 总结
综合对上述两个案例的分析并适当借鉴教师专业发展（MPCK）理论中提到的“学科知识”（MK）“教育知识”（PK）“教学相关知识”（CK）的理论[7]. 笔者认为，一则好的批语至少应当包含三方面的内容. 即“知识技能”“认知风格”“情感态度”.
其中，“知识技能”与“学科知识”相对应，就现状而言教师批语的内容多集中在这一层面. 在书写此类批语时教师只需调用学科知识经验对学生知识的掌握、解题技巧的应用做出评判.
“认知风格”与“教育知识”对应，众所周知，即使数学学科知识水平大体相当的学生在性格、学习习惯、思维风格、学习方法等方面都会存在着较大的差异，因此这些内容也应当在教师的批语中得到关注.
“情感态度”与“教学相关知识”对应，根据英国密德萨斯大学戴安·蒙哥马利教授提出的激发学生学习动机的CBG原则[8]（catch them being good），教师应该利用批语抓住学生作业中的优良状态并给予鼓励，帮助学生建立自信.
参考文献：
[1] 莱因哈特·本迪克斯. 马克斯·韦伯思想肖像[M]. 上海：上海世纪（上海人民）出版社，2007.
[2] H. J. Walberg
唐翠芳：贵州安顺人，贵州师范大学数学科学学院，教授.
[摘 要] 本次研究发轫于对高中数学教学中“作业批改”这一环节的关注. 研究的主体由对两个典型的案例的叙述、分析构成，进一步研究借助案例一讨论了教师在批改数学资优生的作业时应当注重从“元认知”层面加强对学生学习策略上的引导；通过案例二论述了教师在批改数学潜能生的作业时必须加强与学生的沟通交流以积极的态度强化其自我效能感. 最终经过将两则案例中的经验进行归纳整理，研究给出了衡量教师评语内容是否充实的三个维度：“知识技能”“认知风格”“情感态度”.
[关键词] 数学教师；作业评语；资优生；潜能生；案例研究
面对繁重的教学压力，教师唯有提升作业批改的效率才能使自身逃出一垛垛作业本筑起的“围城”. 但是在“工具理性”的指导下，行动者纯粹从效用最大化的角度考虑，而漠视人的情感与精神的价值[1]. 这也正是大部分教师在作业批改时，最终倒向唯知识论，只问对错的原因. 这种单维线性的批改模式对师生间那早已被挤压的所剩无几的沟通交流来说则无异于雪上加霜. 另一方面，在作业的功效性被不断加高的同时，一些学者觉察到了不远处正悄悄迫近的危机.
在国外，帕斯切尔等人通过分析研究发现，在完成作业的过程中，如果缺少教师批阅反馈的过程，其效果必将大打折扣，只能在一定程度上改善学生的成绩[2]. 而教师针对学生个体差异给出的鼓励性评语却有着尤为积极的作用. 在国内，上海静安区教育学院的学者任升录、黄根初在其所著的《数学作业的设计与评价》一书中也提到作业管理应当关注学生成长，激励调动学生学习的积极性[3]. 由此可知，师生间相互交流沟通的质量将直接关乎作业批改的成败，而教师向学生传递信息也主要是通过作业批语而实现的.
那么好的批语是怎样炼成的呢？本次研究将结合如下两个案例进行论述.
[?] 案例一
1. 背景简介
生1、生2是贵阳二中高一某班的两名学生，从以往成绩与课堂表现来看，两生都称得上是数学资优生. 值得一提的是，据笔者一定时间的跟踪观察，发现两生的性格截然不同. 生1比较内向，课堂上主动发言的次数并不多，不过每当教师提出的问题令其他学生束手无策时，他却常能一语中的道出解题的关键. 生2应当是典型的外向型人格，上课时常常不等教师提问便抢着回答，虽然不时会犯些错误甚至闹出笑话，但一些时候却能想出令大家赞叹不已的奇思妙解.
下述两个题目是该班一次作业中较难的两个题目，据统计，全班54名学生中仅有5人解答正确，其中就包括生1和生2. 为了比较二人在解法、思路上的异同，本文在不改变学生作业内容真实性的基础上，将两生对同一题目各自的解答过程整理到了一起加以呈现.
2. 题目内容
（1）已知log189=a，18b=5，求log3645.
（2）f（x），g（x）分别为定义在R上的奇、偶函数，且f（x）-g（x）=
，试比较f（0），g（0），g（1）的大小.
3. 解答情况
生1：（1）因为log189=a，所以1 log32=①.
因为log185=b，所以log52 2log53=②.
因为=2log53=③.
进一步得，log3645= ④.
将①②③中结论整理后代入④，化简得log3645=.
生2：（1）因为18b=5，所以log185=b.
所以log3645===
===.
生1：（2）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0 .
又因为f（0）-g（0）=1，所以g（0）=-1.
因为f（1）-g（1）
=，
-f（1）-g（1）=2，
所以g（1）=-.
故有g（1）
所以f（x）-g（x）=
进而可知：f（x）=
从而求出f（0）=0，g（0）=-1，g（1）=-.
故有g（1）
对比表1中所列的三种点评方式不难发现，“常见型”执行起来最为简单，但其内包含的信息量也最少，仅仅停留在了“非对即错”的简单范畴；“改进型”中教师对学生的出色表现做出了积极评价，并且激励学生进行更深入的专研，但批语包含的信息量较少，因而具有的实际指导意义十分有限；“理想型”点评与前两者的最大不同之处在于充分重视并体现出了对生1、生2差异性的关注，而且在给予表扬或指出不足时都能对应到学生的作业当中，做到了有理有据.
虽然“理想型”點评的优势不容置疑，然而面对着一份出自资优生之手几乎全部正确的作业，大部分教师在书写批语时都会品尝到些许“无处下笔”的窘迫. 而造成这一窘迫的根源则是教师评价学生及其学习劳动成果的准则过于单一，即狭隘地局限在了数学学科知识的层面. 那么如何才能跳出这一局限呢？
具体到案例一中的生1、生2. 通过多角度的观察，可以初步判定生1在数学学习上为典型的“代数式”思维[4]，注重把握概念间的逻辑联系，其解题过程常表现出明确的目的性与条理性，这可以在他求解第二道题目的过程中得到充分体现. 但一些时候伴随钻研的深入其固执己见的一面也将展露，这一点可从该生求解第一道题目的过程中得到印证. 而生2则表现出了“几何式”思维的特质[5]，注重模式直观与经典范式的应用，其解题过程表现出了较强的发散性与跳跃性，因此他偏好通过类比从相似的变式题目中获取灵感，所以这类学生的问题也常常是经验丰富有余，而思维深刻不足. 然而就高一学段的学生而言，其对自身数学学习的了解、监控能力是相对有限的，而且也不容易对自身数学学习的方法做出评价、改进，因此教师在给学生的作业批语中，应当站到“元认知”理论的高度引导学生了解自身在学习风格、方法上的特点，并在学习策略上给出相应的指导. [?] 案例二
1. 背景简介
生3为贵阳二中高一某班的一名学生，由以往成绩与作业情况来看，该生数学学习方面的潜能仍有待激发. 然而就笔者的跟踪观察来看，生3并不懒惰厌学，尤其她花在数学这一学科上的时间显著多于班内的其他学生. 但由于种种原因其数学基本功底明显较弱，更为严重的是该生听课效率偏低，这真是着实让人心痛！
以下是生3先后三次作业中解答错误的题目，根据统计，除第一道题目外，班中有超过半数的学生可以正确地解答第二、第三两题. 进一步分析生3的解题过程，不难发现其作业中始终存在着一个会让教师大为头痛的低级错误，即向量的书写始终未能规范，真可谓是“屡教不改”了.
2. 题目内容
（1）在矩形ABCD中，AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点或终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？
（2）化简（x-y）（a b）-（x-y）（a-b）.
（3）判断下列命题是否正确：
A. =0（ ）
B. =（ ）
C. -=（ ）
D. 0·=0（ ）
3. 解答情况
生3：（1）共有十对，AB与DC，AD与BC，AD与MN，MN与BC，AM与MB，AM与DN，AM与NC，MB与DN，NB与NC，DN与NC.
（2）（x-y）（a b）-（x-y）（a-b）
=ax bx-ay-by-ax bx ay-by
=（a b-a b）x （-a-b a-b）y
=2bx-2by.
（3）A. =0（√）
B. =（√）
C. -=（×）
D. 0·=0（√）
现在假设生3就是您的一名学生，那么作为她的数学老师您会对这三次作业给出什么样的批语呢？笔者对可能的结果进行了如下整理（见表2）.
对比表2中所列的三种点评方式可知，“常见型”点评对学生错误范围的界定不够准确，甚至在一定程度上折射出一种“敷衍了事”的工作态度；“改进型”中教师基本上精确地标定出了学生错解的范围及错误严重的程度，但随着学生的简单错误一犯再犯，教师的耐心也渐渐消磨殆尽，批语的口吻也从强调转为了责问；采用“理想型”点评的教师不仅对学生的错误描述分析得更为详尽、透彻，而且始终耐心地以一种积极的态度与学生进行交流沟通，能适时地抓住点滴进步给出正面评价，而且提出建议所用的表述方式也较为温和，易于被学生接受.
但“理想型”的点评模式推广起来，却是有相当难度的. 试问面对一份字迹潦草、错误百出的作业，能有多少教师能够耐着性子给出详尽的点评，而不仅以一句“端正态度”盖棺定论？然而一味地消极评价非但起不到敦促学生进步的作用，反而会让其失去学好数学的信心，甚至做出抄袭等不诚实的行为[5]. 那么如何才能以积极的态度评改学生的作业呢？
说到“积极”的作业评价马上就会令人联想到“表扬”与“鼓励”，然而在笔者看来后者仅是前者的必要而不充分条件. 的确，“表扬”与“鼓励”是构成作业积极批改的一种主要手段，但就本质来看，作业是师生之间以书面形式达成的间接交流，而人与人之间深入良好交流的根本保障则是双方的相互尊重与理解. 案例二中教师之所以对生3失去耐心，是教师将该生的“屡教不改”看成了对自己工作的不尊重. 但这实为一种误解，生3掌握向量的规范书写的过程大致为：最先掌握的是以有向线段这一具体概念为原型的两个大写字母表示向量的方法，之后接受了稍抽象的用一个小写字母表示向量的方式，最后形成对零向量与数字零概念的区分. 教师只有意识到这一点才能够发现、珍视该生已经取得的进步，并以此为基础助其增强自我效能.
[?] 总结
综合对上述两个案例的分析并适当借鉴教师专业发展（MPCK）理论中提到的“学科知识”（MK）“教育知识”（PK）“教学相关知识”（CK）的理论[7]. 笔者认为，一则好的批语至少应当包含三方面的内容. 即“知识技能”“认知风格”“情感态度”.
其中，“知识技能”与“学科知识”相对应，就现状而言教师批语的内容多集中在这一层面. 在书写此类批语时教师只需调用学科知识经验对学生知识的掌握、解题技巧的应用做出评判.
“认知风格”与“教育知识”对应，众所周知，即使数学学科知识水平大体相当的学生在性格、学习习惯、思维风格、学习方法等方面都会存在着较大的差异，因此这些内容也应当在教师的批语中得到关注.
“情感态度”与“教学相关知识”对应，根据英国密德萨斯大学戴安·蒙哥马利教授提出的激发学生学习动机的CBG原则[8]（catch them being good），教师应该利用批语抓住学生作业中的优良状态并给予鼓励，帮助学生建立自信.
参考文献：
[1] 莱因哈特·本迪克斯. 马克斯·韦伯思想肖像[M]. 上海：上海世纪（上海人民）出版社，2007.
[2] H. J. Walberg