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一、案例背景
数学模型是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图像、图表等描述客观事物特征及其内在联系的数学结构表达式。在小学数学的各个知识领域都有体现，但不同知识内容其背后所蕴含的思想方法也不同。笔者在上学期的一次校际联赛和教坛新苗展示活动中所执教的四年级下册数学广角中的“方阵问题”，无疑是体现模型思想的一个典型素材。“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，对封闭情况下“植树问题”的再研究和具体运用，通过对方阵中“每边数量”“边数”“总数”的自主探究，探索出此类问题中各数量之间存在的数量关系。在此过程中，让学生充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。以下是笔者两次磨课的详细再现与反思。
二、两次磨课过程
第一次教学实践
1.课前游戏，渗透新知
游戏：教师请8位同学上讲台来排出几种不同的正方形，目的在于让学生排出以下两种正方形，让学生初步感受站在四个角上的人有重复的情况。
2.创设情境，感受新知
师出示下图：
请按从左往右或从上往下的顺序读出下面的各句话。
教师主要以“每句话4个字，4句话应该一共有4×4=16个字，为何该处只有12个字？”为矛盾的起点，引导学生思考、分析，进而按自己的想法来列算式计算这里的总字数，并且结合圈一圈的方法解释自己的算式。
例如：算式：4×4-4=12。
图释：
算式：4×2+2×2，3×4…（图略）
现场情况说明：课前的游戏和情境所创设的游戏学生都很喜欢，而且参与的积极性也很高，但是学生对信息背后的数学知识并不太感兴趣，导致该环节花时17分钟，严重影响教学的进度以及学生思维的速度与深度。
3.主动探究，建构新知
在上述情境的基础上，让学生先自主学习，再合作学习，要求如下：
该环节先让学生独立思考，探究解决方法，再交流互动，展示各种算式并让学生结合图来解释算理。
4.归纳总结，构建模型
上述活动完成后，在所得到的各种方法中让学生说说自己认为哪种方法更适合自己、更加简便。紧接着将每边的棋子数改为8颗，再进行尝试解决。
学生自主探究和合作交流完成后，请多名学生展示算式，并用图解释算理，教师引导学生结合对前面材料的思考，归纳总结出解决该类问题的通用方法。
所归纳总结出来的通法为：
（1）每边上的颗数×4-4=总数 。
（2）（每边上的颗数-1）×4=总数。
5.拓展练习，巩固模型（略）
反思评析
1.在创设情境时，教师采用游戏的形式开展教学，游戏对学生的课堂积极性有一定的促进作用，但是部分学生沉浸在游戏之中，导致不能很好地将注意力集中到将要学习的知识上来，游戏的热度减缓了切入重点知识教学的速度，冲淡了学生思考的深度。
2.本节课所选取的素材单一且雷同，在课前游戏和创设情境及主动探究环节，均采用四边形这样单调的材料，只在“每边上的数量”这个单一的维度上进行变式，能让学生感知规律和归纳总结的素材不够多、不够广，说服力又不够强，学生对于建模过程的体验自然也就不够丰富，造成学生在根据所体验的素材进行归纳总结建立数学模型之时显得吃力，且仅仅是归纳出每边上的颗数×4-4=总数和（每边上的颗数-1）×4=总数，而不是：每边上的颗数×边数-重复的数=总数和（每边上的颗数-1）×边数=总数。因此，在学生解决如“一个五边形花坛，每边上摆7盆花，每个顶点摆1盆，请问一共需要多少盆花”时，部分学生显得无从下手，一些学生仍然是依葫芦画瓢地运用所建立的模型，简单地将问题处理为（7-1）×4=24和7×4-4=24，由此可见，学生所建立的模型过于特殊，过于单一，不具有一般性。
3.本节课时间上的安排不合理，轻重不得当，原本应以探究与建模环节为重点的教学过程，却因受创设情境环节的影响，使得建模过程不突出，严重影响本节课的质量。
鉴于此，可以清晰地发现学生本次建模过程是失败的，大部分学生还未真正理解所建立的模型背后所蕴含的知识、方法。综合上述种种不足，笔者通过查阅课本和教参，思考该课的问题所在，渐渐地有了些许的感悟，于是进行了修改，在教坛新苗展示课上再次实践。
第二次教学实践
再次教学实践前，备课思考的焦点在于：
1.如何选取素材，可以直接切入重点知识的教学，并且能让学生体验从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程？
2.如何用好素材，通过对同一素材的变式，能让学生多层次、多维度地充分体验建模的过程，让学生充分感受变量与不变量之间所存在的联系，进而思考、分析、归纳、总结出解决该类问题的通用方法（即建模）？
3.如何合理安排时间，使得一节课的各个环节轻重得当？
修改一：情境引入，简明扼要，直入主题
师出示下图：
教师出示广播操图片，将其转化成方阵图，让学生提出数学问题，进而引出空心方阵的问题。
修改二：突出重点，多重体验，建立模型
在学生提出问题之后，教师提供给学生自主探究的空间，要求如下：
在学生完成列式之后，请列出不同算式的学生展示作品，向同学讲出自己的想法，大致方法有：6×4-4、（6-1）×4、6×2+2×4、4×4+4等，然后引导学生利用数形结合的方法，用圈一圈的形式来解释算理。
在学生对以上图形彻底分析清楚的基础上，为使学生充分体验建模过程，教师按“每边上的人数”这个维度进行变式：
变式1：一个方阵，最外层每条边上站56人，最外层一共站了多少人？ 变式2：一个方阵，最外层每条边上站111人，最外层一共站了多少人？
数一变大，学生便自然选择前两种方法进行计算，如此不仅可以“水到渠成”地优化算法，还可以为后续的建模埋下伏笔。
在经历第一个维度的变式之后，教师提供素材，让学生经历第二个维度“边的数量”的变式，目的在于让学生充分感受建模的过程，以便准确地建立数学模型。
变式3：一个三角形，顶点上站1人，每边上站6人，一共站了多少人？
变式4：一个五角形，顶点上站1人，每边上站6人，一共站了多少人？
尝试解决反馈后，教师呈现两种不同维度发生变化的习题图示与解法，让学生先独立思考再小组合作进行充分感知、观察、分析、归纳、总结， 如此学生便较为轻松地得出：
1.每边上的人数×边数-重复的数=最外层的总数。
2.（每边上的人数-1）×边数=最外层的总数。
修改三：拓展延伸，应用模型，感受价值
教师出示生活中的方阵问题（以五边形花坛和棋盘问题为例），通过“现在小圆点代表什么”“你是怎么想的”等问题，让学生感受到刚才所建立方阵问题的数学模型所具有的广泛意义和重要价值。
题1：一个五边形花坛，每边摆4盆花，顶点处都摆1盆，一共需要多少盆？
题2：一个围棋棋盘，最外层每边上能摆19颗棋子，那么最外层一共能摆多少颗棋子？
变式1：那么往里一层一共能摆多少颗呢？
变式2：有一层上一共摆了48颗围棋，那么它每边上摆了多少颗棋子？
反思评析
1.出于创设情境需激发建模的兴趣，以及数学模型都是具有现实生活背景等要素考虑，本节课以本校前段时间广播体操比赛为素材，直接引入课题，简明扼要地提出需要研究的问题，如此以现实生活中的具体情境为素材进行引入，显得比较自然。再者，从具体的现实生活情境中抽象出数学问题与知识，进而进行思考、分析、研究来解决现实生活中所存在的确切的问题，也是建立数学模型的一个关键要素，且显得建模具有一定的意义和价值。
2.本次教学实践吸取初始教学实践的教训，在学生建模的过程中，提供了充分的素材让学生去感受和体验，并且分配好变量变化的顺序，按“每边上的数量”和“边的数量”两个维度由浅入深逐一进行变化，让学生充分感知当一个量不变、另一个量发生变化时所引起的变化，透析变与不变之精髓。学生通过比较、分析、综合、归纳、总结等思维活动，将本质属性抽取出来，进而逐步过渡到复杂的、更一般的情境，最终自主归纳、概括出不同形状 “方阵问题”的解决办法。这一环节的设计，不仅让学生学到了相关知识，同时让学生经历猜测与验证、分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程。
3.本次教学在练习的设计上先让学生运用模型解决问题，再让学生感知其实在生活中也是存在许多的方阵问题，只要认真去观察就能发现；并且以五边形花坛和棋盘问题为代表，让学生运用自己亲自建立的数学模型来解决生活中的数学问题，即让学生体会到数学知识所带来的成功的喜悦，又体现所建立的数学模型的应用价值和简捷性。
三、案例反思
（一）提出问题，感知模型
新课标从原先的“两能”扩充到现在的“四能”，明确指出了提出问题、发现问题的重要性。因此，在教学中教师就应根据学生的年龄及心理特征，为儿童提供有趣的、可探索的、与学生生活密切联系的现实情境，引导他们有兴趣地走进情境中，去发现数学问题，并提出数学问题，进而引起学生求解的欲望；同时在利用原有的生活、知识经验来感受其中隐含数学问题的过程中，促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。如情境引入时，通过观察体操队列引导学生提出问题、发现问题，进而将体操队列抽象成圆点图展开探究。
（二）充分体验，建立模型
在本课教学实践过程中，教师提供丰富的体验材料，通过对“每边上的数量”“边的数量”等变量的改变，引导学生通过观察、分析、讨论、建模、解决实际问题，使学生在充分体验和感知的基础上透过纷繁复杂的现象，抽象、概括其本质，从而建立起某种特定的数量关系，使“方阵问题”完成从几何图形到直观的数学模型、再到抽象的数学模型的建构过程。通过数学建模使学生体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强对数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，体验数学模型的建立过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（三）享受成果，运用模型
运用所建立的模型解决问题，让学生感知其实在生活中也是存在许多与所建立的模型相关的问题，只要认真去观察就能发现。如巩固练习中在“花坛上摆花”“蛋糕上放置水果”以及“棋盘中的问题”等现实问题的解决过程中，通过“现在的小圆点代表什么”这一问题，帮助学生发现在课堂中所构建的数学模型不仅适用于队列方阵，其实还适用于生活中其他很多方面，从而感受数学模型的一般性和应用的广泛性。再者，通过一些练习的变式，如“棋盘有一层上一共摆了48颗围棋，那么它每条边上摆了多少颗棋子”等需要逆向思考的题目，学生在用自己亲自建立的数学模型来解答问题时，不仅可以进一步巩固所学知识，而且还能充分体会到数学模型的实际应用价值，体验到数学模型的便利性，进一步培养学生运用数学的意识和综合运用数学知识解决问题的能力。
总之，在小学数学教学中，应充分重视渗透模型化思想，利用合适的素材帮助小学生建立并把握有关数学模型，有利于学生把握住数学的本质。通过建模教学，逐步培养学生数学建模的思想方法，培养学生运用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。
（浙江省瑞安市锦湖实验小学 325200）
数学模型是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图像、图表等描述客观事物特征及其内在联系的数学结构表达式。在小学数学的各个知识领域都有体现，但不同知识内容其背后所蕴含的思想方法也不同。笔者在上学期的一次校际联赛和教坛新苗展示活动中所执教的四年级下册数学广角中的“方阵问题”，无疑是体现模型思想的一个典型素材。“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，对封闭情况下“植树问题”的再研究和具体运用，通过对方阵中“每边数量”“边数”“总数”的自主探究，探索出此类问题中各数量之间存在的数量关系。在此过程中，让学生充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。以下是笔者两次磨课的详细再现与反思。
二、两次磨课过程
第一次教学实践
1.课前游戏，渗透新知
游戏：教师请8位同学上讲台来排出几种不同的正方形，目的在于让学生排出以下两种正方形，让学生初步感受站在四个角上的人有重复的情况。
2.创设情境，感受新知
师出示下图：
请按从左往右或从上往下的顺序读出下面的各句话。
教师主要以“每句话4个字，4句话应该一共有4×4=16个字，为何该处只有12个字？”为矛盾的起点，引导学生思考、分析，进而按自己的想法来列算式计算这里的总字数，并且结合圈一圈的方法解释自己的算式。
例如：算式：4×4-4=12。
图释：
算式：4×2+2×2，3×4…（图略）
现场情况说明：课前的游戏和情境所创设的游戏学生都很喜欢，而且参与的积极性也很高，但是学生对信息背后的数学知识并不太感兴趣，导致该环节花时17分钟，严重影响教学的进度以及学生思维的速度与深度。
3.主动探究，建构新知
在上述情境的基础上，让学生先自主学习，再合作学习，要求如下：
该环节先让学生独立思考，探究解决方法，再交流互动，展示各种算式并让学生结合图来解释算理。
4.归纳总结，构建模型
上述活动完成后，在所得到的各种方法中让学生说说自己认为哪种方法更适合自己、更加简便。紧接着将每边的棋子数改为8颗，再进行尝试解决。
学生自主探究和合作交流完成后，请多名学生展示算式，并用图解释算理，教师引导学生结合对前面材料的思考，归纳总结出解决该类问题的通用方法。
所归纳总结出来的通法为：
（1）每边上的颗数×4-4=总数 。
（2）（每边上的颗数-1）×4=总数。
5.拓展练习，巩固模型（略）
反思评析
1.在创设情境时，教师采用游戏的形式开展教学，游戏对学生的课堂积极性有一定的促进作用，但是部分学生沉浸在游戏之中，导致不能很好地将注意力集中到将要学习的知识上来，游戏的热度减缓了切入重点知识教学的速度，冲淡了学生思考的深度。
2.本节课所选取的素材单一且雷同，在课前游戏和创设情境及主动探究环节，均采用四边形这样单调的材料，只在“每边上的数量”这个单一的维度上进行变式，能让学生感知规律和归纳总结的素材不够多、不够广，说服力又不够强，学生对于建模过程的体验自然也就不够丰富，造成学生在根据所体验的素材进行归纳总结建立数学模型之时显得吃力，且仅仅是归纳出每边上的颗数×4-4=总数和（每边上的颗数-1）×4=总数，而不是：每边上的颗数×边数-重复的数=总数和（每边上的颗数-1）×边数=总数。因此，在学生解决如“一个五边形花坛，每边上摆7盆花，每个顶点摆1盆，请问一共需要多少盆花”时，部分学生显得无从下手，一些学生仍然是依葫芦画瓢地运用所建立的模型，简单地将问题处理为（7-1）×4=24和7×4-4=24，由此可见，学生所建立的模型过于特殊，过于单一，不具有一般性。
3.本节课时间上的安排不合理，轻重不得当，原本应以探究与建模环节为重点的教学过程，却因受创设情境环节的影响，使得建模过程不突出，严重影响本节课的质量。
鉴于此，可以清晰地发现学生本次建模过程是失败的，大部分学生还未真正理解所建立的模型背后所蕴含的知识、方法。综合上述种种不足，笔者通过查阅课本和教参，思考该课的问题所在，渐渐地有了些许的感悟，于是进行了修改，在教坛新苗展示课上再次实践。
第二次教学实践
再次教学实践前，备课思考的焦点在于：
1.如何选取素材，可以直接切入重点知识的教学，并且能让学生体验从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程？
2.如何用好素材，通过对同一素材的变式，能让学生多层次、多维度地充分体验建模的过程，让学生充分感受变量与不变量之间所存在的联系，进而思考、分析、归纳、总结出解决该类问题的通用方法（即建模）？
3.如何合理安排时间，使得一节课的各个环节轻重得当？
修改一：情境引入，简明扼要，直入主题
师出示下图：
教师出示广播操图片，将其转化成方阵图，让学生提出数学问题，进而引出空心方阵的问题。
修改二：突出重点，多重体验，建立模型
在学生提出问题之后，教师提供给学生自主探究的空间，要求如下：
在学生完成列式之后，请列出不同算式的学生展示作品，向同学讲出自己的想法，大致方法有：6×4-4、（6-1）×4、6×2+2×4、4×4+4等，然后引导学生利用数形结合的方法，用圈一圈的形式来解释算理。
在学生对以上图形彻底分析清楚的基础上，为使学生充分体验建模过程，教师按“每边上的人数”这个维度进行变式：
变式1：一个方阵，最外层每条边上站56人，最外层一共站了多少人？ 变式2：一个方阵，最外层每条边上站111人，最外层一共站了多少人？
数一变大，学生便自然选择前两种方法进行计算，如此不仅可以“水到渠成”地优化算法，还可以为后续的建模埋下伏笔。
在经历第一个维度的变式之后，教师提供素材，让学生经历第二个维度“边的数量”的变式，目的在于让学生充分感受建模的过程，以便准确地建立数学模型。
变式3：一个三角形，顶点上站1人，每边上站6人，一共站了多少人？
变式4：一个五角形，顶点上站1人，每边上站6人，一共站了多少人？
尝试解决反馈后，教师呈现两种不同维度发生变化的习题图示与解法，让学生先独立思考再小组合作进行充分感知、观察、分析、归纳、总结， 如此学生便较为轻松地得出：
1.每边上的人数×边数-重复的数=最外层的总数。
2.（每边上的人数-1）×边数=最外层的总数。
修改三：拓展延伸，应用模型，感受价值
教师出示生活中的方阵问题（以五边形花坛和棋盘问题为例），通过“现在小圆点代表什么”“你是怎么想的”等问题，让学生感受到刚才所建立方阵问题的数学模型所具有的广泛意义和重要价值。
题1：一个五边形花坛，每边摆4盆花，顶点处都摆1盆，一共需要多少盆？
题2：一个围棋棋盘，最外层每边上能摆19颗棋子，那么最外层一共能摆多少颗棋子？
变式1：那么往里一层一共能摆多少颗呢？
变式2：有一层上一共摆了48颗围棋，那么它每边上摆了多少颗棋子？
反思评析
1.出于创设情境需激发建模的兴趣，以及数学模型都是具有现实生活背景等要素考虑，本节课以本校前段时间广播体操比赛为素材，直接引入课题，简明扼要地提出需要研究的问题，如此以现实生活中的具体情境为素材进行引入，显得比较自然。再者，从具体的现实生活情境中抽象出数学问题与知识，进而进行思考、分析、研究来解决现实生活中所存在的确切的问题，也是建立数学模型的一个关键要素，且显得建模具有一定的意义和价值。
2.本次教学实践吸取初始教学实践的教训，在学生建模的过程中，提供了充分的素材让学生去感受和体验，并且分配好变量变化的顺序，按“每边上的数量”和“边的数量”两个维度由浅入深逐一进行变化，让学生充分感知当一个量不变、另一个量发生变化时所引起的变化，透析变与不变之精髓。学生通过比较、分析、综合、归纳、总结等思维活动，将本质属性抽取出来，进而逐步过渡到复杂的、更一般的情境，最终自主归纳、概括出不同形状 “方阵问题”的解决办法。这一环节的设计，不仅让学生学到了相关知识，同时让学生经历猜测与验证、分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程。
3.本次教学在练习的设计上先让学生运用模型解决问题，再让学生感知其实在生活中也是存在许多的方阵问题，只要认真去观察就能发现；并且以五边形花坛和棋盘问题为代表，让学生运用自己亲自建立的数学模型来解决生活中的数学问题，即让学生体会到数学知识所带来的成功的喜悦，又体现所建立的数学模型的应用价值和简捷性。
三、案例反思
（一）提出问题，感知模型
新课标从原先的“两能”扩充到现在的“四能”，明确指出了提出问题、发现问题的重要性。因此，在教学中教师就应根据学生的年龄及心理特征，为儿童提供有趣的、可探索的、与学生生活密切联系的现实情境，引导他们有兴趣地走进情境中，去发现数学问题，并提出数学问题，进而引起学生求解的欲望；同时在利用原有的生活、知识经验来感受其中隐含数学问题的过程中，促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。如情境引入时，通过观察体操队列引导学生提出问题、发现问题，进而将体操队列抽象成圆点图展开探究。
（二）充分体验，建立模型
在本课教学实践过程中，教师提供丰富的体验材料，通过对“每边上的数量”“边的数量”等变量的改变，引导学生通过观察、分析、讨论、建模、解决实际问题，使学生在充分体验和感知的基础上透过纷繁复杂的现象，抽象、概括其本质，从而建立起某种特定的数量关系，使“方阵问题”完成从几何图形到直观的数学模型、再到抽象的数学模型的建构过程。通过数学建模使学生体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强对数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，体验数学模型的建立过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（三）享受成果，运用模型
运用所建立的模型解决问题，让学生感知其实在生活中也是存在许多与所建立的模型相关的问题，只要认真去观察就能发现。如巩固练习中在“花坛上摆花”“蛋糕上放置水果”以及“棋盘中的问题”等现实问题的解决过程中，通过“现在的小圆点代表什么”这一问题，帮助学生发现在课堂中所构建的数学模型不仅适用于队列方阵，其实还适用于生活中其他很多方面，从而感受数学模型的一般性和应用的广泛性。再者，通过一些练习的变式，如“棋盘有一层上一共摆了48颗围棋，那么它每条边上摆了多少颗棋子”等需要逆向思考的题目，学生在用自己亲自建立的数学模型来解答问题时，不仅可以进一步巩固所学知识，而且还能充分体会到数学模型的实际应用价值，体验到数学模型的便利性，进一步培养学生运用数学的意识和综合运用数学知识解决问题的能力。
总之，在小学数学教学中，应充分重视渗透模型化思想，利用合适的素材帮助小学生建立并把握有关数学模型，有利于学生把握住数学的本质。通过建模教学，逐步培养学生数学建模的思想方法，培养学生运用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。
（浙江省瑞安市锦湖实验小学 325200）