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摘 要：本文通过对学生从中学数学到大学数学思想转变的考察，探讨在微积分教学中引领学生尽快完成数学思想转变的方法。这将有助于新生尽快进入学习状态，提高学生学习和运用微积分的能力。
关键词：微积分教学；数学思想；恒等变形；等价代换
微积分学是新生一入大学就接触的一门基础课。微积分教学中首先要解决的就是完成学生从中学到大学数学思想的转变。
一、中学微积分和大学微积分的本质区别
中学数学中的微积分着重函数的整体特性。中学阶段只学基本初等函数，对学生来说，这些函数的定义域和图象是清晰的、明确的、有实体感、能掌控的。同时，这些函数在给定的定义区间上都是连续的、可导的、可积的，可以按照给定的公式求导、求积分。通过不断的重复，很多学生都能熟练地计算多项式函数的导数，这让他们很有成就感，产生自己已经会求导的错觉，为大学里听课走神、不求甚解，甚至错解连篇埋下隐患。
大学微积分是以极限论为基础，研究函数的局部特性。函数类型从基本初等函数拓展到一般初等函数，再到显函数、抽象函数、隐函数。学生会不自觉地抵制这些能掌控的、想象不出图象来的函数。因此，进行数学思想转变迫在眉睫。
二、微积分教学中的几个入门转变
首先，函数重在定义域和对应法则。淡化值域问题。
其次，将基本初等函数中的指数函数y=ax，a>0，a≠1调整为y=ex；将基本初等函数中的对数函数y=logax调整为y=lnx。y=ex和y=lnx在函数表达式的恒等变形、求导及求积分上有独到的优势。
最后，引导学生认识复合函数分层，搞清谁是中间变量，谁是最终自变量。
完成这些转变，传达给学生一个山外有山的信息，激发学生探索新知识的学习兴趣。
三、充分发挥“恒等变形”作用，以不变应万变
学生不了解函数特性、不明确函数曲线时，大可不必跟函数较真。完全可以避开正面冲突，利用熟悉的基本初等函数（这是不变），设法将函数通过“恒等变形”（这是万变）化为基本初等函数形式，进而顺利解决问题。
1.借用中学“熟词”，让“恒等变形”脱口而出
“和差化积”、“积化和差”原本是三角函数运算公式，中学就要求会用，学生都很熟悉。通过对诸如此类“熟词”的运用，使得新生从感觉上亲近微积分，拉近心理距离，看如下两个例子：
（1）对数的积化和差公式：
lnMN=lnM+lnN， ln■=lnM-lnN.
（2）有理多项式的积化和差公式
■=■=■（■-■）
等式从左至右形为“积化和差”，从右至左形为“和差化积”。很形象，也很实用。这为今后求导、求积分打下简化运算的良好基础。
2.充分运用指数函数和对数函数进行恒等变形
由于指数函数和对数函数互逆，对一个函数同时做这两个动作时，可以保持相等关系或函数本身不变。如幂指函数是新生最迷糊的第一个函数。可以对此式进行恒等变形，处理成lny=lnf（x）g（x）=g（x）lnf（x），使得幂指函数变成了熟悉的初等函数。也可以处理成y=elnf（x）g（x）=eg（xlnf（x），使得幂指函数变成了含中间变量的指数函数。以后的求极限、求导数过程中，这些变形会充分显示其优越性。
3.从熟知结果推导“如影随形”
有很多术语或函数在命题或公式中经常同时出现，如影随形。从熟知的简单结果推导出这些命题或公式，完成学生对知识点从陌生到熟悉的转变，进而达到举一反三、触类旁通。
例如：函数y=tanx与y=secx如影随形。
学生对secx不是很熟悉，对其相关结论有抵触情绪。但是从熟知公式：sin2x+cos2x=1入手，左右同时除以cos2x，并了解secx=■，就可以得到：tan2x+1=sec2x这是tanx与secx如影随形的第一个公式，在今后的求积分问题中，经常用到。教学过程中，提醒学生，这两个函数是不分家的，而且往往是带着正号如影随形：
（tanx）′=sec2x，（secx）′=secxtanx，
■tanxdx=ln|secx|+C，■secxdx=ln|secx+tanx|+C
如此等等。
四、求极限时强调“等价代换”
学生对多项式的极限还是能顺利解决的，也仅此而已。
微积分中的等价代换是以极限为前提的。函数在极限状态下等价于另一个函数，并非两个函数相等，而是相差一个无穷小量。等价代换在乘积的极限值的计算中起着非常重要的作用。学会等价代换，就完成了从多项式的极限到不同类型函数乘积极限的转变，这是一个从量变到质变的过程。
五、学会读题，因已知而为；结果不重要，过程才见功夫
解题时，中学生特别注重结果的正确与否。（下转第45页）（上接第10页）这就导致他们在解题时，发现结果与参考答案一致，就想当然地以为解对了。而现实往往与他们的想法是相左的。
例如：函数f（x）=g（a+bx）-g（a-bx），g′（a）存在，求f′（0）.
错解：f′（x）=bg′（a+bx）+g′（a-bx）？圯f′（0）=2bg′（a）
很多学生会采用这个方法求解。然而，已知条件中只提到g′（a）存在，也就是说只知道在处可导，其他点处是否可导并没有告诉我们。故过程中的记号g′（a+bx）和g′（a-bx）都是错误的。这时，就必须用函数在定点的导数定义。
正确解法：f（0）=g（a+0）-g（a-0）=0.
g′（a）存在，则g′（a）=■■=■■.
f′（0）=■■=■■=■■
=■■
=■■-■■
=bg′（a）-（-b）g′（a）=2bg′（a）.
要完成这个从关注答案到关注过程、从盲目求导到注重已知条件、准确运用定义式的转变，任务是很艰巨的。一旦完成了这个转变，大学新生的微积分学习也就真正从中学数学思想转变到了大学数学思想，也就为以后的深入学习铺平了思想上的道路。
参考文献：
[1]周性伟主编.微积分学[M].北京：科学出版社，2010.
[2]洪琦.微积分教学应突出化归思想[J].中国林业教育，2006，（02）.
[3]袁玉波等.基于直观的微积分教学改革探讨[J].大学数学，2010，26（A01）：102-104.
[4]柴俊.我国微积分教学改革方向的思考[J].大学数学，2006，22（03）：17-20.
关键词：微积分教学；数学思想；恒等变形；等价代换
微积分学是新生一入大学就接触的一门基础课。微积分教学中首先要解决的就是完成学生从中学到大学数学思想的转变。
一、中学微积分和大学微积分的本质区别
中学数学中的微积分着重函数的整体特性。中学阶段只学基本初等函数，对学生来说，这些函数的定义域和图象是清晰的、明确的、有实体感、能掌控的。同时，这些函数在给定的定义区间上都是连续的、可导的、可积的，可以按照给定的公式求导、求积分。通过不断的重复，很多学生都能熟练地计算多项式函数的导数，这让他们很有成就感，产生自己已经会求导的错觉，为大学里听课走神、不求甚解，甚至错解连篇埋下隐患。
大学微积分是以极限论为基础，研究函数的局部特性。函数类型从基本初等函数拓展到一般初等函数，再到显函数、抽象函数、隐函数。学生会不自觉地抵制这些能掌控的、想象不出图象来的函数。因此，进行数学思想转变迫在眉睫。
二、微积分教学中的几个入门转变
首先，函数重在定义域和对应法则。淡化值域问题。
其次，将基本初等函数中的指数函数y=ax，a>0，a≠1调整为y=ex；将基本初等函数中的对数函数y=logax调整为y=lnx。y=ex和y=lnx在函数表达式的恒等变形、求导及求积分上有独到的优势。
最后，引导学生认识复合函数分层，搞清谁是中间变量，谁是最终自变量。
完成这些转变，传达给学生一个山外有山的信息，激发学生探索新知识的学习兴趣。
三、充分发挥“恒等变形”作用，以不变应万变
学生不了解函数特性、不明确函数曲线时，大可不必跟函数较真。完全可以避开正面冲突，利用熟悉的基本初等函数（这是不变），设法将函数通过“恒等变形”（这是万变）化为基本初等函数形式，进而顺利解决问题。
1.借用中学“熟词”，让“恒等变形”脱口而出
“和差化积”、“积化和差”原本是三角函数运算公式，中学就要求会用，学生都很熟悉。通过对诸如此类“熟词”的运用，使得新生从感觉上亲近微积分，拉近心理距离，看如下两个例子：
（1）对数的积化和差公式：
lnMN=lnM+lnN， ln■=lnM-lnN.
（2）有理多项式的积化和差公式
■=■=■（■-■）
等式从左至右形为“积化和差”，从右至左形为“和差化积”。很形象，也很实用。这为今后求导、求积分打下简化运算的良好基础。
2.充分运用指数函数和对数函数进行恒等变形
由于指数函数和对数函数互逆，对一个函数同时做这两个动作时，可以保持相等关系或函数本身不变。如幂指函数是新生最迷糊的第一个函数。可以对此式进行恒等变形，处理成lny=lnf（x）g（x）=g（x）lnf（x），使得幂指函数变成了熟悉的初等函数。也可以处理成y=elnf（x）g（x）=eg（xlnf（x），使得幂指函数变成了含中间变量的指数函数。以后的求极限、求导数过程中，这些变形会充分显示其优越性。
3.从熟知结果推导“如影随形”
有很多术语或函数在命题或公式中经常同时出现，如影随形。从熟知的简单结果推导出这些命题或公式，完成学生对知识点从陌生到熟悉的转变，进而达到举一反三、触类旁通。
例如：函数y=tanx与y=secx如影随形。
学生对secx不是很熟悉，对其相关结论有抵触情绪。但是从熟知公式：sin2x+cos2x=1入手，左右同时除以cos2x，并了解secx=■，就可以得到：tan2x+1=sec2x这是tanx与secx如影随形的第一个公式，在今后的求积分问题中，经常用到。教学过程中，提醒学生，这两个函数是不分家的，而且往往是带着正号如影随形：
（tanx）′=sec2x，（secx）′=secxtanx，
■tanxdx=ln|secx|+C，■secxdx=ln|secx+tanx|+C
如此等等。
四、求极限时强调“等价代换”
学生对多项式的极限还是能顺利解决的，也仅此而已。
微积分中的等价代换是以极限为前提的。函数在极限状态下等价于另一个函数，并非两个函数相等，而是相差一个无穷小量。等价代换在乘积的极限值的计算中起着非常重要的作用。学会等价代换，就完成了从多项式的极限到不同类型函数乘积极限的转变，这是一个从量变到质变的过程。
五、学会读题，因已知而为；结果不重要，过程才见功夫
解题时，中学生特别注重结果的正确与否。（下转第45页）（上接第10页）这就导致他们在解题时，发现结果与参考答案一致，就想当然地以为解对了。而现实往往与他们的想法是相左的。
例如：函数f（x）=g（a+bx）-g（a-bx），g′（a）存在，求f′（0）.
错解：f′（x）=bg′（a+bx）+g′（a-bx）？圯f′（0）=2bg′（a）
很多学生会采用这个方法求解。然而，已知条件中只提到g′（a）存在，也就是说只知道在处可导，其他点处是否可导并没有告诉我们。故过程中的记号g′（a+bx）和g′（a-bx）都是错误的。这时，就必须用函数在定点的导数定义。
正确解法：f（0）=g（a+0）-g（a-0）=0.
g′（a）存在，则g′（a）=■■=■■.
f′（0）=■■=■■=■■
=■■
=■■-■■
=bg′（a）-（-b）g′（a）=2bg′（a）.
要完成这个从关注答案到关注过程、从盲目求导到注重已知条件、准确运用定义式的转变，任务是很艰巨的。一旦完成了这个转变，大学新生的微积分学习也就真正从中学数学思想转变到了大学数学思想，也就为以后的深入学习铺平了思想上的道路。
参考文献：
[1]周性伟主编.微积分学[M].北京：科学出版社，2010.
[2]洪琦.微积分教学应突出化归思想[J].中国林业教育，2006，（02）.
[3]袁玉波等.基于直观的微积分教学改革探讨[J].大学数学，2010，26（A01）：102-104.
[4]柴俊.我国微积分教学改革方向的思考[J].大学数学，2006，22（03）：17-20.