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分类讨论是考生必须掌握的数学思想之一，然而， 这种数学思想对于考生来说，一直是他们的“软肋”，具体表现在： 缺乏分类讨论的意识， 不知道分类讨论的标准，不能合理地分类，有时重复，有时遗漏；有时分类太多，或者太繁，最后求解不完整；或者消耗时间过多，导致效率很低.以上的种种表现，都是由于考生没有认清含参问题分类讨论实质——“化整为零，各个击破”的思想. 事实上， 并非所有含参数的问题一定要分类讨论， 如果我们能够优化解题思路， 选择更好的解题策略， 消除引起讨论的因素， 就能够有效优化、避免分类讨论， 从而达到简化解题过程的目的， 使学生摆脱大量而繁琐的讨论， 从而减少出错机会. 下面笔者结合最近的一道模拟试题来窥探有效避免分类讨论的一些策略.
题目：已知f（x）=mx3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0，求实数m的值.
【分析】这是一道具有代表性的经典题，能很好检测考生分类讨论的思想，它蕴含着我们解题的常用策略，从不同角度出发可以得到一些有效避免分类讨论的策略.
一、常规解法 难分难舍
大部分同学拿到这道题目后，对m进行分类讨论，将问题转化为求f（x）在x∈[-1，1]上的最小值，但真正做下去时看似有头绪，实乃无法下手，颇有一种“无可奈何花落去，似曾相识燕归来”的感觉，究其原因，这一直都是我们广东考生的“软肋”，让他们觉得最为困难的是求导之后不知道如何分类讨论，以什么作为分类讨论的标准.对该题存在“食之无味，弃之可惜”的境况.实际上，该常规解法包含两级分类讨论，其一是导函数零点是否存在，其二是导函数零点是否落在定义域中，这些对于考生来说是比较复杂的，所以我们要在解题中要弄清分类原因，找准分类讨论标准，明确分类层次，优化分类顺序，这样分类才可以不重不漏，才可以做到融会贯通.
常规解法：求导后得f ′（x）=3mx2-3，
（1）当m=0时，f（x）=-3x+1， [f（x）]min=-2<0，不满足题意.
（2）当m<0时，f ′（x）<0，f（x）在[-1，1]上单调递减，∴ [f（x）]min=f（1）=m-2，由题意可得m-2≥0，∴m≥2，这与m<0矛盾，不符合题意.
（3）当m>0时，由f ′（x）=0？圯x=±，
①当≥1时，即0 ②当<1时，即m>1，f（x）在 [-1，-]和 [，1]上单调递增，在 （-，） 上单调递减，所以 [f（x）]min=min{ f（-1）， f（）}≥0？圯
f（-1）=-m+4≥0，f（）=m（）3-3+1≥0，解得m=4.综上所述，m=4.
二、参变分离，化繁为简
从上面的解法可知：直接对m进行分类讨论过于繁琐，这时需要寻找其它途径，看能否找到优化分类讨论的策略，在这里，解决含参恒成立问题其实采用参变分离也是一种策略，经过探究可得另外一种策略——参变分离.
解法2：①当x=0时，无论m取任何值，f（x）≥0显然成立；
②当x>0时，即x∈（0，1]时，f（x）=mx3-3x+1≥0可化为m≥-，设g（x）=-，则g ′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间（，1]上单调递减.所以g（x）max=g（）=4，从而m≥4；
③当x<0，即x∈[-1，0）时，f（x）=mx3-3x+1≥0可化为m≤-，g（x）在[-1，0）上单调递增，因此g（x）max=g（-1）=4，从而m≤4.综上所述，得m=4.
【点评】解法2虽然也用到了分类讨论的思想来解题，但是相对常规解法来说，解法2只要按一个分类标准（x的范围）分类就行了，并且分类的标准十分明显.该解法明显优于常规解法，事实上，用分离参数可以使分类讨论有据可依，有法可循，有时甚至能够优化、避免分类讨论，如本题的条件改成“x∈（0，1]”的话，则更能体现分离参数的优势，避免了分类讨论.一般情况下，比较容易分离并且可以转化为另一边所表示函数的问题，且该函数比较容易求出最值时，一般采取分离参数的方法.
三、数形结合，直观形象
数形结合是一种很好的数学思想方法，它能将抽象问题直观化，以数论形、以形辅数，数形结合往往能迅速而简捷找到解题途径.同样在本题中如能灵活运用数形结合思想，也可以很巧妙地避免分类讨论或优化分类讨论.通过探窥可获得另一种解法：
解法3：由函数f（x）=mx3-3x+1对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0可得：mx3≥3x-1对于任意的x∈[-1，1]恒成立，设g（x）=mx3，
h（x）=3x-1，要保证其成立即g（x）的图像在h（x）图像的上方或相切，由它们的图像（如右图），设g（x）图像上的一点（x0，y0）处的切线斜率为3，再由g ′（x0）=3可知x0=，
通过观察图像可得g ′（-1）≥h（-1），g （x0）≥h（x0），解得m=4.
【点评】解法3巧妙地将问题转化为两个函数图像的关系，通过数形结合来解决本题，这样有效避免了繁杂的分类讨论，从而快速解题.那何时用数形结合的方法呢？一般如某些含参恒成立问题，既不能分离参数，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，且如果可以转化为函数图象，利用数形结合的思想，能够有效避免分类讨论，如解法3，不过在这个解法过程中要转化为图象且能够画出图形，并且要抓住函数图象的特殊情况（直线与曲线相切），这样才可以事半功倍解题.
四、特值入手，知微见著
特殊化是我们解决含参问题的一种重要手段，特别是解决一些客观题，具有高效、准确的优势，所以我们在解题中有时可以使用特殊化思想缩小参数范围，从而优化、避免分类讨论. 解法4：由x∈[-1，1]都有f（x）≥0，考虑特殊值
x=-1，0，1，可得f（-1）≥0，f（0）≥0，f（1）≥0，即m≤4，m≥2.这样就可以将m的取值范围缩小为m∈[2，4]，当m∈[2，4]时，令f ′（x）=0，即3mx2-3=0，解得x1=≤<1，x2=-≥->-1，由此可知f（x）在（-1，-），（，1）上单调递增，在（-，）上单调递减，所以 [f（x）]min=min{ f（-1）， f（）}≥0？圯
f（-1）=-m+4≥0，f（）=m（）3-3+1≥0，所以m=4.
【点评】解法4通过取一些特殊值，逐步缩小参数的范围，缩短了思维的流程，对比常规解法，m∈[2，4]不仅仅使导函数的零点存在，且可以确定导函数的零点一定在定义域内，这样就可以直接求出函数的最小值，从而达到避免分类讨论的目的.事实上，如果我们能够发现本题的结果是一个值，我们还可以使用更特殊的值直接解题，取x=-1，，1，由f（-1）≥0，f（1）≥0，得2≤m≤4，再根据f（）≥0得m≥4，综合可得m=4.由此可见，从特殊值入手对于避免分类讨论、优化解题思路是一种很有效的策略.
【小结】由以上的解法分析可知：分离参数、数形结合、特殊化思想是我们有效优化、避免分类的三个策略，我们在解题中优化、避免分类讨论的策略除了这三种策略之外，还会有反客为主（也叫转换变量的方法，即在分离参数会遇到比较繁杂的讨论或者即使容易分离出参数与变量时，但函数的最值却难以求出来，这时可以变换思维角度，把变元和参数换个位置，在结合其它知识，往往可以优化或避免分类讨论）、正难则反（即有时候正面考察问题，需要分多种情况考虑，而如果考察对面，可能情况会显得更简单，这就是正难则反的思想）等策略，采取不同的策略产生的途径和效果截然不同，因此我们在进行含参问题需要分类讨论的题目时，要针对题目，抓住问题本质，采取一些有效的策略，灵活优化解题过程，可以达到简捷解题，提高解题速度.下面笔者再提供几个对应的练习，以供大家更好掌握对应知识.
五、牛刀小试，优劣凸显
（1）已知函数f（x）=lnx-ax+-1（a∈R），设g（x）=x2-2bx+4，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围.
（提示：分离参数策略、数形结合策略、特殊值策略，分析：本题可以直接用分类讨论的方法来解，但过程会比较繁琐；也可以用分离参数的方法，较常规解法简捷；还可以用数形结合的方法，更为直观；还可以用特殊值1和2来缩小参数b的范围，直接可以得到答案.参考答案：b≥.）
（2）解不等式>2x+a（a>0，且为常数）.
（提示：数形结合策略，分析：利用数形结合的思想最简捷，将左边看作函数y=，它表示圆心在坐标原点、半径为a的圆的上半部分；右边可以看作函数y=2x+a，它表示斜率2、在y轴截距为a的直线，再结合图像可得x∈[-a，0）.）
（3）函数f（x）=x2-2ax-4a在[-1，1]上恒大于0，求实数a的取值范围.
（提示：分离参数策略，分析：若直接利用二次函数来解答，过程繁琐，若是将参数a分离出来，则可以有效避免分类讨论， f（x）=x2-2ax-4a在[-1，1]上恒成立等价于>a在[-1，1]上恒成立，通过求解可得a<0.）
（4）若不等式x2+3mx-4<0对任意m∈[0，1]都成立，求实数x的取值范围.
（提示：反客为主的策略，分析：若是按照常规思路，将x看作主元，则需要分很多种情况来讨论m，无形中增加了解题的负担.而实际上不等式x2+3mx-4<0对任意m∈[0，1]恒成立，因此可以将m看作变量来避免分类讨论.简解：设f（m）=（3x）m+x2-4，由一次函数图像特征可知只要f（0）<0，f（1）<0成立即可，解得-2 （5）已知函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]上至少存在一个实数c，使f（c）>0，求实数p的取值范围.
（提示：正难则反策略，分析：至少存在一个实数，使f（c）>0的情况很多，那我们考虑反面的话，即对于区间[-1，1]上任意的数c都有f（c）≤0.因此只需要满足f（-1）≤0，f（1）≤0，解得p∈（-∞，-3）∪[，+∞），再取其补集可得p∈（-3，）.）
（6）已知函数f（x）=lg（2x-b）（b为常数），若x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则b的取值范围是（ ）
A. （-∞，0] B. （-∞，1] C. （0，1） D. （0，1]
（提示：特殊值策略，分析：当b=0时，此函数f（x）=lg2x，它在x∈[1，+∞）上单调递增，排除C和D；当时，此函数f（x）=lg（2x-1），它在x∈[1，+∞）上单调递增，排除A，得参考答案C.）
总之，我们在解题中涉及到分类讨论的类型很多，方法灵活多变，技巧性很强，这就要求我们在平时学习中重视分类讨论思想的训练，不断渗透注重优化、避免分类讨论的策略，解题中要透过现象看清本质，一举切中要害，解题过程中要善于从以上所提的几种策略来思考问题，值得注意的是，各种优化策略并不是孤立存在的，我们也不能刻意去追求策略的，要靠平时的不断积累运用，要在练习实践中多总结，在解题中恰当地运用，那自然有奇峰报晓春——对分类讨论的优化策略运用自如.
（作者单位：信宜市信宜中学）
责任编校 徐国坚
题目：已知f（x）=mx3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0，求实数m的值.
【分析】这是一道具有代表性的经典题，能很好检测考生分类讨论的思想，它蕴含着我们解题的常用策略，从不同角度出发可以得到一些有效避免分类讨论的策略.
一、常规解法 难分难舍
大部分同学拿到这道题目后，对m进行分类讨论，将问题转化为求f（x）在x∈[-1，1]上的最小值，但真正做下去时看似有头绪，实乃无法下手，颇有一种“无可奈何花落去，似曾相识燕归来”的感觉，究其原因，这一直都是我们广东考生的“软肋”，让他们觉得最为困难的是求导之后不知道如何分类讨论，以什么作为分类讨论的标准.对该题存在“食之无味，弃之可惜”的境况.实际上，该常规解法包含两级分类讨论，其一是导函数零点是否存在，其二是导函数零点是否落在定义域中，这些对于考生来说是比较复杂的，所以我们要在解题中要弄清分类原因，找准分类讨论标准，明确分类层次，优化分类顺序，这样分类才可以不重不漏，才可以做到融会贯通.
常规解法：求导后得f ′（x）=3mx2-3，
（1）当m=0时，f（x）=-3x+1， [f（x）]min=-2<0，不满足题意.
（2）当m<0时，f ′（x）<0，f（x）在[-1，1]上单调递减，∴ [f（x）]min=f（1）=m-2，由题意可得m-2≥0，∴m≥2，这与m<0矛盾，不符合题意.
（3）当m>0时，由f ′（x）=0？圯x=±，
①当≥1时，即0
f（-1）=-m+4≥0，f（）=m（）3-3+1≥0，解得m=4.综上所述，m=4.
二、参变分离，化繁为简
从上面的解法可知：直接对m进行分类讨论过于繁琐，这时需要寻找其它途径，看能否找到优化分类讨论的策略，在这里，解决含参恒成立问题其实采用参变分离也是一种策略，经过探究可得另外一种策略——参变分离.
解法2：①当x=0时，无论m取任何值，f（x）≥0显然成立；
②当x>0时，即x∈（0，1]时，f（x）=mx3-3x+1≥0可化为m≥-，设g（x）=-，则g ′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间（，1]上单调递减.所以g（x）max=g（）=4，从而m≥4；
③当x<0，即x∈[-1，0）时，f（x）=mx3-3x+1≥0可化为m≤-，g（x）在[-1，0）上单调递增，因此g（x）max=g（-1）=4，从而m≤4.综上所述，得m=4.
【点评】解法2虽然也用到了分类讨论的思想来解题，但是相对常规解法来说，解法2只要按一个分类标准（x的范围）分类就行了，并且分类的标准十分明显.该解法明显优于常规解法，事实上，用分离参数可以使分类讨论有据可依，有法可循，有时甚至能够优化、避免分类讨论，如本题的条件改成“x∈（0，1]”的话，则更能体现分离参数的优势，避免了分类讨论.一般情况下，比较容易分离并且可以转化为另一边所表示函数的问题，且该函数比较容易求出最值时，一般采取分离参数的方法.
三、数形结合，直观形象
数形结合是一种很好的数学思想方法，它能将抽象问题直观化，以数论形、以形辅数，数形结合往往能迅速而简捷找到解题途径.同样在本题中如能灵活运用数形结合思想，也可以很巧妙地避免分类讨论或优化分类讨论.通过探窥可获得另一种解法：
解法3：由函数f（x）=mx3-3x+1对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0可得：mx3≥3x-1对于任意的x∈[-1，1]恒成立，设g（x）=mx3，
h（x）=3x-1，要保证其成立即g（x）的图像在h（x）图像的上方或相切，由它们的图像（如右图），设g（x）图像上的一点（x0，y0）处的切线斜率为3，再由g ′（x0）=3可知x0=，
通过观察图像可得g ′（-1）≥h（-1），g （x0）≥h（x0），解得m=4.
【点评】解法3巧妙地将问题转化为两个函数图像的关系，通过数形结合来解决本题，这样有效避免了繁杂的分类讨论，从而快速解题.那何时用数形结合的方法呢？一般如某些含参恒成立问题，既不能分离参数，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，且如果可以转化为函数图象，利用数形结合的思想，能够有效避免分类讨论，如解法3，不过在这个解法过程中要转化为图象且能够画出图形，并且要抓住函数图象的特殊情况（直线与曲线相切），这样才可以事半功倍解题.
四、特值入手，知微见著
特殊化是我们解决含参问题的一种重要手段，特别是解决一些客观题，具有高效、准确的优势，所以我们在解题中有时可以使用特殊化思想缩小参数范围，从而优化、避免分类讨论. 解法4：由x∈[-1，1]都有f（x）≥0，考虑特殊值
x=-1，0，1，可得f（-1）≥0，f（0）≥0，f（1）≥0，即m≤4，m≥2.这样就可以将m的取值范围缩小为m∈[2，4]，当m∈[2，4]时，令f ′（x）=0，即3mx2-3=0，解得x1=≤<1，x2=-≥->-1，由此可知f（x）在（-1，-），（，1）上单调递增，在（-，）上单调递减，所以 [f（x）]min=min{ f（-1）， f（）}≥0？圯
f（-1）=-m+4≥0，f（）=m（）3-3+1≥0，所以m=4.
【点评】解法4通过取一些特殊值，逐步缩小参数的范围，缩短了思维的流程，对比常规解法，m∈[2，4]不仅仅使导函数的零点存在，且可以确定导函数的零点一定在定义域内，这样就可以直接求出函数的最小值，从而达到避免分类讨论的目的.事实上，如果我们能够发现本题的结果是一个值，我们还可以使用更特殊的值直接解题，取x=-1，，1，由f（-1）≥0，f（1）≥0，得2≤m≤4，再根据f（）≥0得m≥4，综合可得m=4.由此可见，从特殊值入手对于避免分类讨论、优化解题思路是一种很有效的策略.
【小结】由以上的解法分析可知：分离参数、数形结合、特殊化思想是我们有效优化、避免分类的三个策略，我们在解题中优化、避免分类讨论的策略除了这三种策略之外，还会有反客为主（也叫转换变量的方法，即在分离参数会遇到比较繁杂的讨论或者即使容易分离出参数与变量时，但函数的最值却难以求出来，这时可以变换思维角度，把变元和参数换个位置，在结合其它知识，往往可以优化或避免分类讨论）、正难则反（即有时候正面考察问题，需要分多种情况考虑，而如果考察对面，可能情况会显得更简单，这就是正难则反的思想）等策略，采取不同的策略产生的途径和效果截然不同，因此我们在进行含参问题需要分类讨论的题目时，要针对题目，抓住问题本质，采取一些有效的策略，灵活优化解题过程，可以达到简捷解题，提高解题速度.下面笔者再提供几个对应的练习，以供大家更好掌握对应知识.
五、牛刀小试，优劣凸显
（1）已知函数f（x）=lnx-ax+-1（a∈R），设g（x）=x2-2bx+4，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围.
（提示：分离参数策略、数形结合策略、特殊值策略，分析：本题可以直接用分类讨论的方法来解，但过程会比较繁琐；也可以用分离参数的方法，较常规解法简捷；还可以用数形结合的方法，更为直观；还可以用特殊值1和2来缩小参数b的范围，直接可以得到答案.参考答案：b≥.）
（2）解不等式>2x+a（a>0，且为常数）.
（提示：数形结合策略，分析：利用数形结合的思想最简捷，将左边看作函数y=，它表示圆心在坐标原点、半径为a的圆的上半部分；右边可以看作函数y=2x+a，它表示斜率2、在y轴截距为a的直线，再结合图像可得x∈[-a，0）.）
（3）函数f（x）=x2-2ax-4a在[-1，1]上恒大于0，求实数a的取值范围.
（提示：分离参数策略，分析：若直接利用二次函数来解答，过程繁琐，若是将参数a分离出来，则可以有效避免分类讨论， f（x）=x2-2ax-4a在[-1，1]上恒成立等价于>a在[-1，1]上恒成立，通过求解可得a<0.）
（4）若不等式x2+3mx-4<0对任意m∈[0，1]都成立，求实数x的取值范围.
（提示：反客为主的策略，分析：若是按照常规思路，将x看作主元，则需要分很多种情况来讨论m，无形中增加了解题的负担.而实际上不等式x2+3mx-4<0对任意m∈[0，1]恒成立，因此可以将m看作变量来避免分类讨论.简解：设f（m）=（3x）m+x2-4，由一次函数图像特征可知只要f（0）<0，f（1）<0成立即可，解得-2
（提示：正难则反策略，分析：至少存在一个实数，使f（c）>0的情况很多，那我们考虑反面的话，即对于区间[-1，1]上任意的数c都有f（c）≤0.因此只需要满足f（-1）≤0，f（1）≤0，解得p∈（-∞，-3）∪[，+∞），再取其补集可得p∈（-3，）.）
（6）已知函数f（x）=lg（2x-b）（b为常数），若x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则b的取值范围是（ ）
A. （-∞，0] B. （-∞，1] C. （0，1） D. （0，1]
（提示：特殊值策略，分析：当b=0时，此函数f（x）=lg2x，它在x∈[1，+∞）上单调递增，排除C和D；当时，此函数f（x）=lg（2x-1），它在x∈[1，+∞）上单调递增，排除A，得参考答案C.）
总之，我们在解题中涉及到分类讨论的类型很多，方法灵活多变，技巧性很强，这就要求我们在平时学习中重视分类讨论思想的训练，不断渗透注重优化、避免分类讨论的策略，解题中要透过现象看清本质，一举切中要害，解题过程中要善于从以上所提的几种策略来思考问题，值得注意的是，各种优化策略并不是孤立存在的，我们也不能刻意去追求策略的，要靠平时的不断积累运用，要在练习实践中多总结，在解题中恰当地运用，那自然有奇峰报晓春——对分类讨论的优化策略运用自如.
（作者单位：信宜市信宜中学）
责任编校 徐国坚