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摘要：一元二次方程的根与系数关系这一个知识点，是新人教版现行教材九年上册，比旧教材增加的部分知识内容，但在习题配置上是比较简单。因此，这就容易让九年级数学复习课教学在这一部分知识点中，造成忽视！那么如何加强对这方面知识的复习教学呢？笔者认为主要应该从以下几个方面入手：第一，重视一元二次方程的根与系数关系的基础知识的复习；第二，重视一元二次方程根与系数关系与平几某知识综合的复习；第三，重视一元二次方程根与系数关系与抛物线综合的复习。
关键词：根与系数关系；知识综合；数学思维
多年以来，笔者在初中数学课堂教学一线工作。发现：一元二次方程的根与系数关系这一个知识点，在人教版教材中的地位是从重点到一般，从一般到没有；然后再从没有到一般，从一般又回到重点。现行新人教版教材在九年上册中，是增加了这一部分知识，但在习题配置上也是轻描淡写。在二次函数这一章节中似乎也忽略了对这一部分知识的加强。因此，这就容易让九年级数学复习课教学在这一部分知识点造成忽视。那么如何加强对这方面知识的复习教学呢？笔者认为主要应该从以下几个方面入手：
一、 重视一元二次方程的根与系数关系的基础知识的复习
一元二次方程的根与系数关系这一个重要知识点的掌握，首先是要从它的基础知识复习开始，然后才有可能进行适当的综合应用。
例1有两个一元二次方程M：ax2 bx c=0，N：cx2 bx a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（）
A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C. 如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
分析：本题的各选择支所涉及的基础知识主要有：一元二次方程的解的定义；根的判别式；根与系数的关系。由此可见，一元二次方程的根与系数关系这一个知识点不可忽视。事实上对于选择支B，我们可以这样作出剖析：如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么Δ=b2-4ac≥0，ca>0，所以a与c符号相同，ac>0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意。其余选择支在这里不作详细剖析。
二、 重视一元二次方程根与系数关系与平几某知识综合的复习
重视一元二次方程根与系数关系与平几某知识模块的综合，人们首先是考虑一元二次方程的根与系数关系与平几有关知识综合，然后根据题目已知条件，在这两个知识点寻找有机结合点。
例2等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x n-1=0的两根，则n的值为（）
A. 9
B. 10
C. 9或10
D. 8或10
分析：由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b
①当a=2，或b=2时，不妨设a=2；由一元二次方程的根与系数关系
得到2 b=6，2 b=n-1，即可得到结果。
②当a=b时，方程x2-6x n-1=0有两个相等的实数根，由Δ=（-6）2-4（n-1）=0可得结果。
这里需要特别指出的是，如果说所求得的n值不能使三角形边长分别为a，b，2组成三角形，那么这样的n值是不合题意的，要舍去。
三、 重视一元二次方程根与系数关系与抛物线综合的复习
当抛物线综合应用问题中，涉及抛物线与x轴有两点时，人们往往把问题转化为一元二次方程的根与系数关系，使用已知条件，把复杂问题轉化成几个简单的问题，从而达到综合解决问题的目的。
例3已知抛物线y=-x2 2（m 1）x m 3与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），与y轴交于点C。
（1）求m的取值范围；
（2）若|OA|∶|OB|=3∶1，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得∠PCO=∠BCO。（2016年全国初中数学联赛初赛试卷第12题）
分析：（1）仅仅知道，关于x的方程-x2 2（m 1）x m 3=0有两个不相同的实数解，是不够的.
因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上.
所以我们还要考虑方程，-x2 2（m 1）x m 3=0的两根一正一负，
也就是这个方程的两根积是负数，才能求m的取值范围是m>-3.
（2）先求函数解析式。由|OA|∶|OB|=3∶1，可设点A（-3n，0），B（n，0），则可根据一元二次方程-x2 2（m 1）x m 3=0的根与系数关系得-3n n=2（m 1），-3n·n=-（m 3），
解得m=0。
从而函数解析式为y=-x2 2x 3.
由此可知A（3，0），B（-1，0），C（0，3）。
再由∠PCO=∠BCO，求点P的坐标。
可知BC与PC关于直线OC对称。
作B关于OC的对称点B′，则B′（1，0），
可设直线PC是一次函数y=kx b的图象，则
3=k·0 b，0=k·1 b，解得k=-3，
b=3
所以PC是一次函数y=-3x 3的图象。
从而不难求得抛物线对称轴右边图象上有一点P（5，-12），
使得∠PCO=∠BCO。
总之，一元二次方程的根与系数关系这一个重要知识点，在九年级复习课教学中，不容忽视。教学中可通过重视一元二次方程的根与系数关系的基础知识的复习；重视一元二次方程根与系数关系与平几某知识综合的复习；重视一元二次方程根与系数关系与函数图象知识综合的复习；重视一元二次方程根与系数关系与抛物线知识综合的复习。做到了以上四点，就完全可以达到复习的效果，从而较好地提高学生综合应用二次函数知识解决问题的能力，发展学生的数学思维能力。
作者简介：林国耀，福建省莆田市，福建省莆田华侨中学。
关键词：根与系数关系；知识综合；数学思维
多年以来，笔者在初中数学课堂教学一线工作。发现：一元二次方程的根与系数关系这一个知识点，在人教版教材中的地位是从重点到一般，从一般到没有；然后再从没有到一般，从一般又回到重点。现行新人教版教材在九年上册中，是增加了这一部分知识，但在习题配置上也是轻描淡写。在二次函数这一章节中似乎也忽略了对这一部分知识的加强。因此，这就容易让九年级数学复习课教学在这一部分知识点造成忽视。那么如何加强对这方面知识的复习教学呢？笔者认为主要应该从以下几个方面入手：
一、 重视一元二次方程的根与系数关系的基础知识的复习
一元二次方程的根与系数关系这一个重要知识点的掌握，首先是要从它的基础知识复习开始，然后才有可能进行适当的综合应用。
例1有两个一元二次方程M：ax2 bx c=0，N：cx2 bx a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（）
A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C. 如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
分析：本题的各选择支所涉及的基础知识主要有：一元二次方程的解的定义；根的判别式；根与系数的关系。由此可见，一元二次方程的根与系数关系这一个知识点不可忽视。事实上对于选择支B，我们可以这样作出剖析：如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么Δ=b2-4ac≥0，ca>0，所以a与c符号相同，ac>0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意。其余选择支在这里不作详细剖析。
二、 重视一元二次方程根与系数关系与平几某知识综合的复习
重视一元二次方程根与系数关系与平几某知识模块的综合，人们首先是考虑一元二次方程的根与系数关系与平几有关知识综合，然后根据题目已知条件，在这两个知识点寻找有机结合点。
例2等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x n-1=0的两根，则n的值为（）
A. 9
B. 10
C. 9或10
D. 8或10
分析：由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b
①当a=2，或b=2时，不妨设a=2；由一元二次方程的根与系数关系
得到2 b=6，2 b=n-1，即可得到结果。
②当a=b时，方程x2-6x n-1=0有两个相等的实数根，由Δ=（-6）2-4（n-1）=0可得结果。
这里需要特别指出的是，如果说所求得的n值不能使三角形边长分别为a，b，2组成三角形，那么这样的n值是不合题意的，要舍去。
三、 重视一元二次方程根与系数关系与抛物线综合的复习
当抛物线综合应用问题中，涉及抛物线与x轴有两点时，人们往往把问题转化为一元二次方程的根与系数关系，使用已知条件，把复杂问题轉化成几个简单的问题，从而达到综合解决问题的目的。
例3已知抛物线y=-x2 2（m 1）x m 3与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），与y轴交于点C。
（1）求m的取值范围；
（2）若|OA|∶|OB|=3∶1，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得∠PCO=∠BCO。（2016年全国初中数学联赛初赛试卷第12题）
分析：（1）仅仅知道，关于x的方程-x2 2（m 1）x m 3=0有两个不相同的实数解，是不够的.
因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上.
所以我们还要考虑方程，-x2 2（m 1）x m 3=0的两根一正一负，
也就是这个方程的两根积是负数，才能求m的取值范围是m>-3.
（2）先求函数解析式。由|OA|∶|OB|=3∶1，可设点A（-3n，0），B（n，0），则可根据一元二次方程-x2 2（m 1）x m 3=0的根与系数关系得-3n n=2（m 1），-3n·n=-（m 3），
解得m=0。
从而函数解析式为y=-x2 2x 3.
由此可知A（3，0），B（-1，0），C（0，3）。
再由∠PCO=∠BCO，求点P的坐标。
可知BC与PC关于直线OC对称。
作B关于OC的对称点B′，则B′（1，0），
可设直线PC是一次函数y=kx b的图象，则
3=k·0 b，0=k·1 b，解得k=-3，
b=3
所以PC是一次函数y=-3x 3的图象。
从而不难求得抛物线对称轴右边图象上有一点P（5，-12），
使得∠PCO=∠BCO。
总之，一元二次方程的根与系数关系这一个重要知识点，在九年级复习课教学中，不容忽视。教学中可通过重视一元二次方程的根与系数关系的基础知识的复习；重视一元二次方程根与系数关系与平几某知识综合的复习；重视一元二次方程根与系数关系与函数图象知识综合的复习；重视一元二次方程根与系数关系与抛物线知识综合的复习。做到了以上四点，就完全可以达到复习的效果，从而较好地提高学生综合应用二次函数知识解决问题的能力，发展学生的数学思维能力。
作者简介：林国耀，福建省莆田市，福建省莆田华侨中学。