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摘 要：為满足低压应用场合下DC-DC变换器高效率、小尺寸和低成本等多方面需求，提出一种同时优化DC-DC变换器的功率损耗、物理尺寸和成本的方法。以低压开关槽式变换器（switched tank converter，STC）为例，在分析其工作原理基础上，首先建立元器件的功率损耗、面积和成本模型，以设计指标为约束条件，再建立一个以功率损耗、面积和成本为优化目标的变换器多目标优化模型，且优化模型中的参数可从器件数据手册查到。采用基于非支配排序引力搜索算法（non-dominated sorting gravitational search algorithm，NSGSA）改进得到的大范围改进的非支配排序引力搜索算法（large-scale improved NSGSA，LSINSGSA）求解变换器多目标优化模型。将所得优化结果与NSGSA和NSGA-Ⅱ（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ）算法的优化结果进行比较。结果表明，提出的STC变换器多目标优化方法可以得到综合性能最优的器件组合方案，实现STC的效率、面积和成本达到折衷最优的目的，改进的LSINSGSA算法的收敛性与Pareto前沿中最优解均匀分布性均优于NSGSA和NSGA-Ⅱ。关键词：DC-DC变换器;多目标优化;低压应用;开关槽式变换器;非支配排序引力搜索算法 中图分类号：TM 46
文献标志码：A
文章编号：1672-9315（2021）05-0938-10
DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2021.0522开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
Multi-objective optimization of switched-tank converter
for low-voltage applications
WANG Kang，WANG Jiuhe，WANG Lu
（School of Automation，Beijing Information Science and Technology University，Beijing 100192，China）
Abstract：In order to meet the requirements of high efficiency，small size and low cost of DC-DC converters in low-voltage application scenarios，taking the low-voltage switched tank converter（STC）as an example，a method for comprehensively optimizing the power loss，physical size and cost of DC-DC converters was extablished in this paper.First，the power loss，area and cost models of the components were separately established based on STC’s operation principle，and a multi-objective optimization model of STC with power loss，area，and cost as the optimization goals was derived by using the design requirements as constraints while the parameters in these models could be obtained from device data sheet.Then，the large-scale improved non-dominated sorting gravitational search algorithm（LSINSGSA），an improved algorithm based on the non-dominated sorting gravitational search algorithm（NSGSA），was
established in this paper to solve the derived multi-objective optimization model.Finally，the optimization results were compared with those of NSGSA and NSGA-Ⅱ.The results indicate that the multi-objective optimization method of the STC converter proposed in this paper can facilitate a device combination scheme with the best comprehensive performance，realizing the best compromise between the efficiency，area and cost of the STC，and the convergence and uniform distribution of the optimal solutions in the optimal Pareto frontier of the LSINGSSA are better than that of NSGSA and NSGA-Ⅱ.Key words：DC-DC converter;multi-objective optimization;low-voltage application;switched tank converter;non-domiated sorting gravitational search algorithm 0 引 言
随着大数据时代到来，众多数据中心在各地建立，存储并处理每天产生的海量数据，且消耗着大量的电能。限于效率、物理尺寸、成本等因素，应用于该类低压场合的DC-DC变换器需具备高效率、高集成度、低成本等特征。传统基于电感器的DC-DC变换器（如Buck，Boost变换器）主要依赖体积较大的电感器传输能量，一方面增加了变换器的体积，另一方面电感器的铁芯和线圈损耗增加了变换器总损耗，且由于占空比的限制，该类变换器较难实现高电压增益[1-2]。而开关电容变换器（switched capacitor converter，SCC）则是通过电容器传输能量，得益于电容器的高能量储存密度，变换器的体积可大大减小，易于集成[3-6]。在给定功率下，SCC的开关导通损耗低于基于电感器的直流变换器的开关导通损耗[7]。但是，SCC存在电流过冲、电磁兼容以及由于其自身拓扑而导致电压转换比固定、输出电压不可调节或不能连续调节等问题[8-10]。对此，
JIANG S等学者提出了一种基于谐振回路的模块化开关槽式变换器（switched tank converter，STC），在不降低效率与增加变换器的体积下，解决了SCC电容器电荷重新分配的问题，全负载范围内可实现电容器完全软充电和开关软切换且开关电压应力保持为低压端电压的1倍或2倍电压[11]。为了实现STC输出电压连续可调，HE Y等提出一种高效率、高功率密度且部分功率可调节的STC（partial power regualted STC，PPR-STC）[12]。考虑到低压场合对DC-DC变换器效率、物理尺寸、成本的限制，且PPR-STC本身具备高效率、高功率密度等优点，因此，笔者选择PPR-STC为对象进行多目标优化研究，进一步提升其综合性能，同时也为其他DC-DC变换器多目标优化提供一个思路。首先，基于PPR-STC的工作原理，建立元器件的损耗模型、面积模型和成本模型，综合所有器件的损耗模型、面积模型和成本模型建立变换器多目标优化模型。然后，采用改进的非支配排序引力搜索算法（non-dominated sorting gravitational search algorithm，NSGSA）求解多目标优化模型，得到综合性能最优的Pareto最优解。值得注意的是，这些模型中的参数与变量都可通过器件数据手册查到，便于应用到实际中。此外，文中将改进的NSGSA与NSGSA、非支配排序遗传算法（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）作比较，优化结果显示，改进的NSGSA的收敛性与Pareto最优解均匀分布性优于NSGSA和NSGA-Ⅱ。
1 PPR-STC拓扑及工作原理HE Y O等提出的PPR-STC是由X∶1降压STC与四开关Buck-Boost变换器输入串联、输出并联组成，其中STC承受主要输入功率，四开关Buck-Boost变换器承受剩余的小部分功率且负责调节输出电压。这里的X∶1表示STC部分的输入、输出电压整数变比，文中所优化的PPR-STC的X为4，其拓扑结构如图1所示。其中，4∶1 STC拓扑如图2所示。考虑到开关死区时间，STC的开关频率一般低于其谐振频率fr，STC的谐振频率为
fr=12π
Lr
CrCf
Cr+Cf
（1）
式中 Lr=Lr1=Lr2，Cr=Cr1=Cr2[13]。在图1中STC部分，即图2中，开关S1、S3、S5、S8、S9的導通相位相同，开关S2、S4、S6、S7、S10的导通相位相同，且这2组开关的占空比互补且各为50%。因此，稳态时的STC有2种工作状态，如图3所示。图1中，四开关Buck-Boost变换器作为电压调节变换器对输出电压进行调节。Cbb、Lbb分别为Buck-Boost变换器的输入电容和电感，Cout为输出电容，R为负载，Q1～Q4为Buck-Boost变换器的开关。由于四开关Buck-Boost变换器只处理总输入功率的小部分，且它的开关频率一般低于且不会远低于STC的开关频率，因此所需电感器的体积较小，有利于DC-DC变换器集成化。
1.1 4：1 STC工作原理在工作状态1中，电源给由谐振电感器Lr1和谐振电容器Cr1所组成的谐振单元提供能量，滤波电容器Cf经过由谐振电感器Lr2和谐振电容器Cr2所组成的谐振单元放电，此时的Cf相当于电压源。在工作状态2中，由Lr1、Cr1所组成的谐振单元给Cf充电，由Lr2、Cr2所组成的谐振单元为输出端提供能量。注意，Lr1=Lr2，Cr1=Cr2，CfCr1（一般
为Cf>10Cr1）。当电路处于稳态时，谐振电容器Cr2两端的电压为Vout，滤波电容器Cf两端的电压为2Vout，谐振电容器Cr1两端的电压为3Vout，因此可以实现4倍降压功能。STC特殊的拓扑结构将电容器合理安排，使得每个开关在关断时都将会被其附近的电容器两端的电压钳位。因此，STC变换器的所有开关的电压应力为1倍或2倍的低压端电压，这有利于选取额定电压较低的开关。同时，低额定电压开关的通态电阻较低，将进一步降低开关的导通损耗。图2中的STC，除了开关S2和S3的电压应力为2Vout，其余开关的电压应力为Vout。
1.2 四开关Buck-Boost变换器工作原理四开关Buck-Boost变换器分别工作在Buck模式和Boost模式。开关Q1与Q3的占空比互补，开关Q2与Q4的占空比互补。当开关Q1保持开通、Q3保持关断，通过控制开关Q4的通、断（Q2的断、通）实现Boost模式。当开关Q2保持开通、Q4保持关断，通过控制开关Q1的通、断（Q3的断、通）实现Buck模式。图1中的电容器Cr2、Cf、Cr1两端的电压分别为Vin-3Vout、Vin-2Vout、Vin-Vout，STC的开关对应的电压应力不变，Buck-Boost中各开关的电压应力随着工作模式变化。当工作在Boost模式时，开关Q2与Q4的电压应力为Vout，开关Q3的电压应力随着输入电压Vin增大而增大且最大为Vout。当工作在Buck模式时，开关Q4的电压应力为Vout，开关Q1与Q3的电压应力随着输入电压Vin增大而增大且最大为Vin-3Vout。因此，四开关Buck-Boost变换器的开关电压应力较低，可以选择低额定电压开关器件，从而进一步减小变换器物理尺寸并提高效率。 2 STC元器件参数化模型建立
2.1 开关器件损耗模型开关管的损耗主要由导通损耗Pcond、输出电容损耗Pcoss、开关驱动损耗Pdrive和体二极管反向恢复损耗Prr组成。一个开关周期内功率开关管的导通损耗Pcond
Pcond=I2rmsRds，on
（2）
式中 Irms为流过开关的电流有效值，A;Rds，on为开关的通态电阻，Ω。开关在开通与关断状态之间切换时，其输出电容Coss会产生放电损耗Pcoss，该损耗与开关的电压应力和开关频率成正比，计算公式为
Pcoss=CossV2dsfs
（3）
式中 Vds为开关管漏、源极两端的电压，V，一般选取为最大电压应力;fs 为开关频率，Hz。开关的驱动损耗Pdrive为
Pdrive=VgsQgfs
（4）
式中 Vgs为驱动电压，V;Qg为门极总电荷，C。每个开关都有一个体二极管与之反并联用来在开关软切换瞬间给开关的输出电容提供放电路径，因此，开关损耗还包含体二极管反向恢复损耗Prr
Prr=QrrVdsfs
（5）
式中 Qrr为体二极管反向恢复电荷，C。开关的损耗模型Psw为
Psw=Pcond+Pcoss+Pdrive+Prr
（6）
2.2 电感器损耗模型电感器的损耗主要可分为磁芯损耗和绕组损耗2大类。电感器的磁芯损耗计算方法因电感器所受到的激励波形不同而不同[14]。图1所示的PPR-STC中含有谐振电感器Lr1、Lr2和储能电感器Lbb。谐振电感器Lr1、Lr2由于谐振作用，它们受到的激励波形为正弦波，而储能电感器Lbb受到矩形波激励。这2种电感器所受到的激励波形不同，因此在计算电感器的磁芯损耗时应有所区别。对于计算正弦波激励的电感器磁芯损耗，采用经典有效的Steinmetz方程[15-17]。Steinmetz方程为
Pv=Cmfα1Bβ1
（7）
式中 Pv为单位体积磁芯损耗，W/cm3;Cm、α1，β1为磁芯材料系数，这些系数可从生产厂家的數据手册查到;f为开关频率，Hz;B定义为峰值磁感应强度，Gs，且B=1/2
ΔBpp，ΔBpp为交流分量磁感应强度峰峰值，Gs。在给定设计参数电感电流纹波峰峰值ΔILpp以及电感L的情况下，可以依据生产厂家的数据手册计算ΔBpp为
ΔBpp
=k×ΔILpp×L×10-3
（8）
式中 k为系数，可从数据手册查到;ΔILpp的单位为A，电感L的单位为nH，ΔBpp的单位为高斯。因此，正弦波激励的电感器的磁芯损耗Pcore1为
Pcore1=Pv×Vcore
（9）
式中 Vcore为磁芯有效体积，cm3。对于矩形波激励的电感器的磁芯损耗计算公式Pcore2为
Pcore2=Cmfα1Bβ1ac
a
[d（1-d）]b（1+s2da）γBdcVbb
（10）
式中 d为占空比;a，b，γ为常数;Bac为交流磁感应强度，Gs;Bdc为直流偏置下的磁感应强度，Gs;sda为Bdc与Bac的比值;Vbb为四开关Buck-Boost变换器的输入电压[14]，V。由安培定律，可得Bdc为
Bdc=ILavgLNcoreAe
（11）
式中 ILavg为电感电流平均值，A;Ncore为线圈匝数;Ae为磁芯有效面积，cm2。由电磁感应定律，可得Bac为
Bac
=ΔILppL2NcoreAe
（12）电感器的绕组损耗Pw可由电感电流有效值ILrms与绕组等效电阻Rdc相乘可得
Pw=I2LrmsRdc
（13）综上，电感器的损耗模型PL为
PL=Pcore+Pw
（14）
式中 Pcore依据激励波形选择Pcore1或Pcore2。
2.3 电容器损耗模型为了减小由谐振电感器和谐振电容器的本身参数误差给开关零电流切换带来的不利影响，文中选择电容值稳定、低容错（-5%～+5%）、低串联等效电阻的ClassⅠ 陶瓷电容作为STC中的谐振电容器，将低交流电压纹波的Class Ⅱ 陶瓷电容器作为滤波电容器。陶瓷电容器的功率损耗PC主要由其等效串联电阻RESR和电流有效值ICrms决定，可表示为
PC=I2CrmsRESR
（15）一般情况下，厂家提供的数据手册可能不提供RESR，但是提供损耗因素（dissipation factor，DF），有时表示为tan δ，且
tan δ=2πfCRESR
（16）因此，也可以根据数据手册中的最大损耗因素DF计算电容器功率损耗PC为
PC=I2Crmstan δ
2πfC
（17）
2.4 PPR-STC多目标优化模型建立由于STC的开关频率高达数百kHz，目前较多应用在低功率场合下，应用于该场合的功率开关多为芯片结构，体积较小，所以计算开关器件的面积更有实际意义。为了便于集成化，采用平面型功率电感器和基于表贴技术（surface mount technology，SMT）的电容器，它们的高度一般只有几个毫米，因此，相较于计算体积，计算面积更能反映它们在印制电路板上的面积使用情况。总功率损耗模型Ploss，tot为
Ploss，tot=∑NSi Psw，i+
∑NLj
PL，i+
∑NCm
PC，m
（18）
式中 Ns，NL，NC分别为开关器件、电感器和电容器的数量，件;Psw，i，PL，j和PC，m分别表示每个开关器件、电感器以及电容器的功率损耗，W。总面积模型Atot为
Atot
=
∑NSi
Asw，i+
∑NLj
AL，i+
∑NCm
AC，m
（19）
式中 Asw，i，AL，j，AC，m分别为每个开关管、电感器、电容器的封装面积，cm2。总成本模型Ctot为
Ctot=
∑Nall
ici
（20）
式中 ci为每个器件的价格，元;Nall为所有开关器件、电感器和电容器的数量，件。对总功率损耗模型、总体积模型、总成本模型
同时进行最小化，得到PPR-STC多目标优化模型为
minfmulti_obj=
Ploss，tot
Atot
Ctot
（21）
约束条件为
p*∈Db
（22）
式中 p*为属于元器件数据库Db的离散变量。
3 NSGSA算法改进NSGSA算法收敛性与最优解均匀分布性都要优于NSGA-Ⅱ等多目标优化算法，但是NSGSA在求解三维多目标优化问题时表现出解的收敛性与多样性不足的问题[18-19]。对此，基于NSGSA算法提出一种改进的NSGSA，即LSINSGSA[20]。
3.1 存档集维护策略改进NSGSA在维护存档集长度时只考虑粒子的均匀分布性，对存档集中均匀分布性最差的粒子依次删除，而未考虑到收敛性较好的粒子能够加快全局的收敛速度。受文献
[21]启发，提出将全局损害与粒子势能[22]的动态加权和作为粒子收敛性评价指标，将粒子的拥挤距离作为粒子均匀分布性评价指标，并将二者比值作为平衡粒子收敛性与均匀分布性的融合指标。对比NSGSA算法仅依赖均匀分布性指标维护存档集，本文提出的兼顾粒子收敛性与均匀分布性的融合指标在保持粒子均匀分布性的同时能够对收敛性较好的粒子进行保留，将有益于提高全局收敛速度。
3.2 位置更新策略改进NSGSA采用符号变异与坐标变异策略更新移动列表中粒子的位置，以防止粒子陷入局部最优。但是，经符号变异与坐标变异后的粒子可能会退化。针对该问题本文提出退步策略，即位置更新后的粒子如果被位置更新前的粒子支配，则保持该粒子当前位置为更新前的位置，否则，粒子当前位置为经符号变异与坐标变异更新后的位置。
3.3 KBEST策略改进为避免陷入局部最优，NSGSA沿用引力搜索算法（gravitational search algorithm，GSA）中的KBEST策略[23-24]。但是，该策略的不足在于，最后几次迭代过程中的少数Kbest粒子会破坏良好的全局收敛以及Pareto最优解的均匀分布。对此，提出在迭代后期由M个极端粒子和M个最不拥挤粒子组成Kbest集合，使算法在迭代后期依然可以保持较好的全局收敛性、得到分布较为均匀的Pareto前沿。此处的M表示子优化目标个数。
3.4 精英策略改进为加快全局收敛速度，提出迭代前期将势能小的粒子加入到移动粒子列表去吸引势能大的粒子加速向帕累托前沿移动，后期将势能大的粒子加入移动粒子列表中让其受到极端粒子和最不拥挤粒子的吸引。此外，为了加快算法在迭代后期的收敛速度，在迭代后期对非极端粒子和非最不拥挤粒子的位置更新不采取符号变异和坐标变异策略;为了实际的帕累托前沿接近理论上的帕累托前沿且获得良好的最优解集分布情况，对极端粒子和最不拥挤粒子仍采取符号变异与坐标变异策略。LSINSGSA算法的操作步骤如下：
1）初始化LSINSGSA算法的迭代次数、粒子个数、存档长度等参数，随机初始化所有粒子的位置并将所有粒子的初始速度和加速度都设置为零，将初始位置代入到多目标函数中得到粒子的初始多目标函数值。
2）对移动粒子列表中的粒子进行非支配排序，并采用改进的融合指标维护外部存档集长度。
3）基于改进的精英策略与最不拥挤粒子选取方法更新移动粒子列表。
4）基于粒子等级计算移动粒子的适应度值。
5）计算移动粒子的质量，并基于改进的KBEST策略计算移动粒子所受到的引力和加速度。6）计算移动粒子的速度并基于退步策略更新移动粒子的位置，该步骤包括计算更新后粒子的多目标函数值。7）如果当前迭代次数未达到最大迭代次数，则依次重复步骤2）～6）;否则，退出循环，返回存档集中的粒子信息。LSINSGSA算法流程如图4所示。
4 优化结果以图1所示的PPR-STC为优化对象，依据电路参数及其相关的约束条件，采用改进的LSINSGSA算法求解式（21）所示的多目标优化模型，并与NSGSA和NSGA-Ⅱ的优化效果进行比较。电路设计参数见表1。
根据图1所示的PPR-STC的工作原理及表1所示的電路参数，可以得出各开关器件可承受的最大电压应力和电流应力、电容器的最大电压和电感器的最大电流。考虑到器件的降额使用，相应的各器件约束条件见表2。
根据表2可从创建的元器件数据库中筛选出符合条件的各元器件型号，并按照表2可将符合上述条件的元器件进行划分，共可分为10类，如开关S1～S4可分为一类，开关S5～S10分为一类，开关Q1和Q3为一类。采用LSINSGSA算法式（21）所示的多目标优化模型的基本思想为：首先，将上述的每类别器件作为决策变量的一个维度，故决策变量有10个维度，即对应于多目标优化算法中粒子的位置坐标维度为10，且位置坐标的每一维度取值为正整数。每类别器件在数据库中有多种满足条件的型号，所有类别器件的型号组合构成搜索空间。例如，表2中不同类别器件的型号数目为（S1～S4，S5～S10，Q1、Q3，Q2、Q4，Cf，Cbb，Lbb，Cout，Lr1、Lr2，Cr1、Cr2）=（9，7，12，8，8，11，11，8，2，25），则有2，341，785，600种可行方案组合，这些方案组合构成了搜索空间。型号越多代表粒子位置坐标的每一维度取值上限越大，从而搜索空间越广泛、潜在的Pareto最优解也越多。因此，粒子位置代表了一组表2所示器件的一种组合。其次，依据式（21）计算每个粒子的目标函数值，得到每个粒子在三维目标空间中的坐标。最后，在定义了粒子的位置坐标后，可按照图4所示的LSINSGSA算法流程对器件多目标优化模型进行求解。LSINSGSA算法参数设置：最大迭代次数为250，其余算法参数设置见表3。NSGSA算法和NSGA-Ⅱ算法的最大迭代次数为250，种群大小为200，NSGSA算法的其余参数设置同文献[18]，NSGA-Ⅱ算法的其余参数设置同文献[25]。 各算法優化结果如图5所示，优化得到的功率损耗与面积、功率损耗与成本、面积与成本之间的关系分别如图6、图7和图8所示。
由上述的功率损耗-面积图、功率损耗-成本图、面积-成本图可知，改进得到的LSINSGSA算法求解式（21）所示的多目标优化函数所得到的Pareto最优解集的多样性与收敛性，均优于NSGA-Ⅱ和NSGSA算法，保证了在综合功率损耗、面积和成本下的最优器件组合方案。在这3个算法中，NSGA-Ⅱ优化得到的结果不如NSGSA和LSINSGSA，NSGSA的Pareto最优解集多样性劣于LSINSGSA。从图6可以看出，功率损耗与面积的关系近似为反比关系，即面积越大，功率损耗越小。这是因为现代半导体集成技术飞速发展，可以使得元器件的尺寸大大缩小，但是功耗降低的速度远低于尺寸缩小的速度，导致了元器件的单位面积功耗随着物理尺寸的减小而增加。图7所示的功率损耗-成本关系，反映了文中设计的PPR-STC的成本随着功率损耗的降低而增加。原因在于，功率损耗较低导致所需的变换器面积增加，即电路的物理实现需要占用硅片的面积增加，而硅片的面积与其成本呈正相关，如图8所示，因此成本随着功耗降低而增加。为进一步比较LSINSGSA、NSGSA和NSGA-Ⅱ求解器件多目标优化问题的性能，分别从各个算法优化所得的方案中挑选出总功率损耗最小方案Case A、总面积最小方案Case B、总成本最少方案Case C以及由灰色关联度理论得到综合最优方案Case D，并对这些方案进行比较分析[19，26]。各方案具体信息见表4，表中的Pu为单位面积功耗。
分析表4数据，可以得到如下结果。1）在总功率损耗Ploss，tot最小方案Case A下，LSINSGSA优化得到的Ploss，tot为5.57 W，小于NSGA-Ⅱ和NSGSA的优化结果。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的总功率损耗最大。此外，LSINSGSA优化得到的效率η与单位面积功耗Pu均优于其他2个算法优化的结果。2）在总面积Atot最小方案Case B下，LSINSGSA优化得到的Atot为1 008 mm2，是3个算法中最小的。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的总面积最大。另外，LSINSGSA优化得到的效率η与单位面积功耗Pu均优于其他2个算法优化的结果。3）在总成本Ctot最小方案Case C下，LSINSGSA优化得到的Ctot为238.1元，与NSGSA优化得到的Ctot相差不大。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的总成本最大。3个算法优化得到的效率基本一致，而LSINSGSA优化得到的Pu略大于其他2个算法。4）在综合最优方案Case D下，LSINSGSA优化得到总功率损耗最小，NSGA-Ⅱ优化得到的总面积Atot最大。LSINSGSA与NSGSA优化得到的总面积Atot相同，但是LSINSGSA优化得到的Ctot小于NSGSA。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的Ctot最小。综上分析可知，在求解式（21）所示的多目标优化模型时，LSINSGSA算法的收敛性与Pareto最优解集多样性均优于NSGSA和NSGA-Ⅱ。
5 结 论
1）在分析PPR-STC的工作原理基础上，建立元器件的功率损耗、面积以及成本模型，得到PPR-STC多目标优化模型，且这些模型中的参数可从厂家提供的器件数据手册获得。2）为提高NSGSA求解三维多目标优化问题的性能，从存档集维护、位置更新、KBEST选取和精英策略这4个方面对原有的NSGSA改进，改进后的LSINSGSA算法的收敛性与最优解集均匀分布性均优于NSGSA和NSGA-Ⅱ。
3）采用改进的LSINSGSA算法求解器件多目标优化模型，并与NSGSA和NSGA-Ⅱ算法进行比较分析，得出由LSINSGSA算法优化得到的器件组合可以使得PPR-STC在效率、面积和成本方面综合最优。同时，文中提出的优化PPR-STC变换器方法也可为设计人员在优化DC-DC变换器时提供参考。
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文献标志码：A
文章编号：1672-9315（2021）05-0938-10
DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2021.0522开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
Multi-objective optimization of switched-tank converter
for low-voltage applications
WANG Kang，WANG Jiuhe，WANG Lu
（School of Automation，Beijing Information Science and Technology University，Beijing 100192，China）
Abstract：In order to meet the requirements of high efficiency，small size and low cost of DC-DC converters in low-voltage application scenarios，taking the low-voltage switched tank converter（STC）as an example，a method for comprehensively optimizing the power loss，physical size and cost of DC-DC converters was extablished in this paper.First，the power loss，area and cost models of the components were separately established based on STC’s operation principle，and a multi-objective optimization model of STC with power loss，area，and cost as the optimization goals was derived by using the design requirements as constraints while the parameters in these models could be obtained from device data sheet.Then，the large-scale improved non-dominated sorting gravitational search algorithm（LSINSGSA），an improved algorithm based on the non-dominated sorting gravitational search algorithm（NSGSA），was
established in this paper to solve the derived multi-objective optimization model.Finally，the optimization results were compared with those of NSGSA and NSGA-Ⅱ.The results indicate that the multi-objective optimization method of the STC converter proposed in this paper can facilitate a device combination scheme with the best comprehensive performance，realizing the best compromise between the efficiency，area and cost of the STC，and the convergence and uniform distribution of the optimal solutions in the optimal Pareto frontier of the LSINGSSA are better than that of NSGSA and NSGA-Ⅱ.Key words：DC-DC converter;multi-objective optimization;low-voltage application;switched tank converter;non-domiated sorting gravitational search algorithm 0 引 言
随着大数据时代到来，众多数据中心在各地建立，存储并处理每天产生的海量数据，且消耗着大量的电能。限于效率、物理尺寸、成本等因素，应用于该类低压场合的DC-DC变换器需具备高效率、高集成度、低成本等特征。传统基于电感器的DC-DC变换器（如Buck，Boost变换器）主要依赖体积较大的电感器传输能量，一方面增加了变换器的体积，另一方面电感器的铁芯和线圈损耗增加了变换器总损耗，且由于占空比的限制，该类变换器较难实现高电压增益[1-2]。而开关电容变换器（switched capacitor converter，SCC）则是通过电容器传输能量，得益于电容器的高能量储存密度，变换器的体积可大大减小，易于集成[3-6]。在给定功率下，SCC的开关导通损耗低于基于电感器的直流变换器的开关导通损耗[7]。但是，SCC存在电流过冲、电磁兼容以及由于其自身拓扑而导致电压转换比固定、输出电压不可调节或不能连续调节等问题[8-10]。对此，
JIANG S等学者提出了一种基于谐振回路的模块化开关槽式变换器（switched tank converter，STC），在不降低效率与增加变换器的体积下，解决了SCC电容器电荷重新分配的问题，全负载范围内可实现电容器完全软充电和开关软切换且开关电压应力保持为低压端电压的1倍或2倍电压[11]。为了实现STC输出电压连续可调，HE Y等提出一种高效率、高功率密度且部分功率可调节的STC（partial power regualted STC，PPR-STC）[12]。考虑到低压场合对DC-DC变换器效率、物理尺寸、成本的限制，且PPR-STC本身具备高效率、高功率密度等优点，因此，笔者选择PPR-STC为对象进行多目标优化研究，进一步提升其综合性能，同时也为其他DC-DC变换器多目标优化提供一个思路。首先，基于PPR-STC的工作原理，建立元器件的损耗模型、面积模型和成本模型，综合所有器件的损耗模型、面积模型和成本模型建立变换器多目标优化模型。然后，采用改进的非支配排序引力搜索算法（non-dominated sorting gravitational search algorithm，NSGSA）求解多目标优化模型，得到综合性能最优的Pareto最优解。值得注意的是，这些模型中的参数与变量都可通过器件数据手册查到，便于应用到实际中。此外，文中将改进的NSGSA与NSGSA、非支配排序遗传算法（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）作比较，优化结果显示，改进的NSGSA的收敛性与Pareto最优解均匀分布性优于NSGSA和NSGA-Ⅱ。
1 PPR-STC拓扑及工作原理HE Y O等提出的PPR-STC是由X∶1降压STC与四开关Buck-Boost变换器输入串联、输出并联组成，其中STC承受主要输入功率，四开关Buck-Boost变换器承受剩余的小部分功率且负责调节输出电压。这里的X∶1表示STC部分的输入、输出电压整数变比，文中所优化的PPR-STC的X为4，其拓扑结构如图1所示。其中，4∶1 STC拓扑如图2所示。考虑到开关死区时间，STC的开关频率一般低于其谐振频率fr，STC的谐振频率为
fr=12π
Lr
CrCf
Cr+Cf
（1）
式中 Lr=Lr1=Lr2，Cr=Cr1=Cr2[13]。在图1中STC部分，即图2中，开关S1、S3、S5、S8、S9的導通相位相同，开关S2、S4、S6、S7、S10的导通相位相同，且这2组开关的占空比互补且各为50%。因此，稳态时的STC有2种工作状态，如图3所示。图1中，四开关Buck-Boost变换器作为电压调节变换器对输出电压进行调节。Cbb、Lbb分别为Buck-Boost变换器的输入电容和电感，Cout为输出电容，R为负载，Q1～Q4为Buck-Boost变换器的开关。由于四开关Buck-Boost变换器只处理总输入功率的小部分，且它的开关频率一般低于且不会远低于STC的开关频率，因此所需电感器的体积较小，有利于DC-DC变换器集成化。
1.1 4：1 STC工作原理在工作状态1中，电源给由谐振电感器Lr1和谐振电容器Cr1所组成的谐振单元提供能量，滤波电容器Cf经过由谐振电感器Lr2和谐振电容器Cr2所组成的谐振单元放电，此时的Cf相当于电压源。在工作状态2中，由Lr1、Cr1所组成的谐振单元给Cf充电，由Lr2、Cr2所组成的谐振单元为输出端提供能量。注意，Lr1=Lr2，Cr1=Cr2，CfCr1（一般
为Cf>10Cr1）。当电路处于稳态时，谐振电容器Cr2两端的电压为Vout，滤波电容器Cf两端的电压为2Vout，谐振电容器Cr1两端的电压为3Vout，因此可以实现4倍降压功能。STC特殊的拓扑结构将电容器合理安排，使得每个开关在关断时都将会被其附近的电容器两端的电压钳位。因此，STC变换器的所有开关的电压应力为1倍或2倍的低压端电压，这有利于选取额定电压较低的开关。同时，低额定电压开关的通态电阻较低，将进一步降低开关的导通损耗。图2中的STC，除了开关S2和S3的电压应力为2Vout，其余开关的电压应力为Vout。
1.2 四开关Buck-Boost变换器工作原理四开关Buck-Boost变换器分别工作在Buck模式和Boost模式。开关Q1与Q3的占空比互补，开关Q2与Q4的占空比互补。当开关Q1保持开通、Q3保持关断，通过控制开关Q4的通、断（Q2的断、通）实现Boost模式。当开关Q2保持开通、Q4保持关断，通过控制开关Q1的通、断（Q3的断、通）实现Buck模式。图1中的电容器Cr2、Cf、Cr1两端的电压分别为Vin-3Vout、Vin-2Vout、Vin-Vout，STC的开关对应的电压应力不变，Buck-Boost中各开关的电压应力随着工作模式变化。当工作在Boost模式时，开关Q2与Q4的电压应力为Vout，开关Q3的电压应力随着输入电压Vin增大而增大且最大为Vout。当工作在Buck模式时，开关Q4的电压应力为Vout，开关Q1与Q3的电压应力随着输入电压Vin增大而增大且最大为Vin-3Vout。因此，四开关Buck-Boost变换器的开关电压应力较低，可以选择低额定电压开关器件，从而进一步减小变换器物理尺寸并提高效率。 2 STC元器件参数化模型建立
2.1 开关器件损耗模型开关管的损耗主要由导通损耗Pcond、输出电容损耗Pcoss、开关驱动损耗Pdrive和体二极管反向恢复损耗Prr组成。一个开关周期内功率开关管的导通损耗Pcond
Pcond=I2rmsRds，on
（2）
式中 Irms为流过开关的电流有效值，A;Rds，on为开关的通态电阻，Ω。开关在开通与关断状态之间切换时，其输出电容Coss会产生放电损耗Pcoss，该损耗与开关的电压应力和开关频率成正比，计算公式为
Pcoss=CossV2dsfs
（3）
式中 Vds为开关管漏、源极两端的电压，V，一般选取为最大电压应力;fs 为开关频率，Hz。开关的驱动损耗Pdrive为
Pdrive=VgsQgfs
（4）
式中 Vgs为驱动电压，V;Qg为门极总电荷，C。每个开关都有一个体二极管与之反并联用来在开关软切换瞬间给开关的输出电容提供放电路径，因此，开关损耗还包含体二极管反向恢复损耗Prr
Prr=QrrVdsfs
（5）
式中 Qrr为体二极管反向恢复电荷，C。开关的损耗模型Psw为
Psw=Pcond+Pcoss+Pdrive+Prr
（6）
2.2 电感器损耗模型电感器的损耗主要可分为磁芯损耗和绕组损耗2大类。电感器的磁芯损耗计算方法因电感器所受到的激励波形不同而不同[14]。图1所示的PPR-STC中含有谐振电感器Lr1、Lr2和储能电感器Lbb。谐振电感器Lr1、Lr2由于谐振作用，它们受到的激励波形为正弦波，而储能电感器Lbb受到矩形波激励。这2种电感器所受到的激励波形不同，因此在计算电感器的磁芯损耗时应有所区别。对于计算正弦波激励的电感器磁芯损耗，采用经典有效的Steinmetz方程[15-17]。Steinmetz方程为
Pv=Cmfα1Bβ1
（7）
式中 Pv为单位体积磁芯损耗，W/cm3;Cm、α1，β1为磁芯材料系数，这些系数可从生产厂家的數据手册查到;f为开关频率，Hz;B定义为峰值磁感应强度，Gs，且B=1/2
ΔBpp，ΔBpp为交流分量磁感应强度峰峰值，Gs。在给定设计参数电感电流纹波峰峰值ΔILpp以及电感L的情况下，可以依据生产厂家的数据手册计算ΔBpp为
ΔBpp
=k×ΔILpp×L×10-3
（8）
式中 k为系数，可从数据手册查到;ΔILpp的单位为A，电感L的单位为nH，ΔBpp的单位为高斯。因此，正弦波激励的电感器的磁芯损耗Pcore1为
Pcore1=Pv×Vcore
（9）
式中 Vcore为磁芯有效体积，cm3。对于矩形波激励的电感器的磁芯损耗计算公式Pcore2为
Pcore2=Cmfα1Bβ1ac
a
[d（1-d）]b（1+s2da）γBdcVbb
（10）
式中 d为占空比;a，b，γ为常数;Bac为交流磁感应强度，Gs;Bdc为直流偏置下的磁感应强度，Gs;sda为Bdc与Bac的比值;Vbb为四开关Buck-Boost变换器的输入电压[14]，V。由安培定律，可得Bdc为
Bdc=ILavgLNcoreAe
（11）
式中 ILavg为电感电流平均值，A;Ncore为线圈匝数;Ae为磁芯有效面积，cm2。由电磁感应定律，可得Bac为
Bac
=ΔILppL2NcoreAe
（12）电感器的绕组损耗Pw可由电感电流有效值ILrms与绕组等效电阻Rdc相乘可得
Pw=I2LrmsRdc
（13）综上，电感器的损耗模型PL为
PL=Pcore+Pw
（14）
式中 Pcore依据激励波形选择Pcore1或Pcore2。
2.3 电容器损耗模型为了减小由谐振电感器和谐振电容器的本身参数误差给开关零电流切换带来的不利影响，文中选择电容值稳定、低容错（-5%～+5%）、低串联等效电阻的ClassⅠ 陶瓷电容作为STC中的谐振电容器，将低交流电压纹波的Class Ⅱ 陶瓷电容器作为滤波电容器。陶瓷电容器的功率损耗PC主要由其等效串联电阻RESR和电流有效值ICrms决定，可表示为
PC=I2CrmsRESR
（15）一般情况下，厂家提供的数据手册可能不提供RESR，但是提供损耗因素（dissipation factor，DF），有时表示为tan δ，且
tan δ=2πfCRESR
（16）因此，也可以根据数据手册中的最大损耗因素DF计算电容器功率损耗PC为
PC=I2Crmstan δ
2πfC
（17）
2.4 PPR-STC多目标优化模型建立由于STC的开关频率高达数百kHz，目前较多应用在低功率场合下，应用于该场合的功率开关多为芯片结构，体积较小，所以计算开关器件的面积更有实际意义。为了便于集成化，采用平面型功率电感器和基于表贴技术（surface mount technology，SMT）的电容器，它们的高度一般只有几个毫米，因此，相较于计算体积，计算面积更能反映它们在印制电路板上的面积使用情况。总功率损耗模型Ploss，tot为
Ploss，tot=∑NSi Psw，i+
∑NLj
PL，i+
∑NCm
PC，m
（18）
式中 Ns，NL，NC分别为开关器件、电感器和电容器的数量，件;Psw，i，PL，j和PC，m分别表示每个开关器件、电感器以及电容器的功率损耗，W。总面积模型Atot为
Atot
=
∑NSi
Asw，i+
∑NLj
AL，i+
∑NCm
AC，m
（19）
式中 Asw，i，AL，j，AC，m分别为每个开关管、电感器、电容器的封装面积，cm2。总成本模型Ctot为
Ctot=
∑Nall
ici
（20）
式中 ci为每个器件的价格，元;Nall为所有开关器件、电感器和电容器的数量，件。对总功率损耗模型、总体积模型、总成本模型
同时进行最小化，得到PPR-STC多目标优化模型为
minfmulti_obj=
Ploss，tot
Atot
Ctot
（21）
约束条件为
p*∈Db
（22）
式中 p*为属于元器件数据库Db的离散变量。
3 NSGSA算法改进NSGSA算法收敛性与最优解均匀分布性都要优于NSGA-Ⅱ等多目标优化算法，但是NSGSA在求解三维多目标优化问题时表现出解的收敛性与多样性不足的问题[18-19]。对此，基于NSGSA算法提出一种改进的NSGSA，即LSINSGSA[20]。
3.1 存档集维护策略改进NSGSA在维护存档集长度时只考虑粒子的均匀分布性，对存档集中均匀分布性最差的粒子依次删除，而未考虑到收敛性较好的粒子能够加快全局的收敛速度。受文献
[21]启发，提出将全局损害与粒子势能[22]的动态加权和作为粒子收敛性评价指标，将粒子的拥挤距离作为粒子均匀分布性评价指标，并将二者比值作为平衡粒子收敛性与均匀分布性的融合指标。对比NSGSA算法仅依赖均匀分布性指标维护存档集，本文提出的兼顾粒子收敛性与均匀分布性的融合指标在保持粒子均匀分布性的同时能够对收敛性较好的粒子进行保留，将有益于提高全局收敛速度。
3.2 位置更新策略改进NSGSA采用符号变异与坐标变异策略更新移动列表中粒子的位置，以防止粒子陷入局部最优。但是，经符号变异与坐标变异后的粒子可能会退化。针对该问题本文提出退步策略，即位置更新后的粒子如果被位置更新前的粒子支配，则保持该粒子当前位置为更新前的位置，否则，粒子当前位置为经符号变异与坐标变异更新后的位置。
3.3 KBEST策略改进为避免陷入局部最优，NSGSA沿用引力搜索算法（gravitational search algorithm，GSA）中的KBEST策略[23-24]。但是，该策略的不足在于，最后几次迭代过程中的少数Kbest粒子会破坏良好的全局收敛以及Pareto最优解的均匀分布。对此，提出在迭代后期由M个极端粒子和M个最不拥挤粒子组成Kbest集合，使算法在迭代后期依然可以保持较好的全局收敛性、得到分布较为均匀的Pareto前沿。此处的M表示子优化目标个数。
3.4 精英策略改进为加快全局收敛速度，提出迭代前期将势能小的粒子加入到移动粒子列表去吸引势能大的粒子加速向帕累托前沿移动，后期将势能大的粒子加入移动粒子列表中让其受到极端粒子和最不拥挤粒子的吸引。此外，为了加快算法在迭代后期的收敛速度，在迭代后期对非极端粒子和非最不拥挤粒子的位置更新不采取符号变异和坐标变异策略;为了实际的帕累托前沿接近理论上的帕累托前沿且获得良好的最优解集分布情况，对极端粒子和最不拥挤粒子仍采取符号变异与坐标变异策略。LSINSGSA算法的操作步骤如下：
1）初始化LSINSGSA算法的迭代次数、粒子个数、存档长度等参数，随机初始化所有粒子的位置并将所有粒子的初始速度和加速度都设置为零，将初始位置代入到多目标函数中得到粒子的初始多目标函数值。
2）对移动粒子列表中的粒子进行非支配排序，并采用改进的融合指标维护外部存档集长度。
3）基于改进的精英策略与最不拥挤粒子选取方法更新移动粒子列表。
4）基于粒子等级计算移动粒子的适应度值。
5）计算移动粒子的质量，并基于改进的KBEST策略计算移动粒子所受到的引力和加速度。6）计算移动粒子的速度并基于退步策略更新移动粒子的位置，该步骤包括计算更新后粒子的多目标函数值。7）如果当前迭代次数未达到最大迭代次数，则依次重复步骤2）～6）;否则，退出循环，返回存档集中的粒子信息。LSINSGSA算法流程如图4所示。
4 优化结果以图1所示的PPR-STC为优化对象，依据电路参数及其相关的约束条件，采用改进的LSINSGSA算法求解式（21）所示的多目标优化模型，并与NSGSA和NSGA-Ⅱ的优化效果进行比较。电路设计参数见表1。
根据图1所示的PPR-STC的工作原理及表1所示的電路参数，可以得出各开关器件可承受的最大电压应力和电流应力、电容器的最大电压和电感器的最大电流。考虑到器件的降额使用，相应的各器件约束条件见表2。
根据表2可从创建的元器件数据库中筛选出符合条件的各元器件型号，并按照表2可将符合上述条件的元器件进行划分，共可分为10类，如开关S1～S4可分为一类，开关S5～S10分为一类，开关Q1和Q3为一类。采用LSINSGSA算法式（21）所示的多目标优化模型的基本思想为：首先，将上述的每类别器件作为决策变量的一个维度，故决策变量有10个维度，即对应于多目标优化算法中粒子的位置坐标维度为10，且位置坐标的每一维度取值为正整数。每类别器件在数据库中有多种满足条件的型号，所有类别器件的型号组合构成搜索空间。例如，表2中不同类别器件的型号数目为（S1～S4，S5～S10，Q1、Q3，Q2、Q4，Cf，Cbb，Lbb，Cout，Lr1、Lr2，Cr1、Cr2）=（9，7，12，8，8，11，11，8，2，25），则有2，341，785，600种可行方案组合，这些方案组合构成了搜索空间。型号越多代表粒子位置坐标的每一维度取值上限越大，从而搜索空间越广泛、潜在的Pareto最优解也越多。因此，粒子位置代表了一组表2所示器件的一种组合。其次，依据式（21）计算每个粒子的目标函数值，得到每个粒子在三维目标空间中的坐标。最后，在定义了粒子的位置坐标后，可按照图4所示的LSINSGSA算法流程对器件多目标优化模型进行求解。LSINSGSA算法参数设置：最大迭代次数为250，其余算法参数设置见表3。NSGSA算法和NSGA-Ⅱ算法的最大迭代次数为250，种群大小为200，NSGSA算法的其余参数设置同文献[18]，NSGA-Ⅱ算法的其余参数设置同文献[25]。 各算法優化结果如图5所示，优化得到的功率损耗与面积、功率损耗与成本、面积与成本之间的关系分别如图6、图7和图8所示。
由上述的功率损耗-面积图、功率损耗-成本图、面积-成本图可知，改进得到的LSINSGSA算法求解式（21）所示的多目标优化函数所得到的Pareto最优解集的多样性与收敛性，均优于NSGA-Ⅱ和NSGSA算法，保证了在综合功率损耗、面积和成本下的最优器件组合方案。在这3个算法中，NSGA-Ⅱ优化得到的结果不如NSGSA和LSINSGSA，NSGSA的Pareto最优解集多样性劣于LSINSGSA。从图6可以看出，功率损耗与面积的关系近似为反比关系，即面积越大，功率损耗越小。这是因为现代半导体集成技术飞速发展，可以使得元器件的尺寸大大缩小，但是功耗降低的速度远低于尺寸缩小的速度，导致了元器件的单位面积功耗随着物理尺寸的减小而增加。图7所示的功率损耗-成本关系，反映了文中设计的PPR-STC的成本随着功率损耗的降低而增加。原因在于，功率损耗较低导致所需的变换器面积增加，即电路的物理实现需要占用硅片的面积增加，而硅片的面积与其成本呈正相关，如图8所示，因此成本随着功耗降低而增加。为进一步比较LSINSGSA、NSGSA和NSGA-Ⅱ求解器件多目标优化问题的性能，分别从各个算法优化所得的方案中挑选出总功率损耗最小方案Case A、总面积最小方案Case B、总成本最少方案Case C以及由灰色关联度理论得到综合最优方案Case D，并对这些方案进行比较分析[19，26]。各方案具体信息见表4，表中的Pu为单位面积功耗。
分析表4数据，可以得到如下结果。1）在总功率损耗Ploss，tot最小方案Case A下，LSINSGSA优化得到的Ploss，tot为5.57 W，小于NSGA-Ⅱ和NSGSA的优化结果。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的总功率损耗最大。此外，LSINSGSA优化得到的效率η与单位面积功耗Pu均优于其他2个算法优化的结果。2）在总面积Atot最小方案Case B下，LSINSGSA优化得到的Atot为1 008 mm2，是3个算法中最小的。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的总面积最大。另外，LSINSGSA优化得到的效率η与单位面积功耗Pu均优于其他2个算法优化的结果。3）在总成本Ctot最小方案Case C下，LSINSGSA优化得到的Ctot为238.1元，与NSGSA优化得到的Ctot相差不大。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的总成本最大。3个算法优化得到的效率基本一致，而LSINSGSA优化得到的Pu略大于其他2个算法。4）在综合最优方案Case D下，LSINSGSA优化得到总功率损耗最小，NSGA-Ⅱ优化得到的总面积Atot最大。LSINSGSA与NSGSA优化得到的总面积Atot相同，但是LSINSGSA优化得到的Ctot小于NSGSA。其中，NSGA-Ⅱ优化得到的Ctot最小。综上分析可知，在求解式（21）所示的多目标优化模型时，LSINSGSA算法的收敛性与Pareto最优解集多样性均优于NSGSA和NSGA-Ⅱ。
5 结 论
1）在分析PPR-STC的工作原理基础上，建立元器件的功率损耗、面积以及成本模型，得到PPR-STC多目标优化模型，且这些模型中的参数可从厂家提供的器件数据手册获得。2）为提高NSGSA求解三维多目标优化问题的性能，从存档集维护、位置更新、KBEST选取和精英策略这4个方面对原有的NSGSA改进，改进后的LSINSGSA算法的收敛性与最优解集均匀分布性均优于NSGSA和NSGA-Ⅱ。
3）采用改进的LSINSGSA算法求解器件多目标优化模型，并与NSGSA和NSGA-Ⅱ算法进行比较分析，得出由LSINSGSA算法优化得到的器件组合可以使得PPR-STC在效率、面积和成本方面综合最优。同时，文中提出的优化PPR-STC变换器方法也可为设计人员在优化DC-DC变换器时提供参考。
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