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在解析几何中，对于光线反射问题，尤其是多次反射问题，是学习的难点。当光线从光源A出发经直线l（我们姑且形象地将这条直线称为“镜子”）反射到物体B，如果直接处理，则必须利用入射角等于反射角，然后分别给出入射光线和反射光线所在直线的方程。如果多次反射，则要考虑的直线方程更多，计算量很大。因此，可以考虑将反射问题化为直射问题来处理。
一、撤掉反射镜，化为直射问题
如果撤掉“反射镜”（即直线l），则此问题相当于光源A关于l的对称点A′（这点称为“虚拟光源”吧）直接照射到物体B，或者光线从光源A直接照射到B关于l的对称点B′（可以称之为“物体的像位”）。如图1，这样成功地将反射问题转化为直射问题了，大大减少了计算量，比直接处理要简便得多。
1.一次反射，将光源移到虚拟光源位置，或者将物体移到物体的像的位置，将反射问题转化为直射问题。
例1已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=1，从点P（-2，3）发出的光线经过x轴反射后与圆C相切，求反射光线所在直线的方程。
图2
分析：这里是求反射光线所在直线的方程。如图2，若过P关于x轴的对称点Q（-2，-3）作圆C的切线，则显得直接一些。若是求入射光线所在的直线方程，则从P作圆C关于x轴的对称圆的切线比较直接。当然两法可以通用，无非入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数而已。
2.两次反射，一次移光源到虚拟光源位置，一次将物体移到像位，比较合适。
例2（2013年高考湖南卷）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图3）。
若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）。
A.2B.1
C.83D.43
分析：将这个图形放在坐标系中解决。以A为原点，射线AB为非负x轴，射线AC为非负y轴，建立平面直角坐标系，如图4。
设P（x，0），P关于直线BC的对称点为D（4，-x+4），P关于y轴的对称点为E（-x，0），也就是说，光源从P移到了D，物体从P移到了E。于是，该问题等价于光线直接从D照射到E，直线RQ即直线DE要经过△ABC的重心G43，43，即D、G、E三点共线。由于ED=（4+x，-x+4），EG=43+x，43，所以43（4+x）=43+x（-x+4），求得x=43（x=0舍去），所以选D。
3.三次以上的反射，移光源还是移物体，应具体情况具体分析。
例3（2003年高考全国卷）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），如图5。设P4的坐标为（x4，0），若1 A.13，1B.13，23
C.25，12D.25，23
分析：光线从P0出发通过BC反射，将BC视为一面镜子，如果撤掉这面镜子，则等同于光线直接从E（3，0）出发照射到CD再反射；同样，如果撤掉CD这面镜子，则等同于光线直接从F（3，2）直接照射到y轴；同样，如果撤掉AD这面镜子，则等同于光线直接从G（-3，2）照射到x轴上的P4点。根据反射理论，可得∠GP4H=θ。由于P4H∈（4，5），所以tanθ∈25，12，应选C。
二、增添反射镜，化为直射问题
对于反射次数比较多的反射问题，我们还可以采取增添反射镜的方法化为直射问题来处理。什么是增添反射镜呢？我们还是结合例3来解释。如图6，我们将所有矩形格的边线都看作镜子，相当于增添了许多镜子。而光线就像从P0点直射到了M点。光线的实际路径或在镜中的路径其实就是两组平行（或共线）的直线。
如图6，不难得到tanθ∈25，12。
我们再来看一个更复杂的例子。
例4（2012年高考全国卷）如图7，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=37。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）。
A.16B.14C.12D.10
分析：利用类似于例3的方法来解决。增添若干镜子后，光线可以展开成一条直线。若最终P点所在位置与E点所在位置对应，即点P的坐标为n+37，m，其中m为偶数，由斜率公式可知4m=3n。同时，由直线PE的方程可知PE不会过所有正方形的顶点，故m、n的最小值分别为6和8，可得m+n最小值为14。
拓展：（1）若AE=BF=27，其他条件不变，结果如何？
类似可得5m=2n，并且直线PE也不会过所有正方形的顶点，不难得到m+n最小值也为14。
（2）若AE=BF=qp（小于1的既约正分数），其他条件不变，结果如何？利用上述方法不难得到结果为2p。
作者单位：湖南省长郡中学1304班
一、撤掉反射镜，化为直射问题
如果撤掉“反射镜”（即直线l），则此问题相当于光源A关于l的对称点A′（这点称为“虚拟光源”吧）直接照射到物体B，或者光线从光源A直接照射到B关于l的对称点B′（可以称之为“物体的像位”）。如图1，这样成功地将反射问题转化为直射问题了，大大减少了计算量，比直接处理要简便得多。
1.一次反射，将光源移到虚拟光源位置，或者将物体移到物体的像的位置，将反射问题转化为直射问题。
例1已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=1，从点P（-2，3）发出的光线经过x轴反射后与圆C相切，求反射光线所在直线的方程。
图2
分析：这里是求反射光线所在直线的方程。如图2，若过P关于x轴的对称点Q（-2，-3）作圆C的切线，则显得直接一些。若是求入射光线所在的直线方程，则从P作圆C关于x轴的对称圆的切线比较直接。当然两法可以通用，无非入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数而已。
2.两次反射，一次移光源到虚拟光源位置，一次将物体移到像位，比较合适。
例2（2013年高考湖南卷）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图3）。
若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）。
A.2B.1
C.83D.43
分析：将这个图形放在坐标系中解决。以A为原点，射线AB为非负x轴，射线AC为非负y轴，建立平面直角坐标系，如图4。
设P（x，0），P关于直线BC的对称点为D（4，-x+4），P关于y轴的对称点为E（-x，0），也就是说，光源从P移到了D，物体从P移到了E。于是，该问题等价于光线直接从D照射到E，直线RQ即直线DE要经过△ABC的重心G43，43，即D、G、E三点共线。由于ED=（4+x，-x+4），EG=43+x，43，所以43（4+x）=43+x（-x+4），求得x=43（x=0舍去），所以选D。
3.三次以上的反射，移光源还是移物体，应具体情况具体分析。
例3（2003年高考全国卷）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），如图5。设P4的坐标为（x4，0），若1
C.25，12D.25，23
分析：光线从P0出发通过BC反射，将BC视为一面镜子，如果撤掉这面镜子，则等同于光线直接从E（3，0）出发照射到CD再反射；同样，如果撤掉CD这面镜子，则等同于光线直接从F（3，2）直接照射到y轴；同样，如果撤掉AD这面镜子，则等同于光线直接从G（-3，2）照射到x轴上的P4点。根据反射理论，可得∠GP4H=θ。由于P4H∈（4，5），所以tanθ∈25，12，应选C。
二、增添反射镜，化为直射问题
对于反射次数比较多的反射问题，我们还可以采取增添反射镜的方法化为直射问题来处理。什么是增添反射镜呢？我们还是结合例3来解释。如图6，我们将所有矩形格的边线都看作镜子，相当于增添了许多镜子。而光线就像从P0点直射到了M点。光线的实际路径或在镜中的路径其实就是两组平行（或共线）的直线。
如图6，不难得到tanθ∈25，12。
我们再来看一个更复杂的例子。
例4（2012年高考全国卷）如图7，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=37。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）。
A.16B.14C.12D.10
分析：利用类似于例3的方法来解决。增添若干镜子后，光线可以展开成一条直线。若最终P点所在位置与E点所在位置对应，即点P的坐标为n+37，m，其中m为偶数，由斜率公式可知4m=3n。同时，由直线PE的方程可知PE不会过所有正方形的顶点，故m、n的最小值分别为6和8，可得m+n最小值为14。
拓展：（1）若AE=BF=27，其他条件不变，结果如何？
类似可得5m=2n，并且直线PE也不会过所有正方形的顶点，不难得到m+n最小值也为14。
（2）若AE=BF=qp（小于1的既约正分数），其他条件不变，结果如何？利用上述方法不难得到结果为2p。
作者单位：湖南省长郡中学1304班