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在解析几何中,对于光线反射问题,尤其是多次反射问题,是学习的难点。当光线从光源A出发经直线l(我们姑且形象地将这条直线称为“镜子”)反射到物体B,如果直接处理,则必须利用入射角等于反射角,然后分别给出入射光线和反射光线所在直线的方程。如果多次反射,则要考虑的直线方程更多,计算量很大。因此,可以考虑将反射问题化为直射问题来处理。
一、撤掉反射镜,化为直射问题
如果撤掉“反射镜”(即直线l),则此问题相当于光源A关于l的对称点A′(这点称为“虚拟光源”吧)直接照射到物体B,或者光线从光源A直接照射到B关于l的对称点B′(可以称之为“物体的像位”)。如图1,这样成功地将反射问题转化为直射问题了,大大减少了计算量,比直接处理要简便得多。
1.一次反射,将光源移到虚拟光源位置,或者将物体移到物体的像的位置,将反射问题转化为直射问题。
例1已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,从点P(-2,3)发出的光线经过x轴反射后与圆C相切,求反射光线所在直线的方程。
图2
分析:这里是求反射光线所在直线的方程。如图2,若过P关于x轴的对称点Q(-2,-3)作圆C的切线,则显得直接一些。若是求入射光线所在的直线方程,则从P作圆C关于x轴的对称圆的切线比较直接。当然两法可以通用,无非入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数而已。
2.两次反射,一次移光源到虚拟光源位置,一次将物体移到像位,比较合适。
例2(2013年高考湖南卷)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA发射后又回到原点P(如图3)。
若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()。
A.2B.1
C.83D.43
分析:将这个图形放在坐标系中解决。以A为原点,射线AB为非负x轴,射线AC为非负y轴,建立平面直角坐标系,如图4。
设P(x,0),P关于直线BC的对称点为D(4,-x+4),P关于y轴的对称点为E(-x,0),也就是说,光源从P移到了D,物体从P移到了E。于是,该问题等价于光线直接从D照射到E,直线RQ即直线DE要经过△ABC的重心G43,43,即D、G、E三点共线。由于ED=(4+x,-x+4),EG=43+x,43,所以43(4+x)=43+x(-x+4),求得x=43(x=0舍去),所以选D。
3.三次以上的反射,移光源还是移物体,应具体情况具体分析。
例3(2003年高考全国卷)已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),如图5。设P4的坐标为(x4,0),若1 A.13,1B.13,23
C.25,12D.25,23
分析:光线从P0出发通过BC反射,将BC视为一面镜子,如果撤掉这面镜子,则等同于光线直接从E(3,0)出发照射到CD再反射;同样,如果撤掉CD这面镜子,则等同于光线直接从F(3,2)直接照射到y轴;同样,如果撤掉AD这面镜子,则等同于光线直接从G(-3,2)照射到x轴上的P4点。根据反射理论,可得∠GP4H=θ。由于P4H∈(4,5),所以tanθ∈25,12,应选C。
二、增添反射镜,化为直射问题
对于反射次数比较多的反射问题,我们还可以采取增添反射镜的方法化为直射问题来处理。什么是增添反射镜呢?我们还是结合例3来解释。如图6,我们将所有矩形格的边线都看作镜子,相当于增添了许多镜子。而光线就像从P0点直射到了M点。光线的实际路径或在镜中的路径其实就是两组平行(或共线)的直线。
如图6,不难得到tanθ∈25,12。
我们再来看一个更复杂的例子。
例4(2012年高考全国卷)如图7,正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=37。动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角。当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()。
A.16B.14C.12D.10
分析:利用类似于例3的方法来解决。增添若干镜子后,光线可以展开成一条直线。若最终P点所在位置与E点所在位置对应,即点P的坐标为n+37,m,其中m为偶数,由斜率公式可知4m=3n。同时,由直线PE的方程可知PE不会过所有正方形的顶点,故m、n的最小值分别为6和8,可得m+n最小值为14。
拓展:(1)若AE=BF=27,其他条件不变,结果如何?
类似可得5m=2n,并且直线PE也不会过所有正方形的顶点,不难得到m+n最小值也为14。
(2)若AE=BF=qp(小于1的既约正分数),其他条件不变,结果如何?利用上述方法不难得到结果为2p。
作者单位:湖南省长郡中学1304班
一、撤掉反射镜,化为直射问题
如果撤掉“反射镜”(即直线l),则此问题相当于光源A关于l的对称点A′(这点称为“虚拟光源”吧)直接照射到物体B,或者光线从光源A直接照射到B关于l的对称点B′(可以称之为“物体的像位”)。如图1,这样成功地将反射问题转化为直射问题了,大大减少了计算量,比直接处理要简便得多。
1.一次反射,将光源移到虚拟光源位置,或者将物体移到物体的像的位置,将反射问题转化为直射问题。
例1已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,从点P(-2,3)发出的光线经过x轴反射后与圆C相切,求反射光线所在直线的方程。
图2
分析:这里是求反射光线所在直线的方程。如图2,若过P关于x轴的对称点Q(-2,-3)作圆C的切线,则显得直接一些。若是求入射光线所在的直线方程,则从P作圆C关于x轴的对称圆的切线比较直接。当然两法可以通用,无非入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数而已。
2.两次反射,一次移光源到虚拟光源位置,一次将物体移到像位,比较合适。
例2(2013年高考湖南卷)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA发射后又回到原点P(如图3)。
若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()。
A.2B.1
C.83D.43
分析:将这个图形放在坐标系中解决。以A为原点,射线AB为非负x轴,射线AC为非负y轴,建立平面直角坐标系,如图4。
设P(x,0),P关于直线BC的对称点为D(4,-x+4),P关于y轴的对称点为E(-x,0),也就是说,光源从P移到了D,物体从P移到了E。于是,该问题等价于光线直接从D照射到E,直线RQ即直线DE要经过△ABC的重心G43,43,即D、G、E三点共线。由于ED=(4+x,-x+4),EG=43+x,43,所以43(4+x)=43+x(-x+4),求得x=43(x=0舍去),所以选D。
3.三次以上的反射,移光源还是移物体,应具体情况具体分析。
例3(2003年高考全国卷)已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),如图5。设P4的坐标为(x4,0),若1
C.25,12D.25,23
分析:光线从P0出发通过BC反射,将BC视为一面镜子,如果撤掉这面镜子,则等同于光线直接从E(3,0)出发照射到CD再反射;同样,如果撤掉CD这面镜子,则等同于光线直接从F(3,2)直接照射到y轴;同样,如果撤掉AD这面镜子,则等同于光线直接从G(-3,2)照射到x轴上的P4点。根据反射理论,可得∠GP4H=θ。由于P4H∈(4,5),所以tanθ∈25,12,应选C。
二、增添反射镜,化为直射问题
对于反射次数比较多的反射问题,我们还可以采取增添反射镜的方法化为直射问题来处理。什么是增添反射镜呢?我们还是结合例3来解释。如图6,我们将所有矩形格的边线都看作镜子,相当于增添了许多镜子。而光线就像从P0点直射到了M点。光线的实际路径或在镜中的路径其实就是两组平行(或共线)的直线。
如图6,不难得到tanθ∈25,12。
我们再来看一个更复杂的例子。
例4(2012年高考全国卷)如图7,正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=37。动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角。当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()。
A.16B.14C.12D.10
分析:利用类似于例3的方法来解决。增添若干镜子后,光线可以展开成一条直线。若最终P点所在位置与E点所在位置对应,即点P的坐标为n+37,m,其中m为偶数,由斜率公式可知4m=3n。同时,由直线PE的方程可知PE不会过所有正方形的顶点,故m、n的最小值分别为6和8,可得m+n最小值为14。
拓展:(1)若AE=BF=27,其他条件不变,结果如何?
类似可得5m=2n,并且直线PE也不会过所有正方形的顶点,不难得到m+n最小值也为14。
(2)若AE=BF=qp(小于1的既约正分数),其他条件不变,结果如何?利用上述方法不难得到结果为2p。
作者单位:湖南省长郡中学1304班